-
ما اود فعله في هذا العرض هو اثبات واحدة من اكثر
-
النتائج فائدة في الهندسة، وهي الزاوية المحيطية
-
وهي عبارة عن زاوية يقع رأسها على محيط
-
الدائرة
-
هذه هي الزاوية المحيطية
-
سأسميها psi --سأستخدم اسم psi للزاوية المحيطية
-
والزوايا في العرض
-
psi، او الزاوية المحيطية، تساوي بالضبط 1/2
-
مركز الزاوية التي تضم نفس القوس
-
لقد استخدمت العديد من الكلمات الجيدة، لكن اعتقد انكم
-
تدركون ما اقول
-
اذاً هذه psi
-
وهي زاوية محيطية
-
وتقع، يقع رأيها على محيط الدائرة
-
واذا رسمت الشعاعين اللذان يأتيان من هذه الزاوية
-
او الوترين اللذان بعرفان هذه الزاوية، فستقاطع
-
الدائرة من النهاية الاخرى
-
واذا نظرت الى الجزء من محيط الدائرة حيث تقع الدائرة
-
داخله، هذا هو القوس الذي
-
يضم بواسطة psi
-
انها جميعهما كلمات ممتازة، لكن اعتقد ان الفكرة
-
مباشرة تماماً
-
هذا عبارة عن القوس الذي يضم بواسطة psi، حيث ان psi هي
-
تلك الزاوية الموجودة هنا، ويقع الرأس
-
على محيط الدائرة
-
الآن، الزاوية المركزية حي الزاوية حيث يكون الرأس
-
واقعاً على مركز الدائرة
-
فانفترض ان هذه --انني احاول ان الحظها--
-
هنا يقع مركز الدائرة
-
دعوني ارسم زاوية مركزية تضم هذا القوس نفسه
-
انه يبدو كزاوية مركزية تضم نفس القوس
-
هكذا
-
دعونا نسميها ثيتا
-
هذه الزاوية هي psi، وهذه الزاوية هي ثيتا
-
وما سأقوم باثباته في هذا العرض هو ان psi دائماً
-
ما تساوي 1/2 ثيتا
-
فاذا اردت ان اقول لكم ان psi تساوي، لا اعلم
-
25 درجة، بالتالي ستعرفون بسرعة ان ثيتا
-
يجب ان تساوي 50 درجة
-
او اذا قلت لكم ان ثيتا قياسها 80 درجة، فسوف
-
تعلمون مباشرة ان قياس psi هو 40 درجة
-
دعونا نقوم باثبات هذا
-
اسمحوا لي ان امحو هذا
-
والمكان الجيد لنبدأ به، او المكان الذي
-
سأبدأ به، عبارة عن حالة خاصة
-
سوف ارسم زاوية محيطية، لكن واحداً من الاوتار
-
التي تعرفها سيكون قطر الدائرة
-
هذه لن تكون الحالة العامة، بل ستكون
-
حالة خاصة
-
دعوني ارى، هذا هو مركز الدائرة
-
احاول ان الحظه
-
المركز يبدو هكذا
-
دعوني ارسم قطراً
-
اذاً القطر يبدو هكذا
-
ثم دعوني اعرف الزاوية المحيطية
-
هذا القطر يعتبر واحد من الاضلاع
-
ثم الضلع الآخر ربما يبدو هكذا
-
دعوني اسمي هذه psi
-
اذا كانت psi، هذا الطول عبارة عن نصف القطر --هذا هو
-
نصف قطر الدائرة
-
ثم هذا الطول سيكون نصف قطر
-
الدائرة الذي ينتقل من مركز المحيط
-
المحيط معرف بجميع النقاط التي
-
بعدعا يساوي بعد نصف القطر عن المركز
-
اذاً هذا ايضاً نصف قطر
-
الآن، هذا المثلث متساوي الساقين
-
لديه ضلعين متساوين
-
ضلعين متساوين
-
نحن نعلم انه عندما يكون لدينا ضلعين متساوين
-
زوايا القاعدة فيهما تكون متساوية
-
اذاً هذه ايضاً مساوية لـ psi
-
وربما انك لن تدركها لأنها
-
مائلة هكذا
-
لكن اعتقد ان العديد منا عندما نرى مثلث يبدو
-
كهذا، اذا افترضنا ان هذا r وهذا r، حيث ان هذان
-
الضلعان متساويان، واذا كانت هذه psi
-
فستعرف ان هذه الزاوية هي ايضاً psi
-
زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين
-
اذاً هذه psi، وتلك ايضاً psi
-
الآن، دعوين انظر الى الزاوية المركزية
-
هذه الزاوية المركزية والتي تضم نفس القوس
-
دعونا نظلل القوس اللذان تضمانه
