WEBVTT

00:00:00.690 --> 00:00:03.450
I den her videoen skal vi bevise

00:00:03.450 --> 00:00:08.980
en av de mer brukbare tingene i geometri.

00:00:08.980 --> 00:00:14.950
Det er, at en innskreven vinkel er en vinkel,

00:00:14.950 --> 00:00:17.080
hvis vinkelspissen er på en sirkel.

00:00:17.080 --> 00:00:19.800
Det vår innskrevne vinkel.

00:00:19.800 --> 00:00:24.950
Vi kaller den psi.

00:00:24.950 --> 00:00:27.170
Vi bruker psi for innskrevne vinkler i den her videoen.

00:00:27.170 --> 00:00:33.530
Psi er nøyaktig en halv an den sentervinkelen,

00:00:33.530 --> 00:00:37.880
som ligger over den samme sirkelbuen.

00:00:37.880 --> 00:00:40.730
Vi har akkurat brukt mange flott ord,

00:00:40.730 --> 00:00:41.650
men man burde ha hørt de før.

00:00:41.650 --> 00:00:42.820
Det her er psi.

00:00:42.820 --> 00:00:44.470
Det er en innskrevet vinkel.

00:00:44.470 --> 00:00:48.710
Dens vinkelspiss er på sirkelen.

00:00:48.710 --> 00:00:52.570
Når vi tegner de 2 halvlinjene, som går ut fra vinkelen-

00:00:52.570 --> 00:00:56.040
det er de 2 kordene, som definerer vinkelen-

00:00:56.040 --> 00:00:57.340
skjærer de i sirkelen i den andre enden.

00:00:57.340 --> 00:01:00.390
Hvis vi ser på den delen av sirkelen,

00:01:00.390 --> 00:01:03.730
som er innenfor,

00:01:03.730 --> 00:01:06.160
er det den sirkelbuen, som ligger rett over psi.

00:01:06.160 --> 00:01:09.010
Det er noen kompliserte ord,

00:01:09.010 --> 00:01:09.920
men selveste ideen er simpel.

00:01:09.920 --> 00:01:28.485
Det her er sirkelbuen, som ligger rett over psi.

00:01:28.485 --> 00:01:31.560
Psi er den innskrevne vinkelen her.

00:01:31.560 --> 00:01:32.400
Vinkelspissen er på sirkelen.

00:01:32.400 --> 00:01:37.920
En sentervinkel er en vinkel,

00:01:37.920 --> 00:01:39.460
hvor vinkelspissene er i sirkelens sentrum.

00:01:39.460 --> 00:01:41.880
Det her ser ut til å være sirkelens sentrum.

00:01:41.880 --> 00:01:45.510
Vi finne det på øyemål.

00:01:45.510 --> 00:01:51.360
La oss tegne en sentervinkel, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.

00:01:51.360 --> 00:01:58.470
Det ligner en sentervinkel.

00:01:58.470 --> 00:01:59.390
Sånn.

00:01:59.390 --> 00:02:01.440
Den kaller vi theta.

00:02:01.440 --> 00:02:06.030
Den her vinkelen er psi, og den her vinkelen er theta.

00:02:06.030 --> 00:02:10.120
I den her videoen skal vi bevise,

00:02:10.120 --> 00:02:14.050
at psi alltid er lik med det halve av theta.

00:02:14.050 --> 00:02:18.220
Hvis psi for eksempel er lik med 25 grader,

00:02:18.220 --> 00:02:21.330
vet vi med det samme,

00:02:21.330 --> 00:02:23.090
at theta er lik 50 grader.

00:02:23.090 --> 00:02:26.080
Hvis theta for eksempel er 80 grader,

00:02:26.080 --> 00:02:29.300
vet vi, at psi er 40 grader.

00:02:29.300 --> 00:02:31.500
La oss bevise det.

00:02:31.500 --> 00:02:34.520
Vi fjerne det her.

00:02:34.520 --> 00:02:37.730
Et godt sted å starte

00:02:37.730 --> 00:02:40.460
er med et spesielt tilfelle.

