1
00:00:00,070 --> 00:00:05,790
V tomto videu chci udělat důkaz jednoho
z nejvíce užitečných tvrzení v geometrii,

2
00:00:05,790 --> 00:00:07,910
a to je to, že obvodový úhel…

3
00:00:07,910 --> 00:00:17,100
To je úhel, jehož vrchol
leží na obvodu kružnice.

4
00:00:17,100 --> 00:00:19,800
Toto je náš obvodový úhel.

5
00:00:19,800 --> 00:00:27,170
Označím jej Ψ (psí). Budu
používat Ψ pro obvodové úhly.

6
00:00:27,170 --> 00:00:37,880
Obvodový úhel Ψ je přesně 1/2 středového
úhlu, který vymezuje stejný oblouk.

7
00:00:37,880 --> 00:00:40,310
Použil jsem hodně odborných
výrazů, ale myslím si,

8
00:00:40,310 --> 00:00:44,480
že pochopíte, co jsem se snažil říct.
Tohle je Ψ. Je to obvodový úhel.

9
00:00:44,480 --> 00:00:48,710
Jeho vrchol leží na kružnici.

10
00:00:48,710 --> 00:00:52,570
Pokud nakreslíte ven dvě polopřímky,
které vychází přímo z tohoto úhlu,

11
00:00:52,570 --> 00:00:57,340
a definují tento úhel, tak to
protne kružnici na druhém konci.

12
00:00:57,340 --> 00:01:00,390
A pokud se podíváte na tu část kružnice,

13
00:01:00,390 --> 00:01:05,970
která je uvnitř, tak to je ten
oblouk, který je náleží Ψ.

14
00:01:05,970 --> 00:01:09,880
Jsou to všechno odborné výrazy, ale myslím
si, že myšlenka je celkem přímočará.

15
00:01:09,880 --> 00:01:27,725
Toto napravo je oblouk
ohraničený Ψ,

16
00:01:27,725 --> 00:01:32,410
kde Ψ je tento obvodový úhel zde,
vrchol leží na kružnici.

17
00:01:32,410 --> 00:01:39,470
Středový úhel je úhel, jehož
vrchol leží ve středu kružnice.

18
00:01:39,470 --> 00:01:45,180
Řekněme, že toto zde… Zkusím to zvětšit.
Toto zde je střed kružnice.

19
00:01:45,180 --> 00:01:51,360
Nakreslím středový úhel,
který vymezuje stejný oblouk.

20
00:01:51,360 --> 00:01:58,470
Vypadá to jako středový úhel,
který vymezuje stejný oblouk.

21
00:01:58,470 --> 00:02:05,850
Přesně takto. Nazveme to Θ (théta).
Tento úhel je Ψ, tento úhel zde je Θ.

22
00:02:05,850 --> 00:02:14,060
V tomto videu dokážu,
že Ψ je vždycky rovno 1/2 krát Θ.

23
00:02:14,060 --> 00:02:18,220
Takže kdybych Vám řekl,
že Ψ je rovno, například,

24
00:02:18,220 --> 00:02:23,060
25 stupňům, tak byste hned věděli,
že Θ musí být rovno 50 stupňům.

25
00:02:23,060 --> 00:02:29,230
Nebo bych řekl, že Θ má 80 stupňů,
tak byste hned věděli, že Ψ má 40 stupňů.

26
00:02:29,230 --> 00:02:34,520
Tak to pojďme dokázat. Tohle smažu.

27
00:02:34,520 --> 00:02:40,460
Dobrý způsob, jak začít, nebo jak
já začnu, je probrat speciální případy.

28
00:02:40,460 --> 00:02:47,940
Nakreslím obvodový úhel,
kde ale jedna z tětiv je průměr kružnice.

29
00:02:47,940 --> 00:02:51,346
To tedy není obecný případ,
tohle je speciální případ.

30
00:02:51,346 --> 00:03:04,235
Toto je střed kružnice. Zkusím to zvětšit.
Střed vypadá takto. Nakreslím průměr.

31
00:03:04,235 --> 00:03:09,290
Průměr vypadá nějak takto.
Pak nakreslím obvodový úhel.

32
00:03:09,290 --> 00:03:15,930
Poloměr je jeho jedna část.
A pak druhá část třeba nějak takto.

33
00:03:15,930 --> 00:03:29,130
Toto nazvu Ψ. Tato vzdálenost
je poloměr, to je poloměr kružnice.

34
00:03:29,130 --> 00:03:35,760
Pak tato délka bude také poloměr této
kružnice, který jde od středu k obvodu.

35
00:03:35,760 --> 00:03:40,340
Kružnice je definovaná všemi body, které
jsou přesně poloměr vzdálené od středu.