-
هذا هو القوس اللضان تضمانه
-
هذه هي الزاوية المركزية، اي ثيتا
-
الآن اذا كانت هذه الزاوية ثيتا، فما ستكون هذه الزاوية؟
-
هذه الزاوية
-
حسناً، هذه الزاوية مكملة لثيتا
-
اي ان قياسها 180 - ثيتا
-
عندما تجمع هاتان الزاويتان ستحصل على 180 درجة
-
وستكونان خط
-
انهما مكملتان لبعضهما البعض
-
الآن نحن نعلم ايضاً ان هذه الزوايا الثلاث تقع
-
داخل المثلث نفسه
-
اذاً مجموعهما يجب ان يكون ايضاً 180 درجة
-
فنحصل على psi --psi هذه + psi تلك + psi هذه + هذه
-
الزاوية = 180 - ثيتا + 180 - ثيتا
-
هذه الزوايا الثلاث يجب ان يكون مجموعها 180 درجة
-
انهما زوايا المثلث الثلاث
-
الآن يمكننا ان نطرح 180 من كلا الطرفين
-
psi + psi = 2psi، - ثيتا = 0
-
نجمع ثيتا لكلا الطرفين
-
فنحصل على 2psi = ثيتا
-
نضرب كلا الطرفين بـ 1/2 او نقسم كلا الطرفين على 2
-
فنحصل على psi تساوي 1/2 ثيتا
-
اذاً لقد قمنا باثبات ما اردنا اثباته
-
للحالة الخاصة حيث ان الزاوية المحيطية معرفة، وحيث ان واحداً من
-
الاشعة، اذا اردنا ان نعتبر هذه الخطوط كأشعة، حيث ان واحداً من
-
الاشعة التي تعرف هذه الزاوية المحيطية تكون
-
على طول القطر
-
يشكل القطر جزء من ذاك الشعاع
-
اذاً هذه حالة خاصة حيث ان زاوية واحدة
-
تقع على القطر
-
وبالطبع يمكننا تعميم هذا
-
والآن حيث اننا نعلم انه اذا كانت هذه 50 فهذه
-
ستكون 100 درجة، اليس كذلك؟
-
ومهما كان قياس psi او مهما كان قياس ثيتا، psi ستكون 1/2
-
ذلك، او مهما كان قياس psi، فثيتا تكون
-
2 × ذلك
-
ويتم تطبيق هذا في اي وقت
-
يمكننا استخدام هذه النظرية في اي وقت --باستخدام تلك
-
النتيجة سنحصل على، يمكننا الآن ان نعممها قليلاً
-
رغم ان هذا لا يطبق على جميع الزوايا المحيطية
-
دعونا نرسم زاوية محيطية تبدو هكذا
-
اذاً هذه الحالة، المركز، يمكنك ان تعتبره
-
داخل الدائرة
-
هذه هي الزاوية المحيطية
-
واريد ان اجد علاقة بين هذه
-
الزاوية المحيطية والزاوية المركزية اليت تضم
-
نفس القوس
-
هذه هي الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس
-
حسناً، ربما ستقول، ان لا شيئ من هذه النهايات او هذه
-
الاوتار يعرف الزاوية، ولا اي واحد منهم يعبر قطر
-
لكن ما يمكن فعله هو انه يمكن ان نرسم قطر
-
اذا كان المركز يقع خلال هذان الوتران
-
يمكننا ان نرسم قطر
-
يمكن ان نرسم قطر يبدو هكذا
-
اذا قمنا برسم قطر يبدو هكذا، اذا عرفنا هذه الزاوية
-
لتكون psi1، وهذه الزاوية psi2
-
بكل وضوح فإن psi تساوي مجموع هاتين الزاويتين
-
ونسمي هذه الزاوية ثيتا 1، وهذه ثيتا 2
-
سنعرف هذا مباشرة، باستخدام النتيجة التي
-
حصلت عليها، بما ان لدينا ضلع واحد من الزوايا بكلا الحالتين
-
وهو القطر الآن، نعلم ان psi1
-
= 1/2 ثيتا 1
-
ونعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2
-
psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2
-
اذاً psi، اي psi1 + psi2
-
يسايو هاتان
-
1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2
-
psi1 + psi2 = الزاوية المحيطية الاولى
-
التي نريد التعامل معها
-
هذه psi
-
وهذه تساوي 1/2 ×
-
ثيتا 1 + ثيتا 2
-
ما مجموع ثيتا 1 + ثيتا 2؟
-
خذا يساوي ثيتا الاصلية التي
-
كنا نتعامل معها
-
