WEBVTT 00:00:00.070 --> 00:00:05.790 V tomto videu chci udělat důkaz jednoho z nejvíce užitečných tvrzení v geometrii, 00:00:05.790 --> 00:00:07.910 a to je to, že obvodový úhel… 00:00:07.910 --> 00:00:17.100 To je úhel, jehož vrchol leží na obvodu kružnice. 00:00:17.100 --> 00:00:19.800 Toto je náš obvodový úhel. 00:00:19.800 --> 00:00:27.170 Označím jej Ψ (psí). Budu používat Ψ pro obvodové úhly. 00:00:27.170 --> 00:00:37.880 Obvodový úhel Ψ je přesně 1/2 středového úhlu, který vymezuje stejný oblouk. 00:00:37.880 --> 00:00:40.310 Použil jsem hodně odborných výrazů, ale myslím si, 00:00:40.310 --> 00:00:44.480 že pochopíte, co jsem se snažil říct. Tohle je Ψ. Je to obvodový úhel. 00:00:44.480 --> 00:00:48.710 Jeho vrchol leží na kružnici. 00:00:48.710 --> 00:00:52.570 Pokud nakreslíte ven dvě polopřímky, které vychází přímo z tohoto úhlu, 00:00:52.570 --> 00:00:57.340 a definují tento úhel, tak to protne kružnici na druhém konci. 00:00:57.340 --> 00:01:00.390 A pokud se podíváte na tu část kružnice, 00:01:00.390 --> 00:01:05.970 která je uvnitř, tak to je ten oblouk, který je náleží Ψ. 00:01:05.970 --> 00:01:09.880 Jsou to všechno odborné výrazy, ale myslím si, že myšlenka je celkem přímočará. 00:01:09.880 --> 00:01:27.725 Toto napravo je oblouk ohraničený Ψ, 00:01:27.725 --> 00:01:32.410 kde Ψ je tento obvodový úhel zde, vrchol leží na kružnici. 00:01:32.410 --> 00:01:39.470 Středový úhel je úhel, jehož vrchol leží ve středu kružnice. 00:01:39.470 --> 00:01:45.180 Řekněme, že toto zde… Zkusím to zvětšit. Toto zde je střed kružnice. 00:01:45.180 --> 00:01:51.360 Nakreslím středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. 00:01:51.360 --> 00:01:58.470 Vypadá to jako středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. 00:01:58.470 --> 00:02:05.850 Přesně takto. Nazveme to Θ (théta). Tento úhel je Ψ, tento úhel zde je Θ. 00:02:05.850 --> 00:02:14.060 V tomto videu dokážu, že Ψ je vždycky rovno 1/2 krát Θ. 00:02:14.060 --> 00:02:18.220 Takže kdybych Vám řekl, že Ψ je rovno, například, 00:02:18.220 --> 00:02:23.060 25 stupňům, tak byste hned věděli, že Θ musí být rovno 50 stupňům. 00:02:23.060 --> 00:02:29.230 Nebo bych řekl, že Θ má 80 stupňů, tak byste hned věděli, že Ψ má 40 stupňů. 00:02:29.230 --> 00:02:34.520 Tak to pojďme dokázat. Tohle smažu. 00:02:34.520 --> 00:02:40.460 Dobrý způsob, jak začít, nebo jak já začnu, je probrat speciální případy. 00:02:40.460 --> 00:02:47.940 Nakreslím obvodový úhel, kde ale jedna z tětiv je průměr kružnice. 00:02:47.940 --> 00:02:51.346 To tedy není obecný případ, tohle je speciální případ. 00:02:51.346 --> 00:03:04.235 Toto je střed kružnice. Zkusím to zvětšit. Střed vypadá takto. Nakreslím průměr. 00:03:04.235 --> 00:03:09.290 Průměr vypadá nějak takto. Pak nakreslím obvodový úhel. 00:03:09.290 --> 00:03:15.930 Poloměr je jeho jedna část. A pak druhá část třeba nějak takto. 00:03:15.930 --> 00:03:29.130 Toto nazvu Ψ. Tato vzdálenost je poloměr, to je poloměr kružnice. 00:03:29.130 --> 00:03:35.760 Pak tato délka bude také poloměr této kružnice, který jde od středu k obvodu. 