00:02:40.460 --> 00:02:45.250
Vi tegner en innskreven vinkel,

00:02:45.250 --> 00:02:47.910
hvor en av kordene også er diameteren i sirkelen.

00:02:47.910 --> 00:02:50.526
Det her er altså ikke generelt,

00:02:50.526 --> 00:02:51.320
men et særlig tilfelle.

00:02:51.320 --> 00:02:55.325
Det her er sentrum i sirkelen.

00:02:55.325 --> 00:02:59.030
Vi finner det på øyemål.

00:02:59.030 --> 00:03:00.770
Cirka her.

00:03:00.770 --> 00:03:04.210
La oss tegne diameteren.

00:03:04.210 --> 00:03:06.440
Den er her.

00:03:06.440 --> 00:03:09.410
La oss nå definere den innskrevne vinkelen.

00:03:09.410 --> 00:03:11.860
Diameteren her er den ene siden.

00:03:11.860 --> 00:03:15.910
Den andre siden ser kanskje sånn her ut.

00:03:15.910 --> 00:03:20.520
Vi kaller vinkelen psi.

00:03:20.520 --> 00:03:27.120
Hvis det her er psi,

00:03:27.120 --> 00:03:29.330
er det her radius i vår sirkel.

00:03:29.330 --> 00:03:33.080
Den her lengden er radius i sirkelen.

00:03:35.760 --> 00:03:38.130
Sirkelens omkrets er definert av alle de punktene,

00:03:38.130 --> 00:03:40.340
som er nøyaktig en radius borte fra sentrum.

00:03:40.340 --> 00:03:43.610
Det her er også en radius.

00:03:43.610 --> 00:03:47.920
Trekanten er en likesidet trekant.

00:03:47.920 --> 00:03:49.890
Den her 2 sider, som er like lange.

00:03:49.890 --> 00:03:51.880
De 2 sidene er nøyaktig like lange.

00:03:51.880 --> 00:03:54.630
Vi vet, at når det er 2 sider, som er like,

00:03:54.630 --> 00:03:57.290
er grunnvinkelen også lik.

00:03:57.290 --> 00:04:00.640
Den her er altså også lik med psi.

00:04:00.640 --> 00:04:02.130
Det kan godt være, at det ikke er helt tydelig.

00:04:02.130 --> 00:04:03.180
fordi den er skeiv.

00:04:03.180 --> 00:04:05.720
Når vi ser på en sånn trekant her,

00:04:05.720 --> 00:04:10.940
og det her er r, og det her er r,

00:04:10.940 --> 00:04:17.860
altså de her 2 sidene er like, og det her er psi,

00:04:17.860 --> 00:04:20.830
vet vi, at den her vinkelen også er psi.

00:04:20.830 --> 00:04:23.930
Grunnvinkelen er lik i en likebeint trekant.

00:04:23.930 --> 00:04:26.720
Det her er psi, og det her er psi.

00:04:26.720 --> 00:04:29.770
La oss nå se på sentervinkelen.

00:04:29.770 --> 00:04:32.710
Det er sentervinkelen, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.

00:04:32.710 --> 00:04:35.920
La oss markere sirkelbuen, de begge ligger over.

00:04:35.920 --> 00:04:40.300
Det her er den pågjeldende sirkelbuen.

00:04:40.300 --> 00:04:44.350
Her er sentervinkelen theta.

00:04:44.350 --> 00:04:49.000
Hvis det her er theta, hva er den her vinkelen så?

00:04:50.620 --> 00:04:53.010
Den vinkelen er supplementær til theta,

00:04:53.010 --> 00:04:56.640
så den er 180 minus theta.

00:04:56.640 --> 00:04:59.560
Når vi legger de 2 vinklene sammen, gir de 180 grader.

00:04:59.560 --> 00:05:01.750
De danner nærmest en linje.

00:05:01.750 --> 00:05:03.790
De er supplementære.

00:05:03.790 --> 00:05:06.740
Nå vet vi også,

00:05:06.740 --> 00:05:08.260
at de her 3 vinklene er i den samme trekanten.

00:05:08.260 --> 00:05:12.030
Derfor gir de sammenlagt 180 grader.

