-
I den her videoen skal vi bevise
-
en av de mer brukbare tingene i geometri.
-
Det er, at en innskreven vinkel er en vinkel,
-
hvis vinkelspissen er på en sirkel.
-
Det vår innskrevne vinkel.
-
Vi kaller den psi.
-
Vi bruker psi for innskrevne vinkler i den her videoen.
-
Psi er nøyaktig en halv an den sentervinkelen,
-
som ligger over den samme sirkelbuen.
-
Vi har akkurat brukt mange flott ord,
-
men man burde ha hørt de før.
-
Det her er psi.
-
Det er en innskrevet vinkel.
-
Dens vinkelspiss er på sirkelen.
-
Når vi tegner de 2 halvlinjene, som går ut fra vinkelen-
-
det er de 2 kordene, som definerer vinkelen-
-
skjærer de i sirkelen i den andre enden.
-
Hvis vi ser på den delen av sirkelen,
-
som er innenfor,
-
er det den sirkelbuen, som ligger rett over psi.
-
Det er noen kompliserte ord,
-
men selveste ideen er simpel.
-
Det her er sirkelbuen, som ligger rett over psi.
-
Psi er den innskrevne vinkelen her.
-
Vinkelspissen er på sirkelen.
-
En sentervinkel er en vinkel,
-
hvor vinkelspissene er i sirkelens sentrum.
-
Det her ser ut til å være sirkelens sentrum.
-
Vi finne det på øyemål.
-
La oss tegne en sentervinkel, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.
-
Det ligner en sentervinkel.
-
Sånn.
-
Den kaller vi theta.
-
Den her vinkelen er psi, og den her vinkelen er theta.
-
I den her videoen skal vi bevise,
-
at psi alltid er lik med det halve av theta.
-
Hvis psi for eksempel er lik med 25 grader,
-
vet vi med det samme,
-
at theta er lik 50 grader.
-
Hvis theta for eksempel er 80 grader,
-
vet vi, at psi er 40 grader.
-
La oss bevise det.
-
Vi fjerne det her.
-
Et godt sted å starte
-
er med et spesielt tilfelle.
-
Vi tegner en innskreven vinkel,
-
hvor en av kordene også er diameteren i sirkelen.
-
Det her er altså ikke generelt,
-
men et særlig tilfelle.
-
Det her er sentrum i sirkelen.
-
Vi finner det på øyemål.
-
Cirka her.
-
La oss tegne diameteren.
-
Den er her.
-
La oss nå definere den innskrevne vinkelen.
-
Diameteren her er den ene siden.
-
Den andre siden ser kanskje sånn her ut.
-
Vi kaller vinkelen psi.
-
Hvis det her er psi,
-
er det her radius i vår sirkel.
-
Den her lengden er radius i sirkelen.
-
Sirkelens omkrets er definert av alle de punktene,
-
som er nøyaktig en radius borte fra sentrum.
-
Det her er også en radius.
-
Trekanten er en likesidet trekant.
-
Den her 2 sider, som er like lange.
-
De 2 sidene er nøyaktig like lange.
-
Vi vet, at når det er 2 sider, som er like,
-
er grunnvinkelen også lik.
-
Den her er altså også lik med psi.
-
Det kan godt være, at det ikke er helt tydelig.
-
fordi den er skeiv.
-
Når vi ser på en sånn trekant her,
-
og det her er r, og det her er r,
-
altså de her 2 sidene er like, og det her er psi,
-
vet vi, at den her vinkelen også er psi.
-
Grunnvinkelen er lik i en likebeint trekant.
-
Det her er psi, og det her er psi.
-
La oss nå se på sentervinkelen.
-
Det er sentervinkelen, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.
-
La oss markere sirkelbuen, de begge ligger over.
-
Det her er den pågjeldende sirkelbuen.
-
Her er sentervinkelen theta.
-
Hvis det her er theta, hva er den her vinkelen så?
-
Den vinkelen er supplementær til theta,
-
så den er 180 minus theta.
-
Når vi legger de 2 vinklene sammen, gir de 180 grader.
-
De danner nærmest en linje.
-
De er supplementære.
-
Nå vet vi også,
-
at de her 3 vinklene er i den samme trekanten.
-
Derfor gir de sammenlagt 180 grader.
-
Den her er psi pluss psi pluss den her vinkelen,
-
som er 180 minus theta.
-
De 3 vinklene gir sammenlagt 180 grader.
-
Det er de 3 vinklene i en trekant.
-
Nå kan vi trekke 180 fra på begge sider.
-
Psi pluss psi er 2psi minus theta er lik 0.
-
Vi legger theta til begge sider.
-
Vi får, at 2 psi er lik med theta.
-
Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2.
-
Vi får, at psi er lik med en halv theta.
-
Vi har nå bevist, hva vi ville bevise
-
i det her spesielle tilfelle,
-
hvor en av de halvlinjer,
-
som definerer den innskreven vinkel,
-
er lang diameteren.
-
Diameteren er en del av den halvlinjen.
-
Det er altså et spesielt tilfelle,
-
hvor den ene halvlinjen er på diameteren.
-
Vi kan allerede generalisere vår vite.
-
Vi vet nå, at hvis den her er 50,
-
er den her 100 og omvendt.
-
Uansett hva psi eller theta er,
-
er psi halvdelen av theta.
-
Theta er alltid det dobbelte av psi.
