Return to Video

Egyenletek abszolút értékkel

  • 0:00 - 0:03
    Nézzünk meg pár olyan egyenletet, amelyek abszolút értékekkel foglalkoznak!
  • 0:03 - 0:05
    És egy kis áttekintés gyanánt beszéljük meg,
  • 0:05 - 0:07
    mikor is beszélünk a számok abszolút értékéről!
  • 0:07 - 0:10
    Mondjuk, hogy a mínusz 1 abszolút értékét akarjuk venni!
  • 0:10 - 0:12
    Valójában ilyenkor azt nézzük, hogy
  • 0:12 - 0:16
    milyen messzire is helyezkedik el az értékünk a nullától.
  • 0:16 - 0:20
    És a mínusz 1 esetében, ha egy kis számegyenest rajzolunk ide,
  • 0:20 - 0:23
    ... hát ez egy jó csúnya számegyenes...
  • 0:23 - 0:26
    nos, ha ide egy számegyenest rajzolunk... itt a nulla,
  • 0:26 - 0:28
    itt pedig a mínusz 1.
  • 0:28 - 0:30
    Akkor ez 1 egységre van a nullától.
  • 0:30 - 0:33
    Szóval a mínusz 1 abszolút értéke 1.
  • 0:33 - 0:38
    És ugye a plusz 1 abszolút értéke is 1, az is 1 egységnyire van a nullától.
  • 0:38 - 0:40
    Azaz ez is 1 lesz.
  • 0:40 - 0:43
    Szóval akkor az abszolút érték nem más, mint a nullától számított távolság.
  • 0:43 - 0:45
    De ha máshogy közelítjük meg, akkor
  • 0:45 - 0:48
    gyakorlatilag nem más, mint az adott számunk pozitív verziója.
  • 0:48 - 0:59
    A mínusz 7.346 abszolút értéke az 7.346.
  • 0:59 - 1:00
    Szóval ezt észben tartva nézzük meg,
  • 1:00 - 1:05
    meg tudunk-e oldani olyan egyenleteket, melyekben a abszolút értékek lelhetőek fel!
  • 1:05 - 1:06
    Mondjuk ez az egyenletünk:
  • 1:06 - 1:14
    Az X mínusz 5 abszolút értéke egyenlő 10-zel.
  • 1:14 - 1:15
    Egyféle értelmezés szerint...
  • 1:15 - 1:18
    és most én úgy szeretném, hogy így értelmezzük, ez gyakorlatilag
  • 1:18 - 1:23
    nem más, mint hogy az X és az 5 közötti távolság az 10-zel egyenlő.
  • 1:23 - 1:26
    Szóval hány szám létezik, ami 10 egységnyire van az 5-től?
  • 1:26 - 1:29
    Most már egyből elgondolkodhatunk a megoldáson, de
  • 1:29 - 1:31
    azért meg szeretném mutatni, hogy hogy is kell szisztematikusan eljárnunk!
  • 1:31 - 1:36
    Most ez az egyenlet két esetben lehet helytálló.
  • 1:36 - 1:41
    Vagy úgy, hogy az x mínusz 5 az plusz 10, ha
  • 1:41 - 1:44
    ez plusz 10-zel egyenlő, akkor
  • 1:44 - 1:46
    ha ennek abszolút értékét vesszük,
  • 1:46 - 1:48
    akkor plusz 10-et kapunk.
  • 1:48 - 1:53
    Vagy akár az X mínusz 5 mínuszban is jelölheti a 10-et.
  • 1:53 - 1:58
    Ha az X mínusz 5 mínusz 10-zel egyenlő, akkor ennek abszolút értéke
  • 1:58 - 1:59
    szintén plusz 10-et ad!
  • 1:59 - 2:04
    Szóval az X mínusz 5 mínusz 10-zel is egyenlő lehet.
  • 2:04 - 2:07
    Mindkét verzió ugyanis eleget tesz az egyenletben lefektetetteknek.
  • 2:07 - 2:08
    Most, hogy az egyenletet
  • 2:08 - 2:11
    megoldhassuk, adjunk hozzá mindkét oldalhoz 5-öt!
