WEBVTT

00:00:00.690 --> 00:00:03.450
ما اود فعله في هذا العرض هو اثبات واحدة من اكثر

00:00:03.450 --> 00:00:08.980
النتائج فائدة في الهندسة، وهي الزاوية المحيطية

00:00:08.980 --> 00:00:14.950
وهي عبارة عن زاوية يقع رأسها على محيط

00:00:14.950 --> 00:00:17.080
الدائرة

00:00:17.080 --> 00:00:19.800
هذه هي الزاوية المحيطية

00:00:19.800 --> 00:00:24.950
سأسميها psi --سأستخدم اسم psi للزاوية المحيطية

00:00:24.950 --> 00:00:27.170
والزوايا في العرض

00:00:27.170 --> 00:00:33.530
psi، او الزاوية المحيطية، تساوي بالضبط 1/2

00:00:33.530 --> 00:00:37.880
مركز الزاوية التي تضم نفس القوس

00:00:37.880 --> 00:00:40.730
لقد استخدمت العديد من الكلمات الجيدة، لكن اعتقد انكم

00:00:40.730 --> 00:00:41.650
تدركون ما اقول

00:00:41.650 --> 00:00:42.820
اذاً هذه psi

00:00:42.820 --> 00:00:44.470
وهي زاوية محيطية

00:00:44.470 --> 00:00:48.710
وتقع، يقع رأيها على محيط الدائرة

00:00:48.710 --> 00:00:52.570
واذا رسمت الشعاعين اللذان يأتيان من هذه الزاوية

00:00:52.570 --> 00:00:56.040
او الوترين اللذان بعرفان هذه الزاوية، فستقاطع

00:00:56.040 --> 00:00:57.340
الدائرة من النهاية الاخرى

00:00:57.340 --> 00:01:00.390
واذا نظرت الى الجزء من محيط الدائرة حيث تقع الدائرة

00:01:00.390 --> 00:01:03.730
داخله، هذا هو القوس الذي

00:01:03.730 --> 00:01:06.160
يضم بواسطة psi

00:01:06.160 --> 00:01:09.010
انها جميعهما كلمات ممتازة، لكن اعتقد ان الفكرة

00:01:09.010 --> 00:01:09.920
مباشرة تماماً

00:01:09.920 --> 00:01:28.485
هذا عبارة عن القوس الذي يضم بواسطة psi، حيث ان psi هي