00:05:12.030 --> 00:05:19.300
Den her er psi pluss psi pluss den her vinkelen,

00:05:19.300 --> 00:05:25.420
som er 180 minus theta.

00:05:25.420 --> 00:05:29.130
De 3 vinklene gir sammenlagt 180 grader.

00:05:29.130 --> 00:05:31.740
Det er de 3 vinklene i en trekant.

00:05:31.740 --> 00:05:34.605
Nå kan vi trekke 180 fra på begge sider.

00:05:37.140 --> 00:05:43.260
Psi pluss psi er 2psi minus theta er lik 0.

00:05:43.260 --> 00:05:44.840
Vi legger theta til begge sider.

00:05:44.840 --> 00:05:48.770
Vi får, at 2 psi er lik med theta.

00:05:48.770 --> 00:05:52.850
Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2.

00:05:52.850 --> 00:05:56.680
Vi får, at psi er lik med en halv theta.

00:05:56.680 --> 00:06:00.070
Vi har nå bevist, hva vi ville bevise

00:06:00.070 --> 00:06:07.120
i det her spesielle tilfelle,

00:06:07.120 --> 00:06:11.200
hvor en av de halvlinjer,

00:06:11.200 --> 00:06:15.220
som definerer den innskreven vinkel,

00:06:15.220 --> 00:06:17.180
er lang diameteren.

00:06:17.180 --> 00:06:19.200
Diameteren er en del av den halvlinjen.

00:06:19.200 --> 00:06:21.720
Det er altså et spesielt tilfelle,

00:06:21.720 --> 00:06:23.760
hvor den ene halvlinjen er på diameteren.

00:06:23.760 --> 00:06:27.660
Vi kan allerede generalisere vår vite.

00:06:27.660 --> 00:06:30.580
Vi vet nå, at hvis den her er 50,

00:06:30.580 --> 00:06:32.820
er den her 100 og omvendt.

00:06:32.820 --> 00:06:37.460
Uansett hva psi eller theta er,

00:06:37.460 --> 00:06:40.450
er psi halvdelen av theta.

00:06:40.450 --> 00:06:41.830
Theta er alltid det dobbelte av psi.

00:06:44.110 --> 00:06:55.440
Ved å bruke det resultatet, vi er kommet frem til,

00:06:55.440 --> 00:06:59.460
kan vi generalisere en smule.

00:06:59.460 --> 00:07:02.890
Det gjelder dog ikke for alle innskrevne vinkler.

00:07:02.890 --> 00:07:05.090
La oss tegne en sånn en innskreven vinkel her.

00:07:10.680 --> 00:07:12.980
I den her situasjonen kan

00:07:12.980 --> 00:07:15.470
vi betrakte sentrum som om, det er inne i vinkelen.

00:07:15.470 --> 00:07:17.150
Det her er den innskrevne vinkel.

00:07:17.150 --> 00:07:18.890
Vi vil gjerne finne et forhold

00:07:18.890 --> 00:07:22.450
mellom den innskrevne vinkel og sentervinkelen,

00:07:22.450 --> 00:07:24.360
som ligger rett over den samme sirkelbuen.

00:07:24.360 --> 00:07:29.880
Det her er sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen.

00:07:29.880 --> 00:07:33.550
Ingen av de her kordene definerer den her vinkelen.

00:07:33.550 --> 00:07:37.310
Det gjør de her diametrene heller ikke.

00:07:37.310 --> 00:07:40.400
Vi kan tegne en diameter.

00:07:40.400 --> 00:07:43.300
Hvis sentrum er innenfor de 2 kordene,

00:07:43.300 --> 00:07:46.100
kan vi tegne en diameter.

00:07:46.100 --> 00:07:48.920
Sånn.

00:07:48.920 --> 00:07:51.680
Når vi tegner diameteren sånn her,

00:07:51.680 --> 00:07:55.430
kan vi definere den her vinkelen som psi 1 og den her som psi 2.

00:07:55.430 --> 00:07:58.320
Psi er summen av de 2 vinklene.

00:07:58.320 --> 00:08:04.350
Vi kaller den her vinkelen for theta 1 og den her for theta 2.

