-
V tomto videu chci udělat důkaz jednoho
z nejvíce užitečných tvrzení v geometrii,
-
a to je to, že obvodový úhel…
-
To je úhel, jehož vrchol
leží na obvodu kružnice.
-
Toto je náš obvodový úhel.
-
Označím jej Ψ (psí). Budu
používat Ψ pro obvodové úhly.
-
Obvodový úhel Ψ je přesně 1/2 středového
úhlu, který vymezuje stejný oblouk.
-
Použil jsem hodně odborných
výrazů, ale myslím si,
-
že pochopíte, co jsem se snažil říct.
Tohle je Ψ. Je to obvodový úhel.
-
Jeho vrchol leží na kružnici.
-
Pokud nakreslíte ven dvě polopřímky,
které vychází přímo z tohoto úhlu,
-
a definují tento úhel, tak to
protne kružnici na druhém konci.
-
A pokud se podíváte na tu část kružnice,
-
která je uvnitř, tak to je ten
oblouk, který je náleží Ψ.
-
Jsou to všechno odborné výrazy, ale myslím
si, že myšlenka je celkem přímočará.
-
Toto napravo je oblouk
ohraničený Ψ,
-
kde Ψ je tento obvodový úhel zde,
vrchol leží na kružnici.
-
Středový úhel je úhel, jehož
vrchol leží ve středu kružnice.
-
Řekněme, že toto zde… Zkusím to zvětšit.
Toto zde je střed kružnice.
-
Nakreslím středový úhel,
který vymezuje stejný oblouk.
-
Vypadá to jako středový úhel,
který vymezuje stejný oblouk.
-
Přesně takto. Nazveme to Θ (théta).
Tento úhel je Ψ, tento úhel zde je Θ.
-
V tomto videu dokážu,
že Ψ je vždycky rovno 1/2 krát Θ.
-
Takže kdybych Vám řekl,
že Ψ je rovno, například,
-
25 stupňům, tak byste hned věděli,
že Θ musí být rovno 50 stupňům.
-
Nebo bych řekl, že Θ má 80 stupňů,
tak byste hned věděli, že Ψ má 40 stupňů.
-
Tak to pojďme dokázat. Tohle smažu.
-
Dobrý způsob, jak začít, nebo jak
já začnu, je probrat speciální případy.
-
Nakreslím obvodový úhel,
kde ale jedna z tětiv je průměr kružnice.
-
To tedy není obecný případ,
tohle je speciální případ.
-
Toto je střed kružnice. Zkusím to zvětšit.
Střed vypadá takto. Nakreslím průměr.
-
Průměr vypadá nějak takto.
Pak nakreslím obvodový úhel.
-
Poloměr je jeho jedna část.
A pak druhá část třeba nějak takto.
-
Toto nazvu Ψ. Tato vzdálenost
je poloměr, to je poloměr kružnice.
-
Pak tato délka bude také poloměr této
kružnice, který jde od středu k obvodu.
-
Kružnice je definovaná všemi body, které
jsou přesně poloměr vzdálené od středu.
-
Toto je také poloměr. Tento
trojúhelník je rovnoramenný.
-
Má dvě stejně dlouhé strany.
Tyto dvě strany jsou rozhodně stejné.
-
Víme, že když jsou dvě strany stejné, tak
jejich úhly u základny jsou také stejné.
-
Pak tedy i toto bude rovno Ψ.
-
Možná to nepoznáváte,
protože to je natočené.
-
Ale myslím si, že většina z nás,
když vidí takový trojúhelník
-
a řekl bych, že toto je r, toto je
také r, tyto dvě strany jsou stejné
-
a toto je Ψ, tak byste také věděli,
že tento úhel je také Ψ.
-
Úhly u základny jsou u
rovnoramenného trojúhelníku stejné.
-
Toto je tedy Ψ, toto je také Ψ.
Teď se kouknu na ten středový úhel.
-
Toto je středový úhel
vymezující stejný oblouk.