  • 2:11 - 2:14
    Azt kapjuk így, hogy X 15-tel egyenlő.
  • 2:14 - 2:17
    Ahhoz, hogy megkapjuk a megoldást mindkét oldalhoz 5-öt kell adni.
  • 2:17 - 2:20
    X az egyenlő mínusz 5-tel.
  • 2:20 - 2:21
    Így a megoldásunk,
  • 2:21 - 2:24
    iagzából két megoldása is van az egyenletünknek...
  • 2:24 - 2:26
    az X lehet 15.
  • 2:26 - 2:29
    A 15 mínusz 5 az 10, vegyük az abszolút értékét!
  • 2:29 - 2:32
    Ekkor 10-et kapunk. Vagy akár az X mínusz 5 is lehet.
  • 2:32 - 2:36
    Mínusz 5-ből 5 az mínusz 10
  • 2:36 - 2:39
    Ha ennek abszolút értékét vesszük, szintúgy 10-et kapunk.
  • 2:39 - 2:41
    És észre kell ugye vennünk, hogy az itteni
  • 2:41 - 2:45
    számok kereken 10 egységnyire vannak az 5-től.
  • 2:45 - 2:48
    Na akkor nézzünk még egy hasonlót!
  • 2:48 - 2:51
    Nézzünk egy másik példát!
  • 2:51 - 2:52
    Mondjuk ez van nekünk:
  • 2:52 - 2:58
    az X plusz 2 abszolút értéke egyenlő 6-tal.
  • 2:58 - 2:59
    Ez mit mond nekünk?
  • 2:59 - 3:03
    Ez annyit jelent, hogy vagy az X plusz 2-ben
  • 3:03 - 3:07
    belül szereplő ... az abszolút érték jelen belül lévő érték egyenlő 6-tal
  • 3:07 - 3:10
    vagy az abszolút érték jelén belül szereplő összeg
  • 3:10 - 3:12
    azaz az X plusz 2 mínusz 6-tal egyenlő.
  • 3:12 - 3:13
    Ha tehát ennek a műveletnek az eredménye mínusz 6,
  • 3:13 - 3:16
    ennek az abszolút értékét vesszük és úgy 6-ot kapunk.
  • 3:16 - 3:20
    Így az is lehet, hogy az X meg 2 az mínusz 6-tal egyenlő.
  • 3:20 - 3:22
    És ekkor, ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a kettőt, akkor
  • 3:22 - 3:25
    azt kapjuk, az X egyenlő lehet 4-gyel.
  • 3:25 - 3:29
    Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonunk 2-t, akkor
  • 3:29 - 3:33
    azt kapjuk, hogy X egyenlő mínusz 8.
  • 3:33 - 3:37
    Szóval akkor ez a két megoldása van ennek az egyenletnek.
  • 3:37 - 3:39
    És hogy csak jól észben tartsuk, mi is az
  • 3:39 - 3:42
    abszolút érték, úgy is tekinthetünk rá, mint egy távolságra,
  • 3:42 - 3:43
    és így átírhatjuk a műveletünket úgy, mint
  • 3:43 - 3:50
    az X mínusz 6 abszolút értéke egyenlő 6.
  • 3:50 - 3:52
    És akkor ez a kérdés vetődik fel:
  • 3:52 - 3:57
    Mik azok az X-ek, amelyek pontosan 6 egységnyire vannak a mínusz 2-től?
  • 3:57 - 3:59
    Ne feledjük, itt fent azt kérdeztük, hogy
  • 3:59 - 4:03
    mik azok az X-ek, amelyek 10 egységnyire vannak a plusz 5-től!
  • 4:03 - 4:05
    Bármely olyan szám, melyet ha plusz 5-ből kivonunk, akkor
  • 4:05 - 4:08
    10 egységnyire vannak a plusz 5-től.
  • 4:08 - 4:09
    Most itt ez a kérdés:
  • 4:09 - 4:13
    mi az, ami 6 egységnyire van a mínusz 2-től?
  • 4:13 - 4:15
    És a válasz: 4 és mínusz 8 lesz.
  • 4:15 - 4:17
    Ezeket a számokat le is ellenőrizhetjük persze!