00:08:04.350 --> 00:08:07.240
Ut fra de resultatene, vi har fått,

00:08:07.240 --> 00:08:12.540
vet vi,

00:08:12.540 --> 00:08:18.260
at psi 1 er lik

00:08:18.260 --> 00:08:22.010
med en halv theta 1.

00:08:22.010 --> 00:08:24.870
Vi vet også, at psi 2 er lik med en halv theta 2.

00:08:30.140 --> 00:08:39.850
psi, som er psi 1 pluss psi 2,

00:08:39.850 --> 00:08:41.120
er lik med de her 2 tingene.

00:08:41.120 --> 00:08:47.580
En halv theta 1 pluss en halv theta 2.

00:08:47.580 --> 00:08:51.180
Psi 2 pluss psi 2 er

00:08:51.180 --> 00:08:53.850
lik med den første innskrevne vinkelen, som er psi.

00:08:53.850 --> 00:08:54.980
Det her er psi.

00:08:54.980 --> 00:08:58.350
Det her er lik med

00:08:58.350 --> 00:09:00.960
en halv ganger theta 1 pluss theta 2.

00:09:00.960 --> 00:09:03.960
Hva er theta 1 pluss theta 2?

00:09:03.960 --> 00:09:06.470
Det er vår originale theta,

00:09:06.470 --> 00:09:08.490
som vi begynte med.

00:09:08.490 --> 00:09:12.080
Nå ser vi, at psi er lik med en halv theta.

00:09:12.080 --> 00:09:14.710
Nå har vi bevist det på en litt mer generell måte,

00:09:14.710 --> 00:09:20.020
hvor vår sentrum er innenfor de 2 halvlinjene,

00:09:20.020 --> 00:09:21.640
som definerer vår vinkel.

00:09:21.640 --> 00:09:27.100
Nå har du fortsatt ikke sett på en vanskelig situasjon

00:09:27.100 --> 00:09:33.660
eller en mer generell situasjon,

00:09:33.660 --> 00:09:39.420
hvor sentrum i sirkelen ikke er innenfor

00:09:39.420 --> 00:09:40.990
de 2 kordene.

00:09:40.990 --> 00:09:41.820
La oss tegne en sånn situasjon.

00:09:41.820 --> 00:09:48.800
De her er vår vinkelspiss.

00:09:48.800 --> 00:09:51.540
Det her er en av kordene,

00:09:51.540 --> 00:09:53.320
som definerer vinkelen.

00:09:53.320 --> 00:09:57.860
Det her er den andre korden,

00:09:57.860 --> 00:09:59.170
så vinkelen definere sånn her.

00:10:02.500 --> 00:10:07.910
La oss kalle den her vinkelen for psi 1.

00:10:07.910 --> 00:10:13.050
Hvordan finner vi forholdet mellom psi 1 og den sentervinkelen,

00:10:13.050 --> 00:10:16.160
som ligger rett over den samme sirkelbuen?

00:10:16.160 --> 00:10:19.530
Det er den her sirkelbuen.

00:10:19.530 --> 00:10:22.720
Den sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,

00:10:22.720 --> 00:10:23.660
ser sånn her ut.

00:10:28.150 --> 00:10:32.910
Den kaller vi theta 1.

00:10:32.910 --> 00:10:36.770
Vi kan bruke det, vi akkurat har lært,

00:10:36.770 --> 00:10:39.350
når den ene siden i vår innskrevne vinkel er en diameter.

00:10:41.135 --> 00:10:44.260
La oss tegne en diameter her.

00:10:44.260 --> 00:10:47.010
Vi skal fremdeles gjerne komme fram til,

00:10:47.010 --> 00:10:48.180
at den her er den halve av den her.

00:10:48.180 --> 00:10:57.560
Diameteren er her.

00:10:57.560 --> 00:11:09.490
Vi kaller den her vinkelen for psi 2.

00:11:09.490 --> 00:11:14.770
Den ligger rett over den her sirkelbuen.

00:11:16.140 --> 00:11:19.770
Den her.

00:11:19.770 --> 00:11:22.360
Sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen,

00:11:22.360 --> 00:11:25.300
kaller vi theta 2.