00:01:28.485 --> 00:01:31.560
تلك الزاوية الموجودة هنا، ويقع الرأس

00:01:31.560 --> 00:01:32.400
على محيط الدائرة

00:01:32.400 --> 00:01:37.920
الآن، الزاوية المركزية حي الزاوية حيث يكون الرأس

00:01:37.920 --> 00:01:39.460
واقعاً على مركز الدائرة

00:01:39.460 --> 00:01:41.880
فانفترض ان هذه --انني احاول ان الحظها--

00:01:41.880 --> 00:01:45.510
هنا يقع مركز الدائرة

00:01:45.510 --> 00:01:51.360
دعوني ارسم زاوية مركزية تضم هذا القوس نفسه

00:01:51.360 --> 00:01:58.470
انه يبدو كزاوية مركزية تضم نفس القوس

00:01:58.470 --> 00:01:59.390
هكذا

00:01:59.390 --> 00:02:01.440
دعونا نسميها ثيتا

00:02:01.440 --> 00:02:06.030
هذه الزاوية هي psi، وهذه الزاوية هي ثيتا

00:02:06.030 --> 00:02:10.120
وما سأقوم باثباته في هذا العرض هو ان psi دائماً

00:02:10.120 --> 00:02:14.050
ما تساوي 1/2 ثيتا

00:02:14.050 --> 00:02:18.220
فاذا اردت ان اقول لكم ان psi تساوي، لا اعلم

00:02:18.220 --> 00:02:21.330
25 درجة، بالتالي ستعرفون بسرعة ان ثيتا

00:02:21.330 --> 00:02:23.090
يجب ان تساوي 50 درجة

00:02:23.090 --> 00:02:26.080
او اذا قلت لكم ان ثيتا قياسها 80 درجة، فسوف

00:02:26.080 --> 00:02:29.300
تعلمون مباشرة ان قياس psi هو 40 درجة

00:02:29.300 --> 00:02:31.500
دعونا نقوم باثبات هذا

00:02:31.500 --> 00:02:34.520
اسمحوا لي ان امحو هذا

00:02:34.520 --> 00:02:37.730
والمكان الجيد لنبدأ به، او المكان الذي

00:02:37.730 --> 00:02:40.460
سأبدأ به، عبارة عن حالة خاصة

00:02:40.460 --> 00:02:45.250
سوف ارسم زاوية محيطية، لكن واحداً من الاوتار

00:02:45.250 --> 00:02:47.910
التي تعرفها سيكون قطر الدائرة

00:02:47.910 --> 00:02:50.526
هذه لن تكون الحالة العامة، بل ستكون

00:02:50.526 --> 00:02:51.320
حالة خاصة

00:02:51.320 --> 00:02:55.325
دعوني ارى، هذا هو مركز الدائرة

00:02:55.325 --> 00:02:59.030
احاول ان الحظه

00:02:59.030 --> 00:03:00.770
المركز يبدو هكذا

00:03:00.770 --> 00:03:04.210
دعوني ارسم قطراً

00:03:04.210 --> 00:03:06.440
اذاً القطر يبدو هكذا

00:03:06.440 --> 00:03:09.410
ثم دعوني اعرف الزاوية المحيطية

00:03:09.410 --> 00:03:11.860
هذا القطر يعتبر واحد من الاضلاع

00:03:11.860 --> 00:03:15.910
ثم الضلع الآخر ربما يبدو هكذا

00:03:15.910 --> 00:03:20.520
دعوني اسمي هذه psi

00:03:20.520 --> 00:03:27.120
اذا كانت psi، هذا الطول عبارة عن نصف القطر --هذا هو

00:03:27.120 --> 00:03:29.330
نصف قطر الدائرة

00:03:29.330 --> 00:03:33.080
ثم هذا الطول سيكون نصف قطر

00:03:33.080 --> 00:03:35.760
الدائرة الذي ينتقل من مركز المحيط

00:03:35.760 --> 00:03:38.130
المحيط معرف بجميع النقاط التي

00:03:38.130 --> 00:03:40.340
بعدعا يساوي بعد نصف القطر عن المركز

00:03:40.340 --> 00:03:43.610
اذاً هذا ايضاً نصف قطر

00:03:43.610 --> 00:03:47.920
الآن، هذا المثلث متساوي الساقين

00:03:47.920 --> 00:03:49.890
لديه ضلعين متساوين

00:03:49.890 --> 00:03:51.880
ضلعين متساوين

00:03:51.880 --> 00:03:54.630
نحن نعلم انه عندما يكون لدينا ضلعين متساوين

00:03:54.630 --> 00:03:57.290
زوايا القاعدة فيهما تكون متساوية

00:03:57.290 --> 00:04:00.640
اذاً هذه ايضاً مساوية لـ psi

00:04:00.640 --> 00:04:02.130
وربما انك لن تدركها لأنها

00:04:02.130 --> 00:04:03.180
مائلة هكذا

00:04:03.180 --> 00:04:05.720
لكن اعتقد ان العديد منا عندما نرى مثلث يبدو

00:04:05.720 --> 00:04:10.940
كهذا، اذا افترضنا ان هذا r وهذا r، حيث ان هذان

00:04:10.940 --> 00:04:17.860
الضلعان متساويان، واذا كانت هذه psi

00:04:17.860 --> 00:04:20.830
فستعرف ان هذه الزاوية هي ايضاً psi

00:04:20.830 --> 00:04:23.930
زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين

00:04:23.930 --> 00:04:26.720
اذاً هذه psi، وتلك ايضاً psi

00:04:26.720 --> 00:04:29.770
الآن، دعوين انظر الى الزاوية المركزية

00:04:29.770 --> 00:04:32.710
هذه الزاوية المركزية والتي تضم نفس القوس

00:04:32.710 --> 00:04:35.920
دعونا نظلل القوس اللذان تضمانه

00:04:35.920 --> 00:04:40.300
هذا هو القوس اللضان تضمانه

00:04:40.300 --> 00:04:44.350
هذه هي الزاوية المركزية، اي ثيتا

00:04:44.350 --> 00:04:49.000
الآن اذا كانت هذه الزاوية ثيتا، فما ستكون هذه الزاوية؟

00:04:49.000 --> 00:04:50.620
هذه الزاوية

00:04:50.620 --> 00:04:53.010
حسناً، هذه الزاوية مكملة لثيتا

00:04:53.010 --> 00:04:56.640
اي ان قياسها 180 - ثيتا

00:04:56.640 --> 00:04:59.560
عندما تجمع هاتان الزاويتان ستحصل على 180 درجة

00:04:59.560 --> 00:05:01.750
وستكونان خط

00:05:01.750 --> 00:05:03.790
انهما مكملتان لبعضهما البعض

00:05:03.790 --> 00:05:06.740
الآن نحن نعلم ايضاً ان هذه الزوايا الثلاث تقع

00:05:06.740 --> 00:05:08.260
داخل المثلث نفسه

00:05:08.260 --> 00:05:12.030
اذاً مجموعهما يجب ان يكون ايضاً 180 درجة

00:05:12.030 --> 00:05:19.300
فنحصل على psi --psi هذه + psi تلك + psi هذه + هذه

00:05:19.300 --> 00:05:25.420
الزاوية = 180 - ثيتا + 180 - ثيتا

00:05:25.420 --> 00:05:29.130
هذه الزوايا الثلاث يجب ان يكون مجموعها 180 درجة

00:05:29.130 --> 00:05:31.740
انهما زوايا المثلث الثلاث

00:05:31.740 --> 00:05:34.605
الآن يمكننا ان نطرح 180 من كلا الطرفين

00:05:37.140 --> 00:05:43.260
psi + psi = 2psi، - ثيتا = 0

00:05:43.260 --> 00:05:44.840
نجمع ثيتا لكلا الطرفين

00:05:44.840 --> 00:05:48.770
فنحصل على 2psi = ثيتا

00:05:48.770 --> 00:05:52.850
نضرب كلا الطرفين بـ 1/2 او نقسم كلا الطرفين على 2

00:05:52.850 --> 00:05:56.680
فنحصل على psi تساوي 1/2 ثيتا

00:05:56.680 --> 00:06:00.070
اذاً لقد قمنا باثبات ما اردنا اثباته

00:06:00.070 --> 00:06:07.120
للحالة الخاصة حيث ان الزاوية المحيطية معرفة، وحيث ان واحداً من

00:06:07.120 --> 00:06:11.200
الاشعة، اذا اردنا ان نعتبر هذه الخطوط كأشعة، حيث ان واحداً من

00:06:11.200 --> 00:06:15.220
الاشعة التي تعرف هذه الزاوية المحيطية تكون

00:06:15.220 --> 00:06:17.180
على طول القطر

00:06:17.180 --> 00:06:19.200
يشكل القطر جزء من ذاك الشعاع

00:06:19.200 --> 00:06:21.720
اذاً هذه حالة خاصة حيث ان زاوية واحدة

00:06:21.720 --> 00:06:23.760
تقع على القطر

00:06:23.760 --> 00:06:27.660
وبالطبع يمكننا تعميم هذا

00:06:27.660 --> 00:06:30.580
والآن حيث اننا نعلم انه اذا كانت هذه 50 فهذه

00:06:30.580 --> 00:06:32.820
ستكون 100 درجة، اليس كذلك؟

00:06:32.820 --> 00:06:37.460
ومهما كان قياس psi او مهما كان قياس ثيتا، psi ستكون 1/2