-
Vyznačím ten oblouk, který oba vymezují.
Toto je středový úhel, nazvu ho Θ.
-
Pokud je tento úhel Θ,
kolik je potom tento úhel?
-
Tento úhel zde. Tento
úhel je doplňkovým k Θ.
-
Takže to je 180 minus Θ.
-
Když dáte tyto dva dohromady,
tak dostanete 180 stupňů.
-
Tak nějak tvoří přímku.
Jsou navzájem doplňkové.
-
Také víme, že tyto tři úhly
jsou ve stejném trojúhelníku.
-
Takže dohromady musí mít 180 stupňů.
-
Máme tedy Ψ… Tohle Ψ
plus Ψ plus tento úhel,
-
který je 180 minus Θ,
neboli plus 180 minus Θ.
-
Tyto tři úhly musí dát
dohromady 180 stupňů.
-
Jsou to úhly v trojúhelníku. Můžeme
odečíst 180 od obou stran rovnice.
-
Ψ plus Ψ jsou 2Ψ minus Θ je rovno 0.
Přičteme Θ k oběma stranám.
-
Máme 2Ψ je rovno Θ.
-
Vynásobíme obě strany 1/2,
nebo vydělíme obě strany 2.
-
A máme Ψ je rovno 1/2 krát Θ.
-
Takže jsme právě dokázali,
co jsme chtěli, ve speciálním případě,
-
kde obvodový úhel je
definovaný tak, že jedna polopřímka…
-
Pokud se na tyto přímky chcete
dívat jako na polopřímky,
-
kde jedna z polopřímek, které
definuíe obvodový úhel, je průměr.
-
Průměr tvoří část té přímky.
-
Tohle je tedy speciální případ,
kde jedna část je průměr.
-
Můžeme to trochu zobecnit.
-
Teď tedy víme, že pokud je toto
50, pak tohle je 100 stupňů a podobně.
-
Cokoli je Ψ, nebo cokoli je Θ,
tak Ψ bude 1/2 krát Θ,
-
nebo cokoli Ψ je,
tak Θ bude dvakrát tolik.
-
A teď to chceme kdykoli.
-
Můžeme to dokázat pouze s tím,
co právě máme, můžeme to trochu zobecnit.
-
I když to nebude platit
pro všechny obvodové úhly.
-
Mějme obvodový úhel,
která vypadá nějak takto.
-
V tomto případě střed, můžete se
na to dívat tak, že to je uvnitř kruhu.
-
To je obvodový úhel.
-
A já chci vztah mezi tímto obvodovým
úhlem a středovým úhlem,
-
který vymezuje stejný oblouk.
-
Toto je středový úhel
vymezující stejný oblouk.
-
Možná si řeknete, že žádná
z těchto přímek nebo tětiv,
-
které definují tento úhel,
není průměr.
-
Ale my ho můžeme dokreslit.
-
Pokud je střed v těchto dvou
tětivách, tak můžeme nakreslit průměr.
-
Můžeme takto nakreslit průměr.
-
Pokud nakreslíme průměr takto, pak
definujeme tento úhel Ψ1 a tento Ψ2.
-
Zjevně je Ψ součet těchto dvou úhlů.
-
A tento úhel můžeme nazvat Θ1 a tento Θ2.
-
Hned víme, jen díky tomu,
co jsme už dokázali,
-
že jelikož máme jednu tětivu našeho
úhlu v obou případech průměrem,
-
tak víme, že Ψ1 bude rovno 1/2 krát Θ1.
A víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.
-
Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.
-
Tedy Ψ, které je rovno Ψ1 plus Ψ2, neboli
Ψ1 plus Ψ2 je rovno těmto dvěma věcem.
-
1/2 krát Θ plus 1/2 krát Θ.
-
Ψ1 plus Ψ2, to je rovno prvnímu obvodovému
úhlu, který nás zajímá, jenom obyčejné Ψ.
-
To je Ψ. A toto zde je
rovno 1/2 krát Θ1 plus Θ2.
