I den her videoen skal vi bevise en av de mer brukbare tingene i geometri. Det er, at en innskreven vinkel er en vinkel, hvis vinkelspissen er på en sirkel. Det vår innskrevne vinkel. Vi kaller den psi. Vi bruker psi for innskrevne vinkler i den her videoen. Psi er nøyaktig en halv an den sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen. Vi har akkurat brukt mange flott ord, men man burde ha hørt de før. Det her er psi. Det er en innskrevet vinkel. Dens vinkelspiss er på sirkelen. Når vi tegner de 2 halvlinjene, som går ut fra vinkelen- det er de 2 kordene, som definerer vinkelen- skjærer de i sirkelen i den andre enden. Hvis vi ser på den delen av sirkelen, som er innenfor, er det den sirkelbuen, som ligger rett over psi. Det er noen kompliserte ord, men selveste ideen er simpel. Det her er sirkelbuen, som ligger rett over psi. Psi er den innskrevne vinkelen her. Vinkelspissen er på sirkelen. En sentervinkel er en vinkel, hvor vinkelspissene er i sirkelens sentrum. Det her ser ut til å være sirkelens sentrum. Vi finne det på øyemål. La oss tegne en sentervinkel, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen. Det ligner en sentervinkel. Sånn. Den kaller vi theta. Den her vinkelen er psi, og den her vinkelen er theta. I den her videoen skal vi bevise, at psi alltid er lik med det halve av theta. Hvis psi for eksempel er lik med 25 grader, vet vi med det samme, at theta er lik 50 grader. Hvis theta for eksempel er 80 grader, vet vi, at psi er 40 grader. La oss bevise det. Vi fjerne det her. Et godt sted å starte er med et spesielt tilfelle. Vi tegner en innskreven vinkel, hvor en av kordene også er diameteren i sirkelen. Det her er altså ikke generelt, men et særlig tilfelle. Det her er sentrum i sirkelen. Vi finner det på øyemål. Cirka her. La oss tegne diameteren. Den er her. La oss nå definere den innskrevne vinkelen. Diameteren her er den ene siden. Den andre siden ser kanskje sånn her ut. Vi kaller vinkelen psi. Hvis det her er psi, er det her radius i vår sirkel. Den her lengden er radius i sirkelen. Sirkelens omkrets er definert av alle de punktene, som er nøyaktig en radius borte fra sentrum. Det her er også en radius. Trekanten er en likesidet trekant. Den her 2 sider, som er like lange. De 2 sidene er nøyaktig like lange. Vi vet, at når det er 2 sider, som er like, er grunnvinkelen også lik. Den her er altså også lik med psi. Det kan godt være, at det ikke er helt tydelig. fordi den er skeiv. Når vi ser på en sånn trekant her, og det her er r, og det her er r, altså de her 2 sidene er like, og det her er psi, vet vi, at den her vinkelen også er psi. Grunnvinkelen er lik i en likebeint trekant. Det her er psi, og det her er psi. La oss nå se på sentervinkelen. Det er sentervinkelen, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen. La oss markere sirkelbuen, de begge ligger over. Det her er den pågjeldende sirkelbuen. Her er sentervinkelen theta. Hvis det her er theta, hva er den her vinkelen så? Den vinkelen er supplementær til theta, så den er 180 minus theta. Når vi legger de 2 vinklene sammen, gir de 180 grader. De danner nærmest en linje. De er supplementære. Nå vet vi også, at de her 3 vinklene er i den samme trekanten. Derfor gir de sammenlagt 180 grader. Den her er psi pluss psi pluss den her vinkelen, som er 180 minus theta. De 3 vinklene gir sammenlagt 180 grader. Det er de 3 vinklene i en trekant. Nå kan vi trekke 180 fra på begge sider. Psi pluss psi er 2psi minus theta er lik 0. Vi legger theta til begge sider. Vi får, at 2 psi er lik med theta. Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2. Vi får, at psi er lik med en halv theta. Vi har nå bevist, hva vi ville bevise i det her spesielle tilfelle, hvor en av de halvlinjer, som definerer den innskreven vinkel, er lang diameteren. Diameteren er en del av den halvlinjen. Det er altså et spesielt tilfelle, hvor den ene halvlinjen er på diameteren. Vi kan allerede generalisere vår vite. Vi vet nå, at hvis den her er 50, er den her 100 og omvendt. Uansett hva psi eller theta er, er psi halvdelen av theta. Theta er alltid det dobbelte av psi. Ved å bruke det resultatet, vi er kommet frem til, kan vi generalisere