00:06:37.460 --> 00:06:40.450
ذلك، او مهما كان قياس psi، فثيتا تكون

00:06:40.450 --> 00:06:41.830
2 × ذلك

00:06:41.830 --> 00:06:44.110
ويتم تطبيق هذا في اي وقت

00:06:44.110 --> 00:06:55.440
يمكننا استخدام هذه النظرية في اي وقت --باستخدام تلك

00:06:55.440 --> 00:06:59.460
النتيجة سنحصل على، يمكننا الآن ان نعممها قليلاً

00:06:59.460 --> 00:07:02.890
رغم ان هذا لا يطبق على جميع الزوايا المحيطية

00:07:02.890 --> 00:07:05.090
دعونا نرسم زاوية محيطية تبدو هكذا

00:07:10.680 --> 00:07:12.980
اذاً هذه الحالة، المركز، يمكنك ان تعتبره

00:07:12.980 --> 00:07:15.470
داخل الدائرة

00:07:15.470 --> 00:07:17.150
هذه هي الزاوية المحيطية

00:07:17.150 --> 00:07:18.890
واريد ان اجد علاقة بين هذه

00:07:18.890 --> 00:07:22.450
الزاوية المحيطية والزاوية المركزية اليت تضم

00:07:22.450 --> 00:07:24.360
نفس القوس

00:07:24.360 --> 00:07:29.880
هذه هي الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

00:07:29.880 --> 00:07:33.550
حسناً، ربما ستقول، ان لا شيئ من هذه النهايات او هذه

00:07:33.550 --> 00:07:37.310
الاوتار يعرف الزاوية، ولا اي واحد منهم يعبر قطر

00:07:37.310 --> 00:07:40.400
لكن ما يمكن فعله هو انه يمكن ان نرسم قطر

00:07:40.400 --> 00:07:43.300
اذا كان المركز يقع خلال هذان الوتران

00:07:43.300 --> 00:07:46.100
يمكننا ان نرسم قطر

00:07:46.100 --> 00:07:48.920
يمكن ان نرسم قطر يبدو هكذا

00:07:48.920 --> 00:07:51.680
اذا قمنا برسم قطر يبدو هكذا، اذا عرفنا هذه الزاوية

00:07:51.680 --> 00:07:55.430
لتكون psi1، وهذه الزاوية psi2

00:07:55.430 --> 00:07:58.320
بكل وضوح فإن psi تساوي مجموع هاتين الزاويتين

00:07:58.320 --> 00:08:04.350
ونسمي هذه الزاوية ثيتا 1، وهذه ثيتا 2

00:08:04.350 --> 00:08:07.240
سنعرف هذا مباشرة، باستخدام النتيجة التي

00:08:07.240 --> 00:08:12.540
حصلت عليها، بما ان لدينا ضلع واحد من الزوايا بكلا الحالتين

00:08:12.540 --> 00:08:18.260
وهو القطر الآن، نعلم ان psi1

00:08:18.260 --> 00:08:22.010
= 1/2 ثيتا 1

00:08:22.010 --> 00:08:24.870
ونعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

00:08:24.870 --> 00:08:30.140
psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

00:08:30.140 --> 00:08:39.850
اذاً psi، اي psi1 + psi2

00:08:39.850 --> 00:08:41.120
يسايو هاتان

00:08:41.120 --> 00:08:47.580
1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

