0:00:00.690,0:00:03.450
ما اود فعله في هذا العرض هو اثبات واحدة من اكثر

0:00:03.450,0:00:08.980
النتائج فائدة في الهندسة، وهي الزاوية المحيطية

0:00:08.980,0:00:14.950
وهي عبارة عن زاوية يقع رأسها على محيط

0:00:14.950,0:00:17.080
الدائرة

0:00:17.080,0:00:19.800
هذه هي الزاوية المحيطية

0:00:19.800,0:00:24.950
سأسميها psi --سأستخدم اسم psi للزاوية المحيطية

0:00:24.950,0:00:27.170
والزوايا في العرض

0:00:27.170,0:00:33.530
psi، او الزاوية المحيطية، تساوي بالضبط 1/2

0:00:33.530,0:00:37.880
مركز الزاوية التي تضم نفس القوس

0:00:37.880,0:00:40.730
لقد استخدمت العديد من الكلمات الجيدة، لكن اعتقد انكم

0:00:40.730,0:00:41.650
تدركون ما اقول

0:00:41.650,0:00:42.820
اذاً هذه psi

0:00:42.820,0:00:44.470
وهي زاوية محيطية

0:00:44.470,0:00:48.710
وتقع، يقع رأيها على محيط الدائرة

0:00:48.710,0:00:52.570
واذا رسمت الشعاعين اللذان يأتيان من هذه الزاوية

0:00:52.570,0:00:56.040
او الوترين اللذان بعرفان هذه الزاوية، فستقاطع

0:00:56.040,0:00:57.340
الدائرة من النهاية الاخرى

0:00:57.340,0:01:00.390
واذا نظرت الى الجزء من محيط الدائرة حيث تقع الدائرة

0:01:00.390,0:01:03.730
داخله، هذا هو القوس الذي

0:01:03.730,0:01:06.160
يضم بواسطة psi

0:01:06.160,0:01:09.010
انها جميعهما كلمات ممتازة، لكن اعتقد ان الفكرة

0:01:09.010,0:01:09.920
مباشرة تماماً

0:01:09.920,0:01:28.485
هذا عبارة عن القوس الذي يضم بواسطة psi، حيث ان psi هي

0:01:28.485,0:01:31.560
تلك الزاوية الموجودة هنا، ويقع الرأس

0:01:31.560,0:01:32.400
على محيط الدائرة

0:01:32.400,0:01:37.920
الآن، الزاوية المركزية حي الزاوية حيث يكون الرأس

0:01:37.920,0:01:39.460
واقعاً على مركز الدائرة

0:01:39.460,0:01:41.880
فانفترض ان هذه --انني احاول ان الحظها--

0:01:41.880,0:01:45.510
هنا يقع مركز الدائرة

0:01:45.510,0:01:51.360
دعوني ارسم زاوية مركزية تضم هذا القوس نفسه

0:01:51.360,0:01:58.470
انه يبدو كزاوية مركزية تضم نفس القوس

0:01:58.470,0:01:59.390
هكذا

0:01:59.390,0:02:01.440
دعونا نسميها ثيتا

0:02:01.440,0:02:06.030
هذه الزاوية هي psi، وهذه الزاوية هي ثيتا

0:02:06.030,0:02:10.120
وما سأقوم باثباته في هذا العرض هو ان psi دائماً

0:02:10.120,0:02:14.050
ما تساوي 1/2 ثيتا

0:02:14.050,0:02:18.220
فاذا اردت ان اقول لكم ان psi تساوي، لا اعلم

0:02:18.220,0:02:21.330
25 درجة، بالتالي ستعرفون بسرعة ان ثيتا

0:02:21.330,0:02:23.090
يجب ان تساوي 50 درجة

0:02:23.090,0:02:26.080
او اذا قلت لكم ان ثيتا قياسها 80 درجة، فسوف

0:02:26.080,0:02:29.300
تعلمون مباشرة ان قياس psi هو 40 درجة

0:02:29.300,0:02:31.500
دعونا نقوم باثبات هذا

0:02:31.500,0:02:34.520
اسمحوا لي ان امحو هذا

0:02:34.520,0:02:37.730
والمكان الجيد لنبدأ به، او المكان الذي

0:02:37.730,0:02:40.460
سأبدأ به، عبارة عن حالة خاصة

0:02:40.460,0:02:45.250
سوف ارسم زاوية محيطية، لكن واحداً من الاوتار

0:02:45.250,0:02:47.910
التي تعرفها سيكون قطر الدائرة

0:02:47.910,0:02:50.526
هذه لن تكون الحالة العامة، بل ستكون