-
Co je Θ1 plus Θ2? To je
naše původní Θ, které nás zajímá.
-
Teď tedy vidíme,
že Ψ je rovno 1/2 krát Θ.
-
Teď jsme to dokázali
pro trochu obecnější případ,
-
že pokud je střed mezi dvěma
tětivami, které definují úhel.
-
Ještě jsme pořád nedokázali trochu
těžší situaci, nebo více obecnou situaci,
-
kde máme obvodový úhel
a střed není mezi tětivami.
-
Nakreslím to. Toto je můj
vrchol, a změním barvy.
-
Tady máme jednu tětivu,
která definuje úhel, přesně zde.
-
A máme druhou tětivu,
která definuje úhel.
-
Jak tedy najdeme vztah mezi…
Tento úhel nazveme Ψ1.
-
Jak najdeme vztah mezi Ψ1 a středovým
úhlem, který vymezuje stejný oblouk?
-
Když mluvím o stejném
oblouku, tak to je tento zde.
-
Tedy středový úhel, který vymezuje
stejný oblouk vypadá nějak takto.
-
Nazveme to Θ1.
-
Můžeme udělat to, že použijeme,
co jsme se právě naučili,
-
když jedna strana úhlu je průměr.
Tak to nakresleme.
-
Nakreslím sem průměr.
-
Chceme výsledek, že toto by
mělo být 1/2 krát toto, ale dokažme to.
-
Nakreslím zde průměr.
-
Tento úhel nazveme Ψ2.
A toto je vymezený oblouk.
-
Udělám to tmavší barvou.
Obsahuje to oblouk zde.
-
Středový úhel, který obsahuje
stejný oblouk, nazveme Θ2.
-
Teď víme z předchozího příkladu,
že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.
-
Mají stejný průměr, je přímo tady.
Průměr je jedna z tětiv, které tvoří úhel.
-
Tedy Ψ2 bude rovno 1/2 krát Θ2.
-
Tohle je to, co jsme se
snažili dělat v minulém videu, že?
-
Tohle je obvodový úhel.
Jedna z tětiv je poloměr.
-
Tohle bude 1/2 krát tento úhel, středový
úhel, který vymezuje stejný oblouk.
-
Koukněme se teď na tento větší úhel.
Tento větší úhel zde.
-
Ψ1 plus Ψ2. Dobře, tento
větší úhel je Ψ1 plus Ψ2.
-
Toto obsahuje celý tento oblouk
a průměr jako jednu tětivu,
-
která definuje tento velký úhel.
-
Tohle bude tedy rovno 1/2 středového úhlu,
který vymezuje stejný oblouk.
-
Používáme to, už jsme
to v tomto videu dokázali.
-
Tohle bude rovno polovině tohoto
velkého středového úhlu Θ1 plus Θ2.
-
Zatím jsme použili vše, co jsme
se naučili před chvílí v tomto videu.
-
Teď víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.
-
Uděláme to tedy substitucí.
Tohle je rovno tomuto.
-
Můžeme říct, že to je Ψ1 plus,
-
místo Ψ2 napíšu 1/2 krát Θ2 je
rovno 1/2 krát Θ1 plus 1/2 krát Θ2.
-
Můžeme odečíst 1/2 krát Θ2 od
obou stran, a máme náš výsledek.
-
Ψ1 je rovno 1/2 krát Θ1.
A máme hotovo.
-
Dokázali jsme, že obvodový úhel
je vždycky 1/2 středového úhlu,
-
který obsahuje stejný oblouk.
-
Nezávisí na tom, jestli střed
kružnice je uvnitř úhlu,
-
nebo vně úhlu, jestli máme
průměr jako tětivu.
-
Jakýkoli jiný úhel může být vytvořen
jako součet některých z těchto úhlů,
-
které jsme již dokázali.
-
Doufám, že Vám to pomohlo
a teď můžeme stavět na tomto tvrzení
-
a vytvořit zajímavější geometrické důkazy.