00:11:25.300 --> 00:11:30.890
Vi vet fra tidligere, at psi 2 er lik med

00:11:30.890 --> 00:11:37.600
en halv theta 2.

00:11:37.600 --> 00:11:40.760
De deler den her diameteren.

00:11:40.760 --> 00:11:44.300
Diameteren her er den ene av de 2 kordene, som danner vinkelen.

00:11:44.300 --> 00:11:47.500
Psi 2 er lik med en halv theta 2.

00:11:50.140 --> 00:11:52.810
Det er nøyaktig det, vi gjorde i den siste videoen.

00:11:52.810 --> 00:11:55.430
Det her er en innskreven vinkel.

00:11:55.430 --> 00:11:59.550
En av de definerte kordene ligger på diameteren.

00:11:59.550 --> 00:12:02.740
Den her er det halve av sentervinkelen,

00:12:02.740 --> 00:12:05.980
som ligger ovenfor den samme sirkelbuen.

00:12:05.980 --> 00:12:09.000
La oss nå se på den store vinkelen.

00:12:09.000 --> 00:12:11.680
Det er den her.

00:12:11.680 --> 00:12:14.240
Psi 1 pluss psi 2.

00:12:14.240 --> 00:12:22.720
Den store vinkelen er psi 1 pluss psi 2.

00:12:22.720 --> 00:12:28.680
Den her ligger over den samme sirkelbuen.

00:12:28.680 --> 00:12:32.100
Diameteren er den ene av de 2 kordene,

00:12:32.100 --> 00:12:34.310
som definerer den her kjempe vinkelen.

00:12:34.310 --> 00:12:37.380
Den her er det halve av den sentervinkelen,

00:12:37.380 --> 00:12:38.580
som ligger over den samme sirkelbuen.

00:12:38.580 --> 00:12:42.270
Vi bruker det, vi allerede har vist i videoen.

00:12:42.270 --> 00:12:47.390
Den her er lik med det halve av den kjempe sentervinkelen,

00:12:47.390 --> 00:12:51.370
som er theta 1 pluss theta 2.

00:12:54.310 --> 00:12:56.530
Inntil videre har vi kun brukt de tingene,

00:12:56.530 --> 00:12:58.160
vi allerede har lært i denne videoen.

00:12:58.160 --> 00:13:03.160
Vi vet allerede, at psi 2 er lik med en halv theta 2.

00:13:03.160 --> 00:13:05.630
La oss nå substituere.

00:13:05.630 --> 00:13:07.030
Den her er lik med den her.

00:13:07.030 --> 00:13:15.330
I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2.

00:13:15.330 --> 00:13:26.630
Psi 1 pluss en halv theta 2 er lik med en halv theta 1 pluss en halv theta 2.

00:13:30.340 --> 00:13:34.020
Nå kan vi trekke en halv theta 2 fra begge sider.

00:13:34.020 --> 00:13:35.740
Her er vårt resultet.

00:13:35.740 --> 00:13:40.900
PSi 1 er lik med en halv theta 1.

00:13:40.900 --> 00:13:41.970
Nå er vi ferdige.

00:13:41.970 --> 00:13:44.990
Vi har bevist,

00:13:44.990 --> 00:13:50.680
at den innskrevne vinkelen alltid er halvparten så står som den sentervinkelen, som ligger over den samme buen.

00:13:50.680 --> 00:13:53.980
Det er likegyldig, om sentrum i sirkelen er innenfor vinkelen,

00:13:53.980 --> 00:13:58.990
utenfor vinkelen

00:13:58.990 --> 00:14:00.950
eller om diameteren er den ene av vinkelkordene.

00:14:00.950 --> 00:14:05.860
Enhver annen vinkel kan altså konstrueres som en sum

00:14:05.860 --> 00:14:08.300
av enhver av de eller alle de, vi akkurat har laget.

00:14:08.300 --> 00:14:10.190
Forhåpentligvis var den nye videoen brukbar,

00:14:10.190 --> 00:14:14.630
og vi kan faktisk bygge videre på de her tingene

00:14:14.630 --> 00:14:16.460
for å lage nye geometribeviser.