00:08:47.580 --> 00:08:51.180
psi1 + psi2 = الزاوية المحيطية الاولى

00:08:51.180 --> 00:08:53.850
التي نريد التعامل معها

00:08:53.850 --> 00:08:54.980
هذه psi

00:08:54.980 --> 00:08:58.350
وهذه تساوي 1/2 ×

00:08:58.350 --> 00:09:00.960
ثيتا 1 + ثيتا 2

00:09:00.960 --> 00:09:03.960
ما مجموع ثيتا 1 + ثيتا 2؟

00:09:03.960 --> 00:09:06.470
خذا يساوي ثيتا الاصلية التي

00:09:06.470 --> 00:09:08.490
كنا نتعامل معها

00:09:08.490 --> 00:09:12.080
والآن نرى ان psi تساوي 1/2 ثيتا

00:09:12.080 --> 00:09:14.710
لقد قمنا الآن باثباتها بحالة اكثر عمومية

00:09:14.710 --> 00:09:20.020
حيث يقع المركز داخل الشعاعين اللذان

00:09:20.020 --> 00:09:21.640
يعرفان تلك الزاوية

00:09:21.640 --> 00:09:27.100
الآن، لم نقم بعد بتعريف حالة اصعب بقليل او

00:09:27.100 --> 00:09:33.660
حالة اكثر عمومية حيث اذا كان هذا مركز

00:09:33.660 --> 00:09:39.420
الدائرة ولدي زاوية محيطية والمركز لا

00:09:39.420 --> 00:09:40.990
يقع داخل الوتران

00:09:40.990 --> 00:09:41.820
دعوني ارسم ذلك

00:09:41.820 --> 00:09:48.800
هذا سيكون الرأس، وسأبدل الالوان

00:09:48.800 --> 00:09:51.540
دعونا نفترض ان هذا واحداً من الاوتار التي تعرف

00:09:51.540 --> 00:09:53.320
الزاوية، هكذا

00:09:53.320 --> 00:09:57.860
ولنفترض ان هذا الوتر الآخر الذي يعرف

00:09:57.860 --> 00:09:59.170
الزاوية هكذا

00:09:59.170 --> 00:10:02.500
كيف يمكن ان نجد العلاقة بين، دعونا

00:10:02.500 --> 00:10:07.910
نسمي، هذه الزاوية، دعونا نسميها psi1

00:10:07.910 --> 00:10:13.050
كيف نجد العلاقة بين psi1 و الزاوية المركزية

00:10:13.050 --> 00:10:16.160
التي تضم نفس القوس؟

00:10:16.160 --> 00:10:19.530
عندما اتحدث عن نفس القوس هذا الموجود هنا

00:10:19.530 --> 00:10:22.720
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

00:10:22.720 --> 00:10:23.660
ستبدو هكذا

00:10:28.150 --> 00:10:32.910
دعونا نسميها ثيتا 1

00:10:32.910 --> 00:10:36.770
ما يمكن فعله هو ان نستخدم ما تعلمناه عندما ضلع من

00:10:36.770 --> 00:10:39.350
الزاوية المحيطية هو القطر

00:10:39.350 --> 00:10:41.135
دعونا ننشئ ذلك

00:10:41.135 --> 00:10:44.260
دعوني ارسم قطراً هنا

00:10:44.260 --> 00:10:47.010
النتيجة التي نريدها يجب ان تكون 1/2

00:10:47.010 --> 00:10:48.180
هذا، لكن دعونا نثبت ذلك

00:10:48.180 --> 00:10:57.560
دعوني ارسم قطراً هكذا

00:10:57.560 --> 00:11:09.490
دعوني اسمي هذه الزاوية، دعوني اسميها psi2

00:11:09.490 --> 00:11:14.770
وهي تضم هذا القوس --دعوني ارسمه

00:11:14.770 --> 00:11:16.140
بلون داكن

00:11:16.140 --> 00:11:19.770
تضم هذا القوس

00:11:19.770 --> 00:11:22.360
اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

00:11:22.360 --> 00:11:25.300
دعوني اسميها ثيتا 2

00:11:25.300 --> 00:11:30.890
الآن، نحن نعلم من الجزء الاول من العرض ان psi2

00:11:30.890 --> 00:11:37.600
يساوي 1/2 ثيتا 2، صحيح؟

00:11:37.600 --> 00:11:40.760
انهما يتشاركان --القطر يقع هنا

00:11:40.760 --> 00:11:44.300
يعتبر القطر واحداً من الاوتار التي تشكل الزاوية

00:11:44.300 --> 00:11:47.500
اذاً psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