0:02:50.526,0:02:51.320
حالة خاصة

0:02:51.320,0:02:55.325
دعوني ارى، هذا هو مركز الدائرة

0:02:55.325,0:02:59.030
احاول ان الحظه

0:02:59.030,0:03:00.770
المركز يبدو هكذا

0:03:00.770,0:03:04.210
دعوني ارسم قطراً

0:03:04.210,0:03:06.440
اذاً القطر يبدو هكذا

0:03:06.440,0:03:09.410
ثم دعوني اعرف الزاوية المحيطية

0:03:09.410,0:03:11.860
هذا القطر يعتبر واحد من الاضلاع

0:03:11.860,0:03:15.910
ثم الضلع الآخر ربما يبدو هكذا

0:03:15.910,0:03:20.520
دعوني اسمي هذه psi

0:03:20.520,0:03:27.120
اذا كانت psi، هذا الطول عبارة عن نصف القطر --هذا هو

0:03:27.120,0:03:29.330
نصف قطر الدائرة

0:03:29.330,0:03:33.080
ثم هذا الطول سيكون نصف قطر

0:03:33.080,0:03:35.760
الدائرة الذي ينتقل من مركز المحيط

0:03:35.760,0:03:38.130
المحيط معرف بجميع النقاط التي

0:03:38.130,0:03:40.340
بعدعا يساوي بعد نصف القطر عن المركز

0:03:40.340,0:03:43.610
اذاً هذا ايضاً نصف قطر

0:03:43.610,0:03:47.920
الآن، هذا المثلث متساوي الساقين

0:03:47.920,0:03:49.890
لديه ضلعين متساوين

0:03:49.890,0:03:51.880
ضلعين متساوين

0:03:51.880,0:03:54.630
نحن نعلم انه عندما يكون لدينا ضلعين متساوين

0:03:54.630,0:03:57.290
زوايا القاعدة فيهما تكون متساوية

0:03:57.290,0:04:00.640
اذاً هذه ايضاً مساوية لـ psi

0:04:00.640,0:04:02.130
وربما انك لن تدركها لأنها

0:04:02.130,0:04:03.180
مائلة هكذا

0:04:03.180,0:04:05.720
لكن اعتقد ان العديد منا عندما نرى مثلث يبدو

0:04:05.720,0:04:10.940
كهذا، اذا افترضنا ان هذا r وهذا r، حيث ان هذان

0:04:10.940,0:04:17.860
الضلعان متساويان، واذا كانت هذه psi

0:04:17.860,0:04:20.830
فستعرف ان هذه الزاوية هي ايضاً psi

0:04:20.830,0:04:23.930
زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين

0:04:23.930,0:04:26.720
اذاً هذه psi، وتلك ايضاً psi

0:04:26.720,0:04:29.770
الآن، دعوين انظر الى الزاوية المركزية

0:04:29.770,0:04:32.710
هذه الزاوية المركزية والتي تضم نفس القوس

0:04:32.710,0:04:35.920
دعونا نظلل القوس اللذان تضمانه

0:04:35.920,0:04:40.300
هذا هو القوس اللضان تضمانه

0:04:40.300,0:04:44.350
هذه هي الزاوية المركزية، اي ثيتا

0:04:44.350,0:04:49.000
الآن اذا كانت هذه الزاوية ثيتا، فما ستكون هذه الزاوية؟

0:04:49.000,0:04:50.620
هذه الزاوية

0:04:50.620,0:04:53.010
حسناً، هذه الزاوية مكملة لثيتا

0:04:53.010,0:04:56.640
اي ان قياسها 180 - ثيتا

0:04:56.640,0:04:59.560
عندما تجمع هاتان الزاويتان ستحصل على 180 درجة

0:04:59.560,0:05:01.750
وستكونان خط

0:05:01.750,0:05:03.790
انهما مكملتان لبعضهما البعض

0:05:03.790,0:05:06.740
الآن نحن نعلم ايضاً ان هذه الزوايا الثلاث تقع

0:05:06.740,0:05:08.260
داخل المثلث نفسه

0:05:08.260,0:05:12.030
اذاً مجموعهما يجب ان يكون ايضاً 180 درجة

0:05:12.030,0:05:19.300
فنحصل على psi --psi هذه + psi تلك + psi هذه + هذه

0:05:19.300,0:05:25.420
الزاوية = 180 - ثيتا + 180 - ثيتا

0:05:25.420,0:05:29.130
هذه الزوايا الثلاث يجب ان يكون مجموعها 180 درجة