en smule. Det gjelder dog ikke for alle innskrevne vinkler. La oss tegne en sånn en innskreven vinkel her. I den her situasjonen kan vi betrakte sentrum som om, det er inne i vinkelen. Det her er den innskrevne vinkel. Vi vil gjerne finne et forhold mellom den innskrevne vinkel og sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen. Det her er sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen. Ingen av de her kordene definerer den her vinkelen. Det gjør de her diametrene heller ikke. Vi kan tegne en diameter. Hvis sentrum er innenfor de 2 kordene, kan vi tegne en diameter. Sånn. Når vi tegner diameteren sånn her, kan vi definere den her vinkelen som psi 1 og den her som psi 2. Psi er summen av de 2 vinklene. Vi kaller den her vinkelen for theta 1 og den her for theta 2. Ut fra de resultatene, vi har fått, vet vi, at psi 1 er lik med en halv theta 1. Vi vet også, at psi 2 er lik med en halv theta 2. psi, som er psi 1 pluss psi 2, er lik med de her 2 tingene. En halv theta 1 pluss en halv theta 2. Psi 2 pluss psi 2 er lik med den første innskrevne vinkelen, som er psi. Det her er psi. Det her er lik med en halv ganger theta 1 pluss theta 2. Hva er theta 1 pluss theta 2? Det er vår originale theta, som vi begynte med. Nå ser vi, at psi er lik med en halv theta. Nå har vi bevist det på en litt mer generell måte, hvor vår sentrum er innenfor de 2 halvlinjene, som definerer vår vinkel. Nå har du fortsatt ikke sett på en vanskelig situasjon eller en mer generell situasjon, hvor sentrum i sirkelen ikke er innenfor de 2 kordene. La oss tegne en sånn situasjon. De her er vår vinkelspiss. Det her er en av kordene, som definerer vinkelen. Det her er den andre korden, så vinkelen definere sånn her. La oss kalle den her vinkelen for psi 1. Hvordan finner vi forholdet mellom psi 1 og den sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen? Det er den her sirkelbuen. Den sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen, ser sånn her ut. Den kaller vi theta 1. Vi kan bruke det, vi akkurat har lært, når den ene siden i vår innskrevne vinkel er en diameter. La oss tegne en diameter her. Vi skal fremdeles gjerne komme fram til, at den her er den halve av den her. Diameteren er her. Vi kaller den her vinkelen for psi 2. Den ligger rett over den her sirkelbuen. Den her. Sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen, kaller vi theta 2. Vi vet fra tidligere, at psi 2 er lik med en halv theta 2. De deler den her diameteren. Diameteren her er den ene av de 2 kordene, som danner vinkelen. Psi 2 er lik med en halv theta 2. Det er nøyaktig det, vi gjorde i den siste videoen. Det her er en innskreven vinkel. En av de definerte kordene ligger på diameteren. Den her er det halve av sentervinkelen, som ligger ovenfor den samme sirkelbuen. La oss nå se på den store vinkelen. Det er den her. Psi 1 pluss psi 2. Den store vinkelen er psi 1 pluss psi 2. Den her ligger over den samme sirkelbuen. Diameteren er den ene av de 2 kordene, som definerer den her kjempe vinkelen. Den her er det halve av den sentervinkelen, som ligger over den samme sirkelbuen. Vi bruker det, vi allerede har vist i videoen. Den her er lik med det halve av den kjempe sentervinkelen, som er theta 1 pluss theta 2. Inntil videre har vi kun brukt de tingene, vi allerede har lært i denne videoen. Vi vet allerede, at psi 2 er lik med en halv theta 2. La oss nå substituere. Den her er lik med den her. I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2. Psi 1 pluss en halv theta 2 er lik med en halv theta 1 pluss en halv theta 2. Nå kan vi trekke en halv theta 2 fra begge sider. Her er vårt resultet. PSi 1 er lik med en halv theta 1. Nå er vi ferdige. Vi har bevist, at den innskrevne vinkelen alltid er halvparten så står som den sentervinkelen, som ligger over den samme buen. Det er likegyldig, om sentrum i sirkelen er innenfor vinkelen, utenfor vinkelen eller om diameteren er den ene av vinkelkordene. Enhver annen vinkel kan altså konstrueres som en sum av enhver av de eller alle de, vi akkurat har laget. Forhåpentligvis var den nye videoen brukbar, og vi kan faktisk bygge videre på de her tingene for å lage nye geometribeviser.