00:03:35.760 --> 00:03:40.340 Kružnice je definovaná všemi body, které jsou přesně poloměr vzdálené od středu. 00:03:40.340 --> 00:03:47.930 Toto je také poloměr. Tento trojúhelník je rovnoramenný. 00:03:47.930 --> 00:03:51.600 Má dvě stejně dlouhé strany. Tyto dvě strany jsou rozhodně stejné. 00:03:51.600 --> 00:03:57.290 Víme, že když jsou dvě strany stejné, tak jejich úhly u základny jsou také stejné. 00:03:57.290 --> 00:04:00.640 Pak tedy i toto bude rovno Ψ. 00:04:00.640 --> 00:04:03.220 Možná to nepoznáváte, protože to je natočené. 00:04:03.220 --> 00:04:08.240 Ale myslím si, že většina z nás, když vidí takový trojúhelník 00:04:08.240 --> 00:04:11.940 a řekl bych, že toto je r, toto je také r, tyto dvě strany jsou stejné 00:04:11.940 --> 00:04:20.840 a toto je Ψ, tak byste také věděli, že tento úhel je také Ψ. 00:04:20.840 --> 00:04:23.930 Úhly u základny jsou u rovnoramenného trojúhelníku stejné. 00:04:23.930 --> 00:04:29.730 Toto je tedy Ψ, toto je také Ψ. Teď se kouknu na ten středový úhel. 00:04:29.730 --> 00:04:32.710 Toto je středový úhel vymezující stejný oblouk. 00:04:32.710 --> 00:04:44.170 Vyznačím ten oblouk, který oba vymezují. Toto je středový úhel, nazvu ho Θ. 00:04:44.170 --> 00:04:49.000 Pokud je tento úhel Θ, kolik je potom tento úhel? 00:04:49.000 --> 00:04:52.960 Tento úhel zde. Tento úhel je doplňkovým k Θ. 00:04:52.960 --> 00:04:56.440 Takže to je 180 minus Θ. 00:04:56.440 --> 00:05:00.430 Když dáte tyto dva dohromady, tak dostanete 180 stupňů. 00:05:00.430 --> 00:05:03.790 Tak nějak tvoří přímku. Jsou navzájem doplňkové. 00:05:03.790 --> 00:05:08.260 Také víme, že tyto tři úhly jsou ve stejném trojúhelníku. 00:05:08.260 --> 00:05:12.030 Takže dohromady musí mít 180 stupňů. 00:05:12.030 --> 00:05:20.060 Máme tedy Ψ… Tohle Ψ plus Ψ plus tento úhel, 00:05:20.060 --> 00:05:25.420 který je 180 minus Θ, neboli plus 180 minus Θ. 00:05:25.420 --> 00:05:29.130 Tyto tři úhly musí dát dohromady 180 stupňů. 00:05:29.130 --> 00:05:37.140 Jsou to úhly v trojúhelníku. Můžeme odečíst 180 od obou stran rovnice. 00:05:37.140 --> 00:05:44.880 Ψ plus Ψ jsou 2Ψ minus Θ je rovno 0. Přičteme Θ k oběma stranám. 00:05:44.880 --> 00:05:48.770 Máme 2Ψ je rovno Θ. 00:05:48.770 --> 00:05:52.850 Vynásobíme obě strany 1/2, nebo vydělíme obě strany 2. 00:05:52.850 --> 00:05:56.680 A máme Ψ je rovno 1/2 krát Θ. 00:05:56.680 --> 00:06:02.320 Takže jsme právě dokázali, co jsme chtěli, ve speciálním případě, 00:06:02.320 --> 00:06:08.030 kde obvodový úhel je definovaný tak, že jedna polopřímka… 00:06:08.030 --> 00:06:10.690 Pokud se na tyto přímky chcete dívat jako na polopřímky, 00:06:10.690 --> 00:06:17.190 kde jedna z polopřímek, které definuíe obvodový úhel, je průměr. 00:06:17.190 --> 00:06:19.200 Průměr tvoří část té přímky. 00:06:19.200 --> 00:06:22.390 Tohle je tedy speciální případ, kde jedna část je průměr. 00:06:22.390 --> 00:06:27.660 Můžeme to trochu zobecnit. 00:06:27.660 --> 00:06:32.830 Teď tedy víme, že pokud je toto 50, pak tohle je 100 stupňů a podobně. 00:06:32.830 --> 00:06:37.880 Cokoli je Ψ, nebo cokoli je Θ, tak Ψ bude 1/2 krát Θ, 00:06:37.880 --> 00:06:41.840 nebo cokoli Ψ je, tak Θ bude dvakrát tolik. 