والآن نرى ان psi تساوي 1/2 ثيتا
-
لقد قمنا الآن باثباتها بحالة اكثر عمومية
-
حيث يقع المركز داخل الشعاعين اللذان
-
يعرفان تلك الزاوية
-
الآن، لم نقم بعد بتعريف حالة اصعب بقليل او
-
حالة اكثر عمومية حيث اذا كان هذا مركز
-
الدائرة ولدي زاوية محيطية والمركز لا
-
يقع داخل الوتران
-
دعوني ارسم ذلك
-
هذا سيكون الرأس، وسأبدل الالوان
-
دعونا نفترض ان هذا واحداً من الاوتار التي تعرف
-
الزاوية، هكذا
-
ولنفترض ان هذا الوتر الآخر الذي يعرف
-
الزاوية هكذا
-
كيف يمكن ان نجد العلاقة بين، دعونا
-
نسمي، هذه الزاوية، دعونا نسميها psi1
-
كيف نجد العلاقة بين psi1 و الزاوية المركزية
-
التي تضم نفس القوس؟
-
عندما اتحدث عن نفس القوس هذا الموجود هنا
-
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس
-
ستبدو هكذا
-
دعونا نسميها ثيتا 1
-
ما يمكن فعله هو ان نستخدم ما تعلمناه عندما ضلع من
-
الزاوية المحيطية هو القطر
-
دعونا ننشئ ذلك
-
دعوني ارسم قطراً هنا
-
النتيجة التي نريدها يجب ان تكون 1/2
-
هذا، لكن دعونا نثبت ذلك
-
دعوني ارسم قطراً هكذا
-
دعوني اسمي هذه الزاوية، دعوني اسميها psi2
-
وهي تضم هذا القوس --دعوني ارسمه
-
بلون داكن
-
تضم هذا القوس
-
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس
-
دعوني اسميها ثيتا 2
-
الآن، نحن نعلم من الجزء الاول من العرض ان psi2
-
يساوي 1/2 ثيتا 2، صحيح؟
-
انهما يتشاركان --القطر يقع هنا
-
يعتبر القطر واحداً من الاوتار التي تشكل الزاوية
-
اذاً psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2
-
هذا بالضبط ما كنا نفعله في العرض الاخير، صحيح؟
-
هذه زاوية محيطية
-
واحداً من الاوتار التي تعرف يقع على القطر
-
هذا يساوي 1/2 هذه الزاوية، اي الزاوية المركزية
-
التي تضم نفس الوتر
-
الآن، دعونا ننظر الى هذه الزاوية الاكبر
-
هذه الزاوية الاكبر
-
psi1 + psi2
-
صحيح، الزاوية الاكبر هي psi1 + psi2
-
مرة اخرى، انها تضم هذا القوس بأكمله، و
-
فيه القطر يبدو كواحداً من الاوتار التي تعرف
-
هذه الزاوية الضخمة
-
هذا يساوي 1/2 الزاوية المركزية التي
-
تضم نفس القوس
-
نحن نستخدم ما قمنا بتوضيحه في هذا العرض
-
اذاً هذه تساوي 1/2 هذه الزاوية الضخمة
-
لثيتا 1 + ثيتا 2
-
لقد استخدمنا كل شيئ قد تعلمناه
-
في بداية العرض
-
الآن، نحن بالفعل نعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2
-
دعوني افعل هذا التعويض
-
هذا يساوي ذلك
-
فيمكن ان نقول ان si1 + --بدلاً من si2 سأكتب
-
1/2 ثيتا 2 تساوي 1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2
-
يمكننا ان نطرح 1/2 ثيتا 2 من كلا الطرفين، و
-
نحصل على النتيجة
-
si1 تساوي 1/2 ثيتا 1
-
والآن انتهينا
-
لقد قمنا باثبات الحالة التي تكون فيها الزاوية المحيطية عبارة عن
-
1/2 الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس
-
بغض النظر عن ما اذا كان مركز الدائرة يقع داخل
-
الزاوية، او خارج الزاوية، او اذا كان لدينا
-
قطر على ضلع واحد
-
واي زاوية اخرى يمكن ان تكون عبارة عن مجموع
-
اي واحدة او جميع ما قمنا بفعله
-
اذاً اتمنى انكم وجدتم هذا مفيداً والآن يمكننا بالفعل
-
الاعتماد على هذه النتيجة حتى نقوم بعمل المزيد من
-
االاثباتات الهندسية