  • 4:17 - 4:20
    Na nézzünk meg még egy ilyen hasonlót!
  • 4:20 - 4:25
    Nézzünk meg még egyet! Ezt most lila színnel írjuk.
  • 4:25 - 4:30
    Mondjuk azt, hogy a 4x abszolút értéke szerepel itt.
  • 4:30 - 4:31
    És most egy kicsit változtassunk a műveleten.
  • 4:31 - 4:33
    4x mínusz 1.
  • 4:33 - 4:36
    Tehát a 4x mínusz 1 abszolút értéke...
  • 4:36 - 4:40
    egyenlő mondjuk...egyenlő 19-cel.
  • 4:40 - 4:41
    És éppúgy, mint az elmúlt pár példában
  • 4:41 - 4:47
    4x mínusz 1 legyen 19-cel egyenlő;
  • 4:47 - 4:51
    vagy azt is mondhatjuk, hogy ennek értéke mínusz 19.
  • 4:51 - 4:53
    Mivel, hogy ha ennek az abszolút értékét vesszük, akkor
  • 4:53 - 4:54
    ugyanúgy 19-et kapunk.
  • 4:54 - 4:59
    Azaz 4x mínusz 1 akár mínusz 19-cel is egyenlő lehet.
  • 4:59 - 5:00
    Akkor oldjuk meg ezt a két egyenletet!
  • 5:00 - 5:02
    Adjunk hozzá az egyenlet mindkét oldalához 1-et!
  • 5:02 - 5:04
    Akár szimultánban is elvégezhetjük...
  • 5:04 - 5:08
    Adjunk 1-et ezen művelet mindkét oldalához, és akkor azt kapjuk 4x 20-szal egyenlő.
  • 5:08 - 5:11
    Itt is adjunk hozzá 1-et mindkét oldalhoz, és
  • 5:11 - 5:15
    akkor azt kapjuk, 4x egyenlő mínusz 18-cal.
  • 5:15 - 5:20
    Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő 5-tel.
  • 5:20 - 5:23
    Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő mínusz 18 per 4.
  • 5:23 - 5:31
    Ez egyenlő mínusz 9 ketteddel.
  • 5:31 - 5:35
    Szóval mindkét oldal így kapott x érték eleget tesz az egyenletben felírottaknak.
  • 5:35 - 5:36
    Ellenőrizzük is le!
  • 5:36 - 5:39
    Mínusz 9 ketted szorozva 4-gyel.
  • 5:39 - 5:41
    Ez annyi lesz, mint mínusz 18.
  • 5:41 - 5:44
    Mínusz 18-ból 1 az mínusz 19.
  • 5:44 - 5:46
    Ha ennek abszolút értékét vesszük, 19-et kapunk.
  • 5:46 - 5:49
    Helyettesítsük be az 5-öt! 4-szer 5 az 20.
  • 5:49 - 5:51
    Ebből kivonva 1 az 19-et ad!
  • 5:51 - 5:53
    Ennek abszolút értékét véve
  • 5:53 - 5:55
    újfent azt kapjuk, hogy 19.
  • 5:55 - 5:58
    Próbáljunk meg egyet grafikonosan ábrázolni a móka kedvéért!
  • 5:58 - 5:59
    Mondjuk azt...
  • 5:59 - 6:04
    Az y-unk egyenlő az x plusz 3 abszolút értékével.
  • 6:04 - 6:07
    Ez tehát egy függvény, vagy egy grafikon, melyben
  • 6:07 - 6:09
    szerepel egy abszolút érték.
  • 6:09 - 6:11
    Akkor most gondolkozzunk el a két lehetséges eshetőségen!
  • 6:11 - 6:13
    Itt az első forgatókönyv az az,
  • 6:13 - 6:16
    ahol az abszolút érték jelen belül az érték pozitív.
  • 6:16 - 6:18
    Szóval ezen eshetőségben x egyenlő 3-mal...
  • 6:18 - 6:23
    Le is írom ide, hogy x plusz 3 nagyobb a 0-nál.
  • 6:23 - 6:29
    És aztán ott van még az a lehetőség is, melyben x plusz 3 kisebb a 0-nál.