36
00:03:40,340 --> 00:03:47,930
Toto je také poloměr. Tento
trojúhelník je rovnoramenný.

37
00:03:47,930 --> 00:03:51,600
Má dvě stejně dlouhé strany.
Tyto dvě strany jsou rozhodně stejné.

38
00:03:51,600 --> 00:03:57,290
Víme, že když jsou dvě strany stejné, tak
jejich úhly u základny jsou také stejné.

39
00:03:57,290 --> 00:04:00,640
Pak tedy i toto bude rovno Ψ.

40
00:04:00,640 --> 00:04:03,220
Možná to nepoznáváte,
protože to je natočené.

41
00:04:03,220 --> 00:04:08,240
Ale myslím si, že většina z nás,
když vidí takový trojúhelník

42
00:04:08,240 --> 00:04:11,940
a řekl bych, že toto je r, toto je
také r, tyto dvě strany jsou stejné

43
00:04:11,940 --> 00:04:20,840
a toto je Ψ, tak byste také věděli,
že tento úhel je také Ψ.

44
00:04:20,840 --> 00:04:23,930
Úhly u základny jsou u
rovnoramenného trojúhelníku stejné.

45
00:04:23,930 --> 00:04:29,730
Toto je tedy Ψ, toto je také Ψ.
Teď se kouknu na ten středový úhel.

46
00:04:29,730 --> 00:04:32,710
Toto je středový úhel
vymezující stejný oblouk.

47
00:04:32,710 --> 00:04:44,170
Vyznačím ten oblouk, který oba vymezují.
Toto je středový úhel, nazvu ho Θ.

48
00:04:44,170 --> 00:04:49,000
Pokud je tento úhel Θ,
kolik je potom tento úhel?

49
00:04:49,000 --> 00:04:52,960
Tento úhel zde. Tento
úhel je doplňkovým k Θ.

50
00:04:52,960 --> 00:04:56,440
Takže to je 180 minus Θ.

51
00:04:56,440 --> 00:05:00,430
Když dáte tyto dva dohromady,
tak dostanete 180 stupňů.

52
00:05:00,430 --> 00:05:03,790
Tak nějak tvoří přímku.
Jsou navzájem doplňkové.

53
00:05:03,790 --> 00:05:08,260
Také víme, že tyto tři úhly
jsou ve stejném trojúhelníku.

54
00:05:08,260 --> 00:05:12,030
Takže dohromady musí mít 180 stupňů.

55
00:05:12,030 --> 00:05:20,060
Máme tedy Ψ… Tohle Ψ
plus Ψ plus tento úhel,

56
00:05:20,060 --> 00:05:25,420
který je 180 minus Θ,
neboli plus 180 minus Θ.

57
00:05:25,420 --> 00:05:29,130
Tyto tři úhly musí dát
dohromady 180 stupňů.

58
00:05:29,130 --> 00:05:37,140
Jsou to úhly v trojúhelníku. Můžeme
odečíst 180 od obou stran rovnice.

59
00:05:37,140 --> 00:05:44,880
Ψ plus Ψ jsou 2Ψ minus Θ je rovno 0.
Přičteme Θ k oběma stranám.

60
00:05:44,880 --> 00:05:48,770
Máme 2Ψ je rovno Θ.

61
00:05:48,770 --> 00:05:52,850
Vynásobíme obě strany 1/2,
nebo vydělíme obě strany 2.

62
00:05:52,850 --> 00:05:56,680
A máme Ψ je rovno 1/2 krát Θ.

63
00:05:56,680 --> 00:06:02,320
Takže jsme právě dokázali,
co jsme chtěli, ve speciálním případě,

64
00:06:02,320 --> 00:06:08,030
kde obvodový úhel je
definovaný tak, že jedna polopřímka…

65
00:06:08,030 --> 00:06:10,690
Pokud se na tyto přímky chcete
dívat jako na polopřímky,

66
00:06:10,690 --> 00:06:17,190
kde jedna z polopřímek, které
definuíe obvodový úhel, je průměr.

67
00:06:17,190 --> 00:06:19,200
Průměr tvoří část té přímky.

68
00:06:19,200 --> 00:06:22,390
Tohle je tedy speciální případ,
kde jedna část je průměr.

69
00:06:22,390 --> 00:06:27,660
Můžeme to trochu zobecnit.

70
00:06:27,660 --> 00:06:32,830
Teď tedy víme, že pokud je toto
50, pak tohle je 100 stupňů a podobně.

71
00:06:32,830 --> 00:06:37,880
Cokoli je Ψ, nebo cokoli je Θ,
tak Ψ bude 1/2 krát Θ,

72
00:06:37,880 --> 00:06:41,840
nebo cokoli Ψ je,
tak Θ bude dvakrát tolik.