00:06:41.840 --> 00:06:44.110 A teď to chceme kdykoli. 00:06:44.110 --> 00:06:59.470 Můžeme to dokázat pouze s tím, co právě máme, můžeme to trochu zobecnit. 00:06:59.470 --> 00:07:02.890 I když to nebude platit pro všechny obvodové úhly. 00:07:02.890 --> 00:07:10.680 Mějme obvodový úhel, která vypadá nějak takto. 00:07:10.680 --> 00:07:15.450 V tomto případě střed, můžete se na to dívat tak, že to je uvnitř kruhu. 00:07:15.450 --> 00:07:17.150 To je obvodový úhel. 00:07:17.150 --> 00:07:21.430 A já chci vztah mezi tímto obvodovým úhlem a středovým úhlem, 00:07:21.430 --> 00:07:24.370 který vymezuje stejný oblouk. 00:07:24.370 --> 00:07:29.880 Toto je středový úhel vymezující stejný oblouk. 00:07:29.880 --> 00:07:33.550 Možná si řeknete, že žádná z těchto přímek nebo tětiv, 00:07:33.550 --> 00:07:37.310 které definují tento úhel, není průměr. 00:07:37.310 --> 00:07:40.400 Ale my ho můžeme dokreslit. 00:07:40.400 --> 00:07:45.930 Pokud je střed v těchto dvou tětivách, tak můžeme nakreslit průměr. 00:07:45.930 --> 00:07:48.920 Můžeme takto nakreslit průměr. 00:07:48.920 --> 00:07:55.160 Pokud nakreslíme průměr takto, pak definujeme tento úhel Ψ1 a tento Ψ2. 00:07:55.160 --> 00:07:58.320 Zjevně je Ψ součet těchto dvou úhlů. 00:07:58.320 --> 00:08:04.350 A tento úhel můžeme nazvat Θ1 a tento Θ2. 00:08:04.350 --> 00:08:07.860 Hned víme, jen díky tomu, co jsme už dokázali, 00:08:07.860 --> 00:08:13.550 že jelikož máme jednu tětivu našeho úhlu v obou případech průměrem, 00:08:13.550 --> 00:08:24.880 tak víme, že Ψ1 bude rovno 1/2 krát Θ1. A víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. 00:08:24.880 --> 00:08:29.920 Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. 00:08:29.920 --> 00:08:41.130 Tedy Ψ, které je rovno Ψ1 plus Ψ2, neboli Ψ1 plus Ψ2 je rovno těmto dvěma věcem. 00:08:41.130 --> 00:08:47.580 1/2 krát Θ plus 1/2 krát Θ. 00:08:47.580 --> 00:08:53.860 Ψ1 plus Ψ2, to je rovno prvnímu obvodovému úhlu, který nás zajímá, jenom obyčejné Ψ. 00:08:53.860 --> 00:09:00.830 To je Ψ. A toto zde je rovno 1/2 krát Θ1 plus Θ2. 00:09:00.830 --> 00:09:08.450 Co je Θ1 plus Θ2? To je naše původní Θ, které nás zajímá. 00:09:08.450 --> 00:09:12.080 Teď tedy vidíme, že Ψ je rovno 1/2 krát Θ. 00:09:12.080 --> 00:09:14.710 Teď jsme to dokázali pro trochu obecnější případ, 00:09:14.710 --> 00:09:21.640 že pokud je střed mezi dvěma tětivami, které definují úhel. 00:09:21.640 --> 00:09:27.100 Ještě jsme pořád nedokázali trochu těžší situaci, nebo více obecnou situaci, 00:09:27.100 --> 00:09:41.000 kde máme obvodový úhel a střed není mezi tětivami. 00:09:41.000 --> 00:09:48.810 Nakreslím to. Toto je můj vrchol, a změním barvy. 00:09:48.810 --> 00:09:52.990 Tady máme jednu tětivu, která definuje úhel, přesně zde. 00:09:52.990 --> 00:09:59.190 A máme druhou tětivu, která definuje úhel. 00:09:59.190 --> 00:10:07.930 Jak tedy najdeme vztah mezi… Tento úhel nazveme Ψ1. 00:10:07.930 --> 00:10:16.170 Jak najdeme vztah mezi Ψ1 a středovým úhlem, který vymezuje stejný oblouk? 00:10:16.170 --> 00:10:19.530 Když mluvím o stejném oblouku, tak to je tento zde. 00:10:19.530 --> 00:10:28.150 Tedy středový úhel, který vymezuje stejný oblouk vypadá nějak takto. 