0:05:29.130,0:05:31.740
انهما زوايا المثلث الثلاث

0:05:31.740,0:05:34.605
الآن يمكننا ان نطرح 180 من كلا الطرفين

0:05:37.140,0:05:43.260
psi + psi = 2psi، - ثيتا = 0

0:05:43.260,0:05:44.840
نجمع ثيتا لكلا الطرفين

0:05:44.840,0:05:48.770
فنحصل على 2psi = ثيتا

0:05:48.770,0:05:52.850
نضرب كلا الطرفين بـ 1/2 او نقسم كلا الطرفين على 2

0:05:52.850,0:05:56.680
فنحصل على psi تساوي 1/2 ثيتا

0:05:56.680,0:06:00.070
اذاً لقد قمنا باثبات ما اردنا اثباته

0:06:00.070,0:06:07.120
للحالة الخاصة حيث ان الزاوية المحيطية معرفة، وحيث ان واحداً من

0:06:07.120,0:06:11.200
الاشعة، اذا اردنا ان نعتبر هذه الخطوط كأشعة، حيث ان واحداً من

0:06:11.200,0:06:15.220
الاشعة التي تعرف هذه الزاوية المحيطية تكون

0:06:15.220,0:06:17.180
على طول القطر

0:06:17.180,0:06:19.200
يشكل القطر جزء من ذاك الشعاع

0:06:19.200,0:06:21.720
اذاً هذه حالة خاصة حيث ان زاوية واحدة

0:06:21.720,0:06:23.760
تقع على القطر

0:06:23.760,0:06:27.660
وبالطبع يمكننا تعميم هذا

0:06:27.660,0:06:30.580
والآن حيث اننا نعلم انه اذا كانت هذه 50 فهذه

0:06:30.580,0:06:32.820
ستكون 100 درجة، اليس كذلك؟

0:06:32.820,0:06:37.460
ومهما كان قياس psi او مهما كان قياس ثيتا، psi ستكون 1/2

0:06:37.460,0:06:40.450
ذلك، او مهما كان قياس psi، فثيتا تكون

0:06:40.450,0:06:41.830
2 × ذلك

0:06:41.830,0:06:44.110
ويتم تطبيق هذا في اي وقت

0:06:44.110,0:06:55.440
يمكننا استخدام هذه النظرية في اي وقت --باستخدام تلك

0:06:55.440,0:06:59.460
النتيجة سنحصل على، يمكننا الآن ان نعممها قليلاً

0:06:59.460,0:07:02.890
رغم ان هذا لا يطبق على جميع الزوايا المحيطية

0:07:02.890,0:07:05.090
دعونا نرسم زاوية محيطية تبدو هكذا

0:07:10.680,0:07:12.980
اذاً هذه الحالة، المركز، يمكنك ان تعتبره

0:07:12.980,0:07:15.470
داخل الدائرة

0:07:15.470,0:07:17.150
هذه هي الزاوية المحيطية

0:07:17.150,0:07:18.890
واريد ان اجد علاقة بين هذه

0:07:18.890,0:07:22.450
الزاوية المحيطية والزاوية المركزية اليت تضم

0:07:22.450,0:07:24.360
نفس القوس

0:07:24.360,0:07:29.880
هذه هي الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

0:07:29.880,0:07:33.550
حسناً، ربما ستقول، ان لا شيئ من هذه النهايات او هذه

0:07:33.550,0:07:37.310
الاوتار يعرف الزاوية، ولا اي واحد منهم يعبر قطر

0:07:37.310,0:07:40.400
لكن ما يمكن فعله هو انه يمكن ان نرسم قطر

0:07:40.400,0:07:43.300
اذا كان المركز يقع خلال هذان الوتران

0:07:43.300,0:07:46.100
يمكننا ان نرسم قطر

0:07:46.100,0:07:48.920
يمكن ان نرسم قطر يبدو هكذا

0:07:48.920,0:07:51.680
اذا قمنا برسم قطر يبدو هكذا، اذا عرفنا هذه الزاوية

0:07:51.680,0:07:55.430
لتكون psi1، وهذه الزاوية psi2

0:07:55.430,0:07:58.320
بكل وضوح فإن psi تساوي مجموع هاتين الزاويتين

0:07:58.320,0:08:04.350
ونسمي هذه الزاوية ثيتا 1، وهذه ثيتا 2

0:08:04.350,0:08:07.240
سنعرف هذا مباشرة، باستخدام النتيجة التي

0:08:07.240,0:08:12.540
حصلت عليها، بما ان لدينا ضلع واحد من الزوايا بكلا الحالتين