00:11:50.140 --> 00:11:52.810
هذا بالضبط ما كنا نفعله في العرض الاخير، صحيح؟

00:11:52.810 --> 00:11:55.430
هذه زاوية محيطية

00:11:55.430 --> 00:11:59.550
واحداً من الاوتار التي تعرف يقع على القطر

00:11:59.550 --> 00:12:02.740
هذا يساوي 1/2 هذه الزاوية، اي الزاوية المركزية

00:12:02.740 --> 00:12:05.980
التي تضم نفس الوتر

00:12:05.980 --> 00:12:09.000
الآن، دعونا ننظر الى هذه الزاوية الاكبر

00:12:09.000 --> 00:12:11.680
هذه الزاوية الاكبر

00:12:11.680 --> 00:12:14.240
psi1 + psi2

00:12:14.240 --> 00:12:22.720
صحيح، الزاوية الاكبر هي psi1 + psi2

00:12:22.720 --> 00:12:28.680
مرة اخرى، انها تضم هذا القوس بأكمله، و

00:12:28.680 --> 00:12:32.100
فيه القطر يبدو كواحداً من الاوتار التي تعرف

00:12:32.100 --> 00:12:34.310
هذه الزاوية الضخمة

00:12:34.310 --> 00:12:37.380
هذا يساوي 1/2 الزاوية المركزية التي

00:12:37.380 --> 00:12:38.580
تضم نفس القوس

00:12:38.580 --> 00:12:42.270
نحن نستخدم ما قمنا بتوضيحه في هذا العرض

00:12:42.270 --> 00:12:47.390
اذاً هذه تساوي 1/2 هذه الزاوية الضخمة

00:12:47.390 --> 00:12:51.370
لثيتا 1 + ثيتا 2

00:12:54.310 --> 00:12:56.530
لقد استخدمنا كل شيئ قد تعلمناه

00:12:56.530 --> 00:12:58.160
في بداية العرض

00:12:58.160 --> 00:13:03.160
الآن، نحن بالفعل نعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

00:13:03.160 --> 00:13:05.630
دعوني افعل هذا التعويض

00:13:05.630 --> 00:13:07.030
هذا يساوي ذلك

00:13:07.030 --> 00:13:15.330
فيمكن ان نقول ان si1 + --بدلاً من si2 سأكتب

00:13:15.330 --> 00:13:26.630
1/2 ثيتا 2 تساوي 1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

00:13:30.340 --> 00:13:34.020
يمكننا ان نطرح 1/2 ثيتا 2 من كلا الطرفين، و

00:13:34.020 --> 00:13:35.740
نحصل على النتيجة

00:13:35.740 --> 00:13:40.900
si1 تساوي 1/2 ثيتا 1

00:13:40.900 --> 00:13:41.970
والآن انتهينا

00:13:41.970 --> 00:13:44.990
لقد قمنا باثبات الحالة التي تكون فيها الزاوية المحيطية عبارة عن

00:13:44.990 --> 00:13:50.680
1/2 الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

00:13:50.680 --> 00:13:53.980
بغض النظر عن ما اذا كان مركز الدائرة يقع داخل

00:13:53.980 --> 00:13:58.990
الزاوية، او خارج الزاوية، او اذا كان لدينا

00:13:58.990 --> 00:14:00.950
قطر على ضلع واحد

00:14:00.950 --> 00:14:05.860
واي زاوية اخرى يمكن ان تكون عبارة عن مجموع

00:14:05.860 --> 00:14:08.300
اي واحدة او جميع ما قمنا بفعله

00:14:08.300 --> 00:14:10.190
اذاً اتمنى انكم وجدتم هذا مفيداً والآن يمكننا بالفعل

00:14:10.190 --> 00:14:14.630
الاعتماد على هذه النتيجة حتى نقوم بعمل المزيد من

00:14:14.630 --> 00:14:16.460
االاثباتات الهندسية