73
00:06:41,840 --> 00:06:44,110
A teď to chceme kdykoli.

74
00:06:44,110 --> 00:06:59,470
Můžeme to dokázat pouze s tím,
co právě máme, můžeme to trochu zobecnit.

75
00:06:59,470 --> 00:07:02,890
I když to nebude platit
pro všechny obvodové úhly.

76
00:07:02,890 --> 00:07:10,680
Mějme obvodový úhel,
která vypadá nějak takto.

77
00:07:10,680 --> 00:07:15,450
V tomto případě střed, můžete se
na to dívat tak, že to je uvnitř kruhu.

78
00:07:15,450 --> 00:07:17,150
To je obvodový úhel.

79
00:07:17,150 --> 00:07:21,430
A já chci vztah mezi tímto obvodovým
úhlem a středovým úhlem,

80
00:07:21,430 --> 00:07:24,370
který vymezuje stejný oblouk.

81
00:07:24,370 --> 00:07:29,880
Toto je středový úhel
vymezující stejný oblouk.

82
00:07:29,880 --> 00:07:33,550
Možná si řeknete, že žádná
z těchto přímek nebo tětiv,

83
00:07:33,550 --> 00:07:37,310
které definují tento úhel,
není průměr.

84
00:07:37,310 --> 00:07:40,400
Ale my ho můžeme dokreslit.

85
00:07:40,400 --> 00:07:45,930
Pokud je střed v těchto dvou
tětivách, tak můžeme nakreslit průměr.

86
00:07:45,930 --> 00:07:48,920
Můžeme takto nakreslit průměr.

87
00:07:48,920 --> 00:07:55,160
Pokud nakreslíme průměr takto, pak
definujeme tento úhel Ψ1 a tento Ψ2.

88
00:07:55,160 --> 00:07:58,320
Zjevně je Ψ součet těchto dvou úhlů.

89
00:07:58,320 --> 00:08:04,350
A tento úhel můžeme nazvat Θ1 a tento Θ2.

90
00:08:04,350 --> 00:08:07,860
Hned víme, jen díky tomu,
co jsme už dokázali,

91
00:08:07,860 --> 00:08:13,550
že jelikož máme jednu tětivu našeho
úhlu v obou případech průměrem,

92
00:08:13,550 --> 00:08:24,880
tak víme, že Ψ1 bude rovno 1/2 krát Θ1.
A víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

93
00:08:24,880 --> 00:08:29,920
Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

94
00:08:29,920 --> 00:08:41,130
Tedy Ψ, které je rovno Ψ1 plus Ψ2, neboli
Ψ1 plus Ψ2 je rovno těmto dvěma věcem.

95
00:08:41,130 --> 00:08:47,580
1/2 krát Θ plus 1/2 krát Θ.

96
00:08:47,580 --> 00:08:53,860
Ψ1 plus Ψ2, to je rovno prvnímu obvodovému
úhlu, který nás zajímá, jenom obyčejné Ψ.

97
00:08:53,860 --> 00:09:00,830
To je Ψ. A toto zde je
rovno 1/2 krát Θ1 plus Θ2.

98
00:09:00,830 --> 00:09:08,450
Co je Θ1 plus Θ2? To je
naše původní Θ, které nás zajímá.

99
00:09:08,450 --> 00:09:12,080
Teď tedy vidíme,
že Ψ je rovno 1/2 krát Θ.

100
00:09:12,080 --> 00:09:14,710
Teď jsme to dokázali
pro trochu obecnější případ,

101
00:09:14,710 --> 00:09:21,640
že pokud je střed mezi dvěma
tětivami, které definují úhel.

102
00:09:21,640 --> 00:09:27,100
Ještě jsme pořád nedokázali trochu
těžší situaci, nebo více obecnou situaci,

103
00:09:27,100 --> 00:09:41,000
kde máme obvodový úhel
a střed není mezi tětivami.

104
00:09:41,000 --> 00:09:48,810
Nakreslím to. Toto je můj
vrchol, a změním barvy.

105
00:09:48,810 --> 00:09:52,990
Tady máme jednu tětivu,
která definuje úhel, přesně zde.

106
00:09:52,990 --> 00:09:59,190
A máme druhou tětivu,
která definuje úhel.

107
00:09:59,190 --> 00:10:07,930
Jak tedy najdeme vztah mezi…
Tento úhel nazveme Ψ1.

108
00:10:07,930 --> 00:10:16,170
Jak najdeme vztah mezi Ψ1 a středovým
úhlem, který vymezuje stejný oblouk?

109
00:10:16,170 --> 00:10:19,530
Když mluvím o stejném
oblouku, tak to je tento zde.