0:08:12.540,0:08:18.260
وهو القطر الآن، نعلم ان psi1

0:08:18.260,0:08:22.010
= 1/2 ثيتا 1

0:08:22.010,0:08:24.870
ونعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

0:08:24.870,0:08:30.140
psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

0:08:30.140,0:08:39.850
اذاً psi، اي psi1 + psi2

0:08:39.850,0:08:41.120
يسايو هاتان

0:08:41.120,0:08:47.580
1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

0:08:47.580,0:08:51.180
psi1 + psi2 = الزاوية المحيطية الاولى

0:08:51.180,0:08:53.850
التي نريد التعامل معها

0:08:53.850,0:08:54.980
هذه psi

0:08:54.980,0:08:58.350
وهذه تساوي 1/2 ×

0:08:58.350,0:09:00.960
ثيتا 1 + ثيتا 2

0:09:00.960,0:09:03.960
ما مجموع ثيتا 1 + ثيتا 2؟

0:09:03.960,0:09:06.470
خذا يساوي ثيتا الاصلية التي

0:09:06.470,0:09:08.490
كنا نتعامل معها

0:09:08.490,0:09:12.080
والآن نرى ان psi تساوي 1/2 ثيتا

0:09:12.080,0:09:14.710
لقد قمنا الآن باثباتها بحالة اكثر عمومية

0:09:14.710,0:09:20.020
حيث يقع المركز داخل الشعاعين اللذان

0:09:20.020,0:09:21.640
يعرفان تلك الزاوية

0:09:21.640,0:09:27.100
الآن، لم نقم بعد بتعريف حالة اصعب بقليل او

0:09:27.100,0:09:33.660
حالة اكثر عمومية حيث اذا كان هذا مركز

0:09:33.660,0:09:39.420
الدائرة ولدي زاوية محيطية والمركز لا

0:09:39.420,0:09:40.990
يقع داخل الوتران

0:09:40.990,0:09:41.820
دعوني ارسم ذلك

0:09:41.820,0:09:48.800
هذا سيكون الرأس، وسأبدل الالوان

0:09:48.800,0:09:51.540
دعونا نفترض ان هذا واحداً من الاوتار التي تعرف

0:09:51.540,0:09:53.320
الزاوية، هكذا

0:09:53.320,0:09:57.860
ولنفترض ان هذا الوتر الآخر الذي يعرف

0:09:57.860,0:09:59.170
الزاوية هكذا

0:09:59.170,0:10:02.500
كيف يمكن ان نجد العلاقة بين، دعونا

0:10:02.500,0:10:07.910
نسمي، هذه الزاوية، دعونا نسميها psi1

0:10:07.910,0:10:13.050
كيف نجد العلاقة بين psi1 و الزاوية المركزية

0:10:13.050,0:10:16.160
التي تضم نفس القوس؟

0:10:16.160,0:10:19.530
عندما اتحدث عن نفس القوس هذا الموجود هنا

0:10:19.530,0:10:22.720
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

0:10:22.720,0:10:23.660
ستبدو هكذا

0:10:28.150,0:10:32.910
دعونا نسميها ثيتا 1

0:10:32.910,0:10:36.770
ما يمكن فعله هو ان نستخدم ما تعلمناه عندما ضلع من

0:10:36.770,0:10:39.350
الزاوية المحيطية هو القطر

0:10:39.350,0:10:41.135
دعونا ننشئ ذلك

0:10:41.135,0:10:44.260
دعوني ارسم قطراً هنا

0:10:44.260,0:10:47.010
النتيجة التي نريدها يجب ان تكون 1/2

0:10:47.010,0:10:48.180
هذا، لكن دعونا نثبت ذلك

0:10:48.180,0:10:57.560
دعوني ارسم قطراً هكذا

0:10:57.560,0:11:09.490
دعوني اسمي هذه الزاوية، دعوني اسميها psi2

0:11:09.490,0:11:14.770
وهي تضم هذا القوس --دعوني ارسمه

0:11:14.770,0:11:16.140
بلون داكن

0:11:16.140,0:11:19.770
تضم هذا القوس

0:11:19.770,0:11:22.360
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