00:10:28.150 --> 00:10:32.910 Nazveme to Θ1. 00:10:32.910 --> 00:10:35.620 Můžeme udělat to, že použijeme, co jsme se právě naučili, 00:10:35.620 --> 00:10:41.140 když jedna strana úhlu je průměr. Tak to nakresleme. 00:10:41.140 --> 00:10:44.260 Nakreslím sem průměr. 00:10:44.260 --> 00:10:48.140 Chceme výsledek, že toto by mělo být 1/2 krát toto, ale dokažme to. 00:10:48.140 --> 00:10:57.430 Nakreslím zde průměr. 00:10:57.430 --> 00:11:14.390 Tento úhel nazveme Ψ2. A toto je vymezený oblouk. 00:11:14.390 --> 00:11:19.570 Udělám to tmavší barvou. Obsahuje to oblouk zde. 00:11:19.570 --> 00:11:25.340 Středový úhel, který obsahuje stejný oblouk, nazveme Θ2. 00:11:25.340 --> 00:11:37.610 Teď víme z předchozího příkladu, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. 00:11:37.610 --> 00:11:44.310 Mají stejný průměr, je přímo tady. Průměr je jedna z tětiv, které tvoří úhel. 00:11:44.310 --> 00:11:49.840 Tedy Ψ2 bude rovno 1/2 krát Θ2. 00:11:49.840 --> 00:11:52.730 Tohle je to, co jsme se snažili dělat v minulém videu, že? 00:11:52.730 --> 00:11:59.550 Tohle je obvodový úhel. Jedna z tětiv je poloměr. 00:11:59.550 --> 00:12:05.980 Tohle bude 1/2 krát tento úhel, středový úhel, který vymezuje stejný oblouk. 00:12:05.980 --> 00:12:11.680 Koukněme se teď na tento větší úhel. Tento větší úhel zde. 00:12:11.680 --> 00:12:22.650 Ψ1 plus Ψ2. Dobře, tento větší úhel je Ψ1 plus Ψ2. 00:12:22.650 --> 00:12:31.080 Toto obsahuje celý tento oblouk a průměr jako jednu tětivu, 00:12:31.080 --> 00:12:34.320 která definuje tento velký úhel. 00:12:34.320 --> 00:12:38.590 Tohle bude tedy rovno 1/2 středového úhlu, který vymezuje stejný oblouk. 00:12:38.590 --> 00:12:42.270 Používáme to, už jsme to v tomto videu dokázali. 00:12:42.270 --> 00:12:54.190 Tohle bude rovno polovině tohoto velkého středového úhlu Θ1 plus Θ2. 00:12:54.190 --> 00:12:58.180 Zatím jsme použili vše, co jsme se naučili před chvílí v tomto videu. 00:12:58.180 --> 00:13:03.160 Teď víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2. 00:13:03.160 --> 00:13:07.030 Uděláme to tedy substitucí. Tohle je rovno tomuto. 00:13:07.030 --> 00:13:14.140 Můžeme říct, že to je Ψ1 plus, 00:13:14.140 --> 00:13:30.340 místo Ψ2 napíšu 1/2 krát Θ2 je rovno 1/2 krát Θ1 plus 1/2 krát Θ2. 00:13:30.340 --> 00:13:35.740 Můžeme odečíst 1/2 krát Θ2 od obou stran, a máme náš výsledek. 00:13:35.740 --> 00:13:41.980 Ψ1 je rovno 1/2 krát Θ1. A máme hotovo. 00:13:41.980 --> 00:13:48.480 Dokázali jsme, že obvodový úhel je vždycky 1/2 středového úhlu, 00:13:48.480 --> 00:13:50.680 který obsahuje stejný oblouk. 00:13:50.680 --> 00:13:55.860 Nezávisí na tom, jestli střed kružnice je uvnitř úhlu, 00:13:55.860 --> 00:14:00.580 nebo vně úhlu, jestli máme průměr jako tětivu. 00:14:00.580 --> 00:14:07.160 Jakýkoli jiný úhel může být vytvořen jako součet některých z těchto úhlů, 00:14:07.160 --> 00:14:08.350 které jsme již dokázali. 00:14:08.350 --> 00:14:12.550 Doufám, že Vám to pomohlo a teď můžeme stavět na tomto tvrzení 00:14:12.550 --> 00:14:15.850 a vytvořit zajímavější geometrické důkazy.