  • 6:29 - 6:32
    Ha az x plusz 3 nagyobb a 0-nál, akkor
  • 6:32 - 6:36
    ez a grafikon, vagy ez a vonal...úgy vélem, ezt nevezhetjük vonalnak is...ez a
  • 6:36 - 6:41
    függvény egyenlő azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
  • 6:41 - 6:44
    Ha ez a rész itt 0-nál nagyobb, akkor
  • 6:44 - 6:46
    ez az abszolút érték jel irreveláns.
  • 6:46 - 6:48
    Szóval akkor ez a művelet egyenlő lesz
  • 6:48 - 6:50
    azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
  • 6:50 - 6:52
    De mikor is nagyobb az x plusz 3 a 0-nál?
  • 6:52 - 6:56
    Nos, ha mindkét oldalból 3-at vonunk ki, akkor
  • 6:56 - 6:59
    ez kapjuk: x nagyobb mínusz 3-nál.
  • 6:59 - 7:02
    Így amikor x nagyobb mínusz 3-nál,
  • 7:02 - 7:08
    ez a grafikon úgy néz ki, hogy y egyenlő x plusz 3-mal.
  • 7:08 - 7:11
    Most jöjjön, amikor x plusz 3 kisebb a 0-nál!
  • 7:11 - 7:13
    Amikor az a helyzet áll fenn...
  • 7:13 - 7:16
    hogy az abszolút érték jelén belül negatív az összeg.
  • 7:16 - 7:20
    Ebben a helyzetben az egyenletünk ezzel lesz egyenlő:
  • 7:20 - 7:26
    y egyenlő az x mínusz 3 negatív értékével.
  • 7:26 - 7:27
    Hogy is van ez?
  • 7:27 - 7:30
    Nos, láthatjuk, hogy ha ez egy negatív szám, ha tehát
  • 7:30 - 7:33
    az x plusz 3 egy negatív szám lesz...
  • 7:33 - 7:36
    most ezt tételezzük fel...ha tehát ez egy negatív szám lesz,
  • 7:36 - 7:38
    akkor amikor a negatív szám abszolút értékét vesszük,
  • 7:38 - 7:40
    ebből pozitív érték válik.
  • 7:40 - 7:43
    Ez olyan, mint hogyha mínusz 1-gyel megszoroztuk volna.
  • 7:43 - 7:45
    Ezt úgy is vehetjük, hogy amikor egy negatív szám abszolút értékét vesszük,
  • 7:45 - 7:48
    akkor gyakorlatilag ezt a számot mínusz 1-gyel megszorozzuk, mivel
  • 7:48 - 7:51
    így válik az pozitív előjelűvé.
  • 7:51 - 7:53
    És itt most ez a helyzet.
  • 7:53 - 7:55
    x plusz 3 az kisebb, mint 0.
  • 7:55 - 7:59
    Ha mindkét oldalból kivonunk 3-at, akkor x kisebb lesz, mint
  • 7:59 - 8:01
    mínusz 3.
  • 8:01 - 8:03
    Szóval, amikor az x kisebb, mint mínusz 3, akkor az ábránk
  • 8:03 - 8:05
    így fog kinézni.
  • 8:05 - 8:08
    Amikor pedig az x nagyobb, mint mínusz 3, akkor az ábra
  • 8:08 - 8:09
    így fog festeni.
  • 8:09 - 8:11
    Akkor most lássuk, hogy a teljes ábra
  • 8:11 - 8:13
    hogyan fog kinézni!
  • 8:13 - 8:21
    Hadd rajzoljam le a tengelyeket!
  • 8:21 - 8:26
    Ez itt az x tengelyem, ez itt pedig az y tengelyem.
  • 8:26 - 8:29
    Akkor ezt most szorozzuk is össze! Így már csak X
  • 8:29 - 8:29
    plusz b felírásunk lesz!
  • 8:29 - 8:36
    Ez így egyenlő mínusz x mínusz 3-mal.
  • 8:36 - 8:37
    Akkor most ötöljük ki, hogy ez az ábra
  • 8:37 - 8:38
    hogyan is festene általánosságban!
  • 8:38 - 8:42
    Mínusz x mínusz 3.