0:11:22.360,0:11:25.300
دعوني اسميها ثيتا 2

0:11:25.300,0:11:30.890
الآن، نحن نعلم من الجزء الاول من العرض ان psi2

0:11:30.890,0:11:37.600
يساوي 1/2 ثيتا 2، صحيح؟

0:11:37.600,0:11:40.760
انهما يتشاركان --القطر يقع هنا

0:11:40.760,0:11:44.300
يعتبر القطر واحداً من الاوتار التي تشكل الزاوية

0:11:44.300,0:11:47.500
اذاً psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

0:11:50.140,0:11:52.810
هذا بالضبط ما كنا نفعله في العرض الاخير، صحيح؟

0:11:52.810,0:11:55.430
هذه زاوية محيطية

0:11:55.430,0:11:59.550
واحداً من الاوتار التي تعرف يقع على القطر

0:11:59.550,0:12:02.740
هذا يساوي 1/2 هذه الزاوية، اي الزاوية المركزية

0:12:02.740,0:12:05.980
التي تضم نفس الوتر

0:12:05.980,0:12:09.000
الآن، دعونا ننظر الى هذه الزاوية الاكبر

0:12:09.000,0:12:11.680
هذه الزاوية الاكبر

0:12:11.680,0:12:14.240
psi1 + psi2

0:12:14.240,0:12:22.720
صحيح، الزاوية الاكبر هي psi1 + psi2

0:12:22.720,0:12:28.680
مرة اخرى، انها تضم هذا القوس بأكمله، و

0:12:28.680,0:12:32.100
فيه القطر يبدو كواحداً من الاوتار التي تعرف

0:12:32.100,0:12:34.310
هذه الزاوية الضخمة

0:12:34.310,0:12:37.380
هذا يساوي 1/2 الزاوية المركزية التي

0:12:37.380,0:12:38.580
تضم نفس القوس

0:12:38.580,0:12:42.270
نحن نستخدم ما قمنا بتوضيحه في هذا العرض

0:12:42.270,0:12:47.390
اذاً هذه تساوي 1/2 هذه الزاوية الضخمة

0:12:47.390,0:12:51.370
لثيتا 1 + ثيتا 2

0:12:54.310,0:12:56.530
لقد استخدمنا كل شيئ قد تعلمناه

0:12:56.530,0:12:58.160
في بداية العرض

0:12:58.160,0:13:03.160
الآن، نحن بالفعل نعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

0:13:03.160,0:13:05.630
دعوني افعل هذا التعويض

0:13:05.630,0:13:07.030
هذا يساوي ذلك

0:13:07.030,0:13:15.330
فيمكن ان نقول ان si1 + --بدلاً من si2 سأكتب

0:13:15.330,0:13:26.630
1/2 ثيتا 2 تساوي 1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

0:13:30.340,0:13:34.020
يمكننا ان نطرح 1/2 ثيتا 2 من كلا الطرفين، و

0:13:34.020,0:13:35.740
نحصل على النتيجة

0:13:35.740,0:13:40.900
si1 تساوي 1/2 ثيتا 1

0:13:40.900,0:13:41.970
والآن انتهينا

0:13:41.970,0:13:44.990
لقد قمنا باثبات الحالة التي تكون فيها الزاوية المحيطية عبارة عن

0:13:44.990,0:13:50.680
1/2 الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

0:13:50.680,0:13:53.980
بغض النظر عن ما اذا كان مركز الدائرة يقع داخل

0:13:53.980,0:13:58.990
الزاوية، او خارج الزاوية، او اذا كان لدينا

0:13:58.990,0:14:00.950
قطر على ضلع واحد

0:14:00.950,0:14:05.860
واي زاوية اخرى يمكن ان تكون عبارة عن مجموع

0:14:05.860,0:14:08.300
اي واحدة او جميع ما قمنا بفعله

0:14:08.300,0:14:10.190
اذاً اتمنى انكم وجدتم هذا مفيداً والآن يمكننا بالفعل

0:14:10.190,0:14:14.630
الاعتماد على هذه النتيجة حتى نقوم بعمل المزيد من

0:14:14.630,0:14:16.460
االاثباتات الهندسية