-
Laten we wat vergelijkingen doen met absolute waardes.
-
En nog even ter herinnering, als je de absolute waarde neemt
-
van een getal.
-
Laten we zetten, ik neem de absolute waarde van min 1.
-
Wat je dan eigenlijk doet is zeggen, hoe ver is dat van
-
het getal 0 af?
-
En in het geval van min 1, als we een getallenlijn tekenen, daar ---
-
-- dat is een erg slecht getekende getallenlijn.
-
Als we daar een getallenlijn tekenen, dan is dat 0.
-
Dan heb je daar de min 1.
-
OK, dat is 1 vanaf 0.
-
Dus de absolute waarde van min 1 is 1.
-
En de absolute waarde van 1 is ook 1 vanaf 0.
-
Dat is ook gelijk aan 1.
-
In zekere zin is de absolute waarde de afstand vanaf 0.
-
Maar een andere, ik denk simpelere manier van denken,
-
geeft altijd de positieve waarde van het getal.
-
De absolute waarde van min 7,346 is gelijk aan 7,346.
-
Dus met dat in het achterhoofd gaan we wat vergelijkingen doen
-
met absolute waardes erin.
-
Laten we zeggen: ik heb een vergelijking van
-
x min 5 is gelijk aan 10.
-
En een manier om dat uit te leggen is dit, en ik wil dat je erover
-
nadenkt, dit is eigenlijk hetzelfde zeggen als dat de afstand
-
tussen x en 5 is gelijk aan 10.
-
Hoeveel getallen is 10 precies af van 5?
-
En je kan alvast bedenken wat de oplossing is van deze vergelijking,
-
maar ik zal je laten zien hoe je dat systematisch oplost.
-
Dit is waar in twee situaties.
-
Of x min 5 is gelijk aan plus 10.
-
Als hier plus 10 uitkomt, als je de
-
absolute waarde ervan neemt, dan krijg je
-
plus 10.
-
Of x min 5 zou min 10 worden.
-
Als blijkt dat uit min 5 min 10 komt,
-
als je de absolute waarde ervan neemt, zou je weer 10 krijgen.
-
Dus x min 5 zou ook gelijk zijn aan min 10.
-
Beide antwoorden kloppen in deze vergelijking.
-
Om deze op te lossen, moet je 5 aan beide
-
kanten van de vergelijking optellen.
-
Je krijgt dan x is gelijk aan 15.
-
Om deze op te lossen, moet je 5 aan beide kanten van de vergelijking optellen.
-
x is gelijk aan min 5.
-
Dus onze oplossing is dat twee x´en
-
kloppen in deze vergelijking.
-
x zou 15 kunnen zijn.
-
15 min 5 is 10, neem de absolute waarde, en je
-
krijgt 10, of x zou min 5 kunnen zijn.
-
Min 5 min 5 is min 10.
-
Neem de absolute waarde en je krijgt 10.
-
En let op, beide getallen zijn precies 10 vanaf
-
het getal 0.
-
Laten we er nog zo een doen.
-
Laten we er nog een doen.
-
Laten we zeggen dat we de absolute waarde hebben van x plus
-
2 is gelijk aan 6.
-
Wat zegt ons dat dus?
-
Dat zegt ons dat of x plus 2, dat ding binnen
-
de absolute waardetekens, is gelijk aan 6.
-
Of het ding binnen de absolute waardetekens, de x
-
plus 2, zou ook min 6 kunnen zijn.
-
Als dit geheel min 6 blijkt, en je neemt de
-
absolute waarde, dan krijg je 6.
-
Dus, of x plus 2 kan gelijk zijn aan min 6.
-
Als je dan 2 aftrekt van beide zijden van deze
-
vergelijking, dan krijg je x kan gelijk zijn aan 4.
-
Als je 2 aftrekt van beide zijden van deze vergelijking,
-
dan krijg je x kan gelijk zijn aan min 8.
-
Dus dit zijn de twee oplossingen van de vergelijking.
-
En om het goed in je geheugen te printen, die
-
absolute waarde kan je zien als een afstand, je
-
kan dit probleem herschrijven als de absolute waarde van x min
-
min 2 is gelijk aan 6.
-
Dat is dus hetzelfde als, wat zijn de x´en die precies 6
-
af is van min 2?
-
Wat zeiden we dus hierboven, wat zijn de x´en die
-
precies 10 vanaf plus 5 zijn?
-
Welk getal je ook aftrekt van plus 5,
-
deze zijn beide 10 vanaf plus 5 af.
-
Dit is zeggen, wat is precies 6 vanaf
-
min 2?
-
En dat zal 4 zijn, of min 8.
-
Je kunt die twee getallen zelf uitproberen.
-
Laten we nog zo een doen.
-
Laten we nog een doen, en dat doen we in paars.
-
Laten we zeggen dat we de absolute waarde hebben van 4x. Ik ga dit
-
probleem iets aanpassen.
-
4x min 1.
-
De absolute waarde van 4x min 1, is gelijk aan
-
dat laat ik zo -- is gelijk aan 19.
-
Dus, net als de laatste paar problemen, 4x min 1 zou
-
gelijk zijn aan 19.
-
Of 4x min 1 zou min 19 worden.
-
Omdat je dan, als je de absolute waarde ervan neemt,
-
weer 19 krijgt.
-
Of 4x min 1 zou gelijk kunnen zijn aan min 19.
-
Dan los je deze vergelijkingen op.
-
Tel 1 op bij beide zijden van de vergelijking. We kunnen ze
-
zelfs tegelijk doen.
-
Tel 1 op bij beide kanten, dan krijg je 4x is gelijk aan 20.
-
Tel 1 op bij beide zijden en je krijgt 4x is gelijk aan
-
min 18.