  • 8:42 - 8:47
    Az y metszet mínusz 3, szóval 1, 2 és 3.
  • 8:47 - 8:51
    És a negatívban lévő x azt jelenti, hogy lefelé tart a vonal, a
  • 8:51 - 8:52
    lejtés mértéke 1.
  • 8:52 - 8:53
    Szóval így nézne ki!
  • 8:56 - 9:02
    Az x metszet ott lenne ... x egyenlő ...
  • 9:02 - 9:07
    Szóval, ha atz mondjuk, y 0-val egyenlő, az akkor következne be, ha
  • 9:07 - 9:08
    x mínusz 3-mal egyenlő.
  • 9:08 - 9:10
    Szóval ez itt ezen a vonalon halad át,
  • 9:10 - 9:11
    ez a pont lesz itt!
  • 9:11 - 9:14
    És ez az ábra, ha nem lenne meg ez a kitételünk itt,
  • 9:14 - 9:15
    akkor valahogy így nézne ki!
  • 9:19 - 9:22
    Ez akkor lenne, ha nem lenne bizonyos intervallumokra megkötés
  • 9:22 - 9:23
    az x tengelyen.
  • 9:23 - 9:27
    Na most akkor ez az ábra hogyan is néz ki?
  • 9:27 - 9:27
    Lássuk is!
  • 9:27 - 9:31
    Az y metszete plusz 3-nál helyezkedik el!
  • 9:31 - 9:33
    Éppen így!
  • 9:33 - 9:35
    És hol van az x metszet akkor?
  • 9:35 - 9:37
    Amikor az y nulla, akkor az x mínusz 3.
  • 9:37 - 9:39
    Szóval akkor ezen a ponton halad át és a
  • 9:39 - 9:40
    lejtése egy egység.
  • 9:40 - 9:43
    Akkor tehát valahogy így nézne ki!
  • 9:43 - 9:45
    Na akkor ez az, ahogy az ábránk kinéz!
  • 9:45 - 9:48
    Most, amit mi kiszámoltunk az nem más, mint ez az abszolút érték
  • 9:48 - 9:52
    függvény. Ez az a lila színű ábra itt, amikor az x kisebb, mint
  • 9:52 - 9:53
    a mínusz 3.
  • 9:53 - 9:57
    Szóval, amikor az x kisebb mínusz 3-nál, akkor ... az x itt egyenlő
  • 9:57 - 9:59
    mínusz 3-mal ... amikor tehát x kisebb, mint mínusz 3,
  • 9:59 - 10:03
    akkor ez ennek a lila ábrának felel meg.
  • 10:03 - 10:04
    Ez itt az!
  • 10:04 - 10:07
    Szóval ez az, ahol az x kisebb a mínusz 3-nál.
  • 10:07 - 10:10
    De amikor az x nagyobb, mint a mínusz 3, akkor ez a zöld
  • 10:10 - 10:12
    színnel jelölt ábrán látható.
  • 10:12 - 10:14
    Így néz ekkor ki ...
  • 10:14 - 10:17
    Szóval ez az ábra egy furcsa v betű alakúnak néz ki.
  • 10:17 - 10:21
    Amikor az x nagyobb a mínusz 3-nál, akkor ez pozitív lesz.
  • 10:21 - 10:24
    Szóval akkor az ábránk .... az ábránknak pozitív görbülése lesz.
  • 10:24 - 10:28
    De akkor, amikor az x kisebb a mínusz 3-nál, akkor alapjában
  • 10:28 - 10:30
    véve a negatív függvényt kell, hogy vegyük. Ha úgy akarjuk, akkor erre
  • 10:30 - 10:32
    tekinthetünk úgy, hogy ez egy negatív görbület.
  • 10:32 - 10:35
    Szóval ily módon egy ilyen v alakú függvényt kapunk, és ez az
  • 10:35 - 10:38
    a v alakú függvény, amely arra enged következtetni, hogy
  • 10:38 - 10:39
    abszolút értékkel van dolgunk.
Title:
Egyenletek abszolút értékkel
Description:

Egyenletek abszolút értékkel
more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:41

Hungarian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.