110
00:10:19,530 --> 00:10:28,150
Tedy středový úhel, který vymezuje
stejný oblouk vypadá nějak takto.

111
00:10:28,150 --> 00:10:32,910
Nazveme to Θ1.

112
00:10:32,910 --> 00:10:35,620
Můžeme udělat to, že použijeme,
co jsme se právě naučili,

113
00:10:35,620 --> 00:10:41,140
když jedna strana úhlu je průměr.
Tak to nakresleme.

114
00:10:41,140 --> 00:10:44,260
Nakreslím sem průměr.

115
00:10:44,260 --> 00:10:48,140
Chceme výsledek, že toto by
mělo být 1/2 krát toto, ale dokažme to.

116
00:10:48,140 --> 00:10:57,430
Nakreslím zde průměr.

117
00:10:57,430 --> 00:11:14,390
Tento úhel nazveme Ψ2.
A toto je vymezený oblouk.

118
00:11:14,390 --> 00:11:19,570
Udělám to tmavší barvou.
Obsahuje to oblouk zde.

119
00:11:19,570 --> 00:11:25,340
Středový úhel, který obsahuje
stejný oblouk, nazveme Θ2.

120
00:11:25,340 --> 00:11:37,610
Teď víme z předchozího příkladu,
že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

121
00:11:37,610 --> 00:11:44,310
Mají stejný průměr, je přímo tady.
Průměr je jedna z tětiv, které tvoří úhel.

122
00:11:44,310 --> 00:11:49,840
Tedy Ψ2 bude rovno 1/2 krát Θ2.

123
00:11:49,840 --> 00:11:52,730
Tohle je to, co jsme se
snažili dělat v minulém videu, že?

124
00:11:52,730 --> 00:11:59,550
Tohle je obvodový úhel.
Jedna z tětiv je poloměr.

125
00:11:59,550 --> 00:12:05,980
Tohle bude 1/2 krát tento úhel, středový
úhel, který vymezuje stejný oblouk.

126
00:12:05,980 --> 00:12:11,680
Koukněme se teď na tento větší úhel.
Tento větší úhel zde.

127
00:12:11,680 --> 00:12:22,650
Ψ1 plus Ψ2. Dobře, tento
větší úhel je Ψ1 plus Ψ2.

128
00:12:22,650 --> 00:12:31,080
Toto obsahuje celý tento oblouk
a průměr jako jednu tětivu,

129
00:12:31,080 --> 00:12:34,320
která definuje tento velký úhel.

130
00:12:34,320 --> 00:12:38,590
Tohle bude tedy rovno 1/2 středového úhlu,
který vymezuje stejný oblouk.

131
00:12:38,590 --> 00:12:42,270
Používáme to, už jsme
to v tomto videu dokázali.

132
00:12:42,270 --> 00:12:54,190
Tohle bude rovno polovině tohoto
velkého středového úhlu Θ1 plus Θ2.

133
00:12:54,190 --> 00:12:58,180
Zatím jsme použili vše, co jsme
se naučili před chvílí v tomto videu.

134
00:12:58,180 --> 00:13:03,160
Teď víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

135
00:13:03,160 --> 00:13:07,030
Uděláme to tedy substitucí.
Tohle je rovno tomuto.

136
00:13:07,030 --> 00:13:14,140
Můžeme říct, že to je Ψ1 plus,

137
00:13:14,140 --> 00:13:30,340
místo Ψ2 napíšu 1/2 krát Θ2 je
rovno 1/2 krát Θ1 plus 1/2 krát Θ2.

138
00:13:30,340 --> 00:13:35,740
Můžeme odečíst 1/2 krát Θ2 od
obou stran, a máme náš výsledek.

139
00:13:35,740 --> 00:13:41,980
Ψ1 je rovno 1/2 krát Θ1.
A máme hotovo.

140
00:13:41,980 --> 00:13:48,480
Dokázali jsme, že obvodový úhel
je vždycky 1/2 středového úhlu,

141
00:13:48,480 --> 00:13:50,680
který obsahuje stejný oblouk.

142
00:13:50,680 --> 00:13:55,860
Nezávisí na tom, jestli střed
kružnice je uvnitř úhlu,

143
00:13:55,860 --> 00:14:00,580
nebo vně úhlu, jestli máme
průměr jako tětivu.

144
00:14:00,580 --> 00:14:07,160
Jakýkoli jiný úhel může být vytvořen
jako součet některých z těchto úhlů,

145
00:14:07,160 --> 00:14:08,350
které jsme již dokázali.

146
00:14:08,350 --> 00:14:12,550
Doufám, že Vám to pomohlo
a teď můžeme stavět na tomto tvrzení

147
00:14:12,550 --> 00:14:15,850
a vytvořit zajímavější geometrické důkazy.