-
Deel beide zijden door 4, dan krijg je x is gelijk aan 5.
-
Deel beide zijden door 4, dan krijg je x is gelijk aan
-
min 18 gedeeld door 4, wat gelijk is aan min 9/2.
-
Dus beide van deze x-waardes voldoet aan de vergelijking.
-
Probeer maar.
-
Min 9/2 keer 4.
-
Dat wordt min 18.
-
Min 18 min 1 is min 19.
-
Neem de absolute waarde en je krijgt 19.
-
Je zet hier een 5, 4 keer 5 is 20.
-
Min 1 is plus 19.
-
Je neemt dus de absolute waarde.
-
Nogmaals, je krijgt een 19.
-
Laten we een van deze eens tekenen, gewoon voor de lol.
-
Laten we zeggen: ik heb y is gelijk aan de absolute
-
waarde van x plus 3.
-
Dus dit is een functie, of grafiek, met een
-
absolute waarde erin.
-
Dus denk eens aan twee scenario´s.
-
Er is een scenario waar het ding binnen de absolute waardetekens
-
positief is.
-
Dus je hebt een scenario waar x is plus 3 -- Ik zal het
-
hier schrijven -- x plus 3 is groter dan 0.
-
En dan heb je een scenario waar x plus 3 is minder dan 0.
-
Als x plus 3 is groter dan 0, deze grafiek, of deze lijn --
-
of misschien kunnen we het een lijn noemen -- deze functie is
-
hetzelfde als y is gelijk aan x plus 3.
-
Als dit ding hier groter is dan 0, dan is het
-
absolute waarde-teken niet relevant.
-
Dus dan is dit ding hetzelfde als y is
-
gelijk aan x plus 3.
-
Maar wanneer is x plus 3 groter dan 0?
-
Welnu, als je 3 aftrekt van beide zijden, dan krijg je dat x is
-
groter dan min 3.
-
Dus als x is groter dan min 3, dan gaat deze grafiek
-
eruit zien als y is gelijk aan x plus 3.
-
Nou, als x plus 3 minder is dan 0.
-
Wanneer de situatie zo is dat dit -- binnen de
-
absolute waardetekens -- negatief is, dan is in die situatie
-
deze vergelijking y is gelijk aan
-
min x plus 3.
-
Hoe kunnen we dat zeggen?
-
Nou, kijk, als dit een negatief getal is, als x
-
plus 3 een negatief getal wordt -- dat is namelijk wat
-
we hier aannemen -- als het een negatief getal wordt,
-
als je dan de absolute waarde neem van een negatief
-
getal, dan maak je het positief.
-
Dat is hetzelfde als vermenigvuldigen met min 1.
-
Als je weet dat je de absolute waarde neemt van een negatief
-
getal, dan is dat hetzelfde als vermenigvuldigen met min 1,
-
omdat je het positief maakt.
-
En dit wordt dat de situatie.
-
x plus 3 is minder dan 0.
-
Als we 3 aftrekken van beide zijden, als x minder is dan
-
min 3.
-
Dus als x is minder dan min 3, zal de grafiek
-
er zo uitzien.
-
Als x groter is dan min 3, zal de grafiek er
-
zo uitzien.
-
Laten we kijken hoe de
-
hele grafiek dan wordt.
-
Ik zal de assen tekenen.
-
Dat is mij x-as, dat is mijn y-as.
-
Laat me dat eens uitvermenigvuldigen, dan krijgen we het
-
in de mx plus b vorm.
-
Dit is dus gelijk aan min x min 3.
-
Dus laten we kijken wat de grafiek dan wordt.
-
in het algemeen.
-
Min x min 3.
-
De y-as is min 3, dus 1,2,3.
-
En min x betekent dat het naar beneden helt,
-
het heeft een neerwaartse helling van 1.
-
Dus wordt het zo.
-
De x-snijpunt is x is gelijk aan --.
-
Dus als je zegt dat y is gelijk aan 0, dat gebeurt dan als x is
-
gelijk aan min 3.
-
Dus hij gaat dan door deze lijn,
-
het punt hier.
-
En de grafiek, als we niet deze beperkte lijn hadden
-
hier, zou er zo uitzien.
-
Dat is als we het niet zouden beperken tot deze interval op
-
de x/as.
-
Hoe wordt dan de grafiek?
-
Laten we kijken.
-
Het heeft het y-as snijpunt bij plus 3.
-
Zo dus.
-
En waar is het x-as snijpunt?
-
Als y gelijk is aan 0, dan is x min 3.
-
Dus het gaat ook door het punt hier, en het heeft
-
een helling van 1.
-
Dus het zou er zo ongeveer uitzien.
-
Zo zou de grafiek eruit zien.
-
Nou, wat we nu uitgevonden hebben is dat deze absolute waardefunctie,
-
eruit ziet als deze paarse grafiek als x is minder dan
-
min3.
-
Dus als x is minder dan min 3 -- dat is x is gelijk
-
aan min 3 hier -- als x is minder dan min
-
3, dan lijkt het op deze paarse grafiek.
-
Zo dus.
-
Dus dat is als x is minder dan min 3.
-
Maar als x is groter dan min 3, dan lijkt het
-
op de groene grafiek.
-
Zo ziet het er dan uit.
-
De grafiek lijkt dan op deze vreemde v.
-
Als x is groter dan min 3, is het positief.
-
Dus hebben we de grafiek van -- we hebben een positieve helling.
-
Maar als x is minder dan min 3, dan
-
nemen we eigenlijk de negatieve van de functie, als je het
-
op die manier wilt zien, en krijgen we dus een negatieve helling.
-
Dan krijg je eigenlijk deze v-vorm functie, deze v-vormige
-
grafiek, wat een indicatie is van een functie met een
-
absolute waarde.