-
Ved å bruke det resultatet, vi er kommet frem til,
-
kan vi generalisere en smule.
-
Det gjelder dog ikke for alle innskrevne vinkler.
-
La oss tegne en sånn en innskreven vinkel her.
-
I den her situasjonen kan
-
vi betrakte sentrum som om, det er inne i vinkelen.
-
Det her er den innskrevne vinkel.
-
Vi vil gjerne finne et forhold
-
mellom den innskrevne vinkel og sentervinkelen,
-
som ligger rett over den samme sirkelbuen.
-
Det her er sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen.
-
Ingen av de her kordene definerer den her vinkelen.
-
Det gjør de her diametrene heller ikke.
-
Vi kan tegne en diameter.
-
Hvis sentrum er innenfor de 2 kordene,
-
kan vi tegne en diameter.
-
Sånn.
-
Når vi tegner diameteren sånn her,
-
kan vi definere den her vinkelen som psi 1 og den her som psi 2.
-
Psi er summen av de 2 vinklene.
-
Vi kaller den her vinkelen for theta 1 og den her for theta 2.
-
Ut fra de resultatene, vi har fått,
-
vet vi,
-
at psi 1 er lik
-
med en halv theta 1.
-
Vi vet også, at psi 2 er lik med en halv theta 2.
-
psi, som er psi 1 pluss psi 2,
-
er lik med de her 2 tingene.
-
En halv theta 1 pluss en halv theta 2.
-
Psi 2 pluss psi 2 er
-
lik med den første innskrevne vinkelen, som er psi.
-
Det her er psi.
-
Det her er lik med
-
en halv ganger theta 1 pluss theta 2.
-
Hva er theta 1 pluss theta 2?
-
Det er vår originale theta,
-
som vi begynte med.
-
Nå ser vi, at psi er lik med en halv theta.
-
Nå har vi bevist det på en litt mer generell måte,
-
hvor vår sentrum er innenfor de 2 halvlinjene,
-
som definerer vår vinkel.
-
Nå har du fortsatt ikke sett på en vanskelig situasjon
-
eller en mer generell situasjon,
-
hvor sentrum i sirkelen ikke er innenfor
-
de 2 kordene.
-
La oss tegne en sånn situasjon.
-
De her er vår vinkelspiss.
-
Det her er en av kordene,
-
som definerer vinkelen.
-
Det her er den andre korden,
-
så vinkelen definere sånn her.
-
La oss kalle den her vinkelen for psi 1.
-
Hvordan finner vi forholdet mellom psi 1 og den sentervinkelen,
-
som ligger rett over den samme sirkelbuen?
-
Det er den her sirkelbuen.
-
Den sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,
-
ser sånn her ut.
-
Den kaller vi theta 1.
-
Vi kan bruke det, vi akkurat har lært,
-
når den ene siden i vår innskrevne vinkel er en diameter.
-
La oss tegne en diameter her.
-
Vi skal fremdeles gjerne komme fram til,
-
at den her er den halve av den her.
-
Diameteren er her.
-
Vi kaller den her vinkelen for psi 2.
-
Den ligger rett over den her sirkelbuen.
-
Den her.
-
Sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen,
-
kaller vi theta 2.
-
Vi vet fra tidligere, at psi 2 er lik med
-
en halv theta 2.
-
De deler den her diameteren.
-
Diameteren her er den ene av de 2 kordene, som danner vinkelen.
-
Psi 2 er lik med en halv theta 2.
-
Det er nøyaktig det, vi gjorde i den siste videoen.
-
Det her er en innskreven vinkel.
-
En av de definerte kordene ligger på diameteren.
-
Den her er det halve av sentervinkelen,
-
som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.
-
La oss nå se på den store vinkelen.
-
Det er den her.
-
Psi 1 pluss psi 2.
-
Den store vinkelen er psi 1 pluss psi 2.
-
Den her ligger over den samme sirkelbuen.
-
Diameteren er den ene av de 2 kordene,
-
som definerer den her kjempe vinkelen.
-
Den her er det halve av den sentervinkelen,
-
som ligger over den samme sirkelbuen.
-
Vi bruker det, vi allerede har vist i videoen.
-
Den her er lik med det halve av den kjempe sentervinkelen,
-
som er theta 1 pluss theta 2.
-
Inntil videre har vi kun brukt de tingene,
-
vi allerede har lært i denne videoen.
-
Vi vet allerede, at psi 2 er lik med en halv theta 2.
-
La oss nå substituere.
-
Den her er lik med den her.
-
I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2.
-
Psi 1 pluss en halv theta 2 er lik med en halv theta 1 pluss en halv theta 2.
-
Nå kan vi trekke en halv theta 2 fra begge sider.
-
Her er vårt resultet.
-
PSi 1 er lik med en halv theta 1.
-
Nå er vi ferdige.
-
Vi har bevist,
-
at den innskrevne vinkelen alltid er halvparten så står som den sentervinkelen, som ligger over den samme buen.
-
Det er likegyldig, om sentrum i sirkelen er innenfor vinkelen,
-
utenfor vinkelen
-
eller om diameteren er den ene av vinkelkordene.
-
Enhver annen vinkel kan altså konstrueres som en sum
-
av enhver av de eller alle de, vi akkurat har laget.
-
Forhåpentligvis var den nye videoen brukbar,
-
og vi kan faktisk bygge videre på de her tingene
-
for å lage nye geometribeviser.
