WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:03.000 Nézzünk meg pár olyan egyenletet, amelyek abszolút értékekkel foglalkoznak! 00:00:03.000 --> 00:00:05.000 És egy kis áttekintés gyanánt beszéljük meg, 00:00:05.000 --> 00:00:07.000 mikor is beszélünk a számok abszolút értékéről! 00:00:07.000 --> 00:00:10.000 Mondjuk, hogy a mínusz 1 abszolút értékét akarjuk venni! 00:00:10.000 --> 00:00:12.000 Valójában ilyenkor azt nézzük, hogy 00:00:12.000 --> 00:00:16.000 milyen messzire is helyezkedik el az értékünk a nullától. 00:00:16.000 --> 00:00:20.000 És a mínusz 1 esetében, ha egy kis számegyenest rajzolunk ide, 00:00:20.000 --> 00:00:23.000 ... hát ez egy jó csúnya számegyenes... 00:00:23.000 --> 00:00:26.000 nos, ha ide egy számegyenest rajzolunk... itt a nulla, 00:00:26.000 --> 00:00:28.000 itt pedig a mínusz 1. 00:00:28.000 --> 00:00:30.000 Akkor ez 1 egységre van a nullától. 00:00:30.000 --> 00:00:33.000 Szóval a mínusz 1 abszolút értéke 1. 00:00:33.000 --> 00:00:38.000 És ugye a plusz 1 abszolút értéke is 1, az is 1 egységnyire van a nullától. 00:00:38.000 --> 00:00:40.000 Azaz ez is 1 lesz. 00:00:40.000 --> 00:00:43.000 Szóval akkor az abszolút érték nem más, mint a nullától számított távolság. 00:00:43.000 --> 00:00:45.000 De ha máshogy közelítjük meg, akkor 00:00:45.000 --> 00:00:48.000 gyakorlatilag nem más, mint az adott számunk pozitív verziója. 00:00:48.000 --> 00:00:59.000 A mínusz 7.346 abszolút értéke az 7.346. 00:00:59.000 --> 00:01:00.000 Szóval ezt észben tartva nézzük meg, 00:01:00.000 --> 00:01:05.000 meg tudunk-e oldani olyan egyenleteket, melyekben a abszolút értékek lelhetőek fel! 00:01:05.000 --> 00:01:06.000 Mondjuk ez az egyenletünk: 00:01:06.000 --> 00:01:14.000 Az X mínusz 5 abszolút értéke egyenlő 10-zel. 00:01:14.000 --> 00:01:15.000 Egyféle értelmezés szerint... 00:01:15.000 --> 00:01:18.000 és most én úgy szeretném, hogy így értelmezzük, ez gyakorlatilag 00:01:18.000 --> 00:01:23.000 nem más, mint hogy az X és az 5 közötti távolság az 10-zel egyenlő. 00:01:23.000 --> 00:01:26.000 Szóval hány szám létezik, ami 10 egységnyire van az 5-től? 00:01:26.000 --> 00:01:29.000 Most már egyből elgondolkodhatunk a megoldáson, de 00:01:29.000 --> 00:01:31.000 azért meg szeretném mutatni, hogy hogy is kell szisztematikusan eljárnunk! 00:01:31.000 --> 00:01:36.000 Most ez az egyenlet két esetben lehet helytálló. 00:01:36.000 --> 00:01:41.000 Vagy úgy, hogy az x mínusz 5 az plusz 10, ha 00:01:41.000 --> 00:01:44.000 ez plusz 10-zel egyenlő, akkor 00:01:44.000 --> 00:01:46.000 ha ennek abszolút értékét vesszük, 00:01:46.000 --> 00:01:48.000 akkor plusz 10-et kapunk. 00:01:48.000 --> 00:01:53.000 Vagy akár az X mínusz 5 mínuszban is jelölheti a 10-et. 00:01:53.000 --> 00:01:58.000 Ha az X mínusz 5 mínusz 10-zel egyenlő, akkor ennek abszolút értéke 00:01:58.000 --> 00:01:59.000 szintén plusz 10-et ad! 00:01:59.000 --> 00:02:04.000 Szóval az X mínusz 5 mínusz 10-zel is egyenlő lehet. 00:02:04.000 --> 00:02:07.000 Mindkét verzió ugyanis eleget tesz az egyenletben lefektetetteknek. 00:02:07.000 --> 00:02:08.000 Most, hogy az egyenletet 00:02:08.000 --> 00:02:11.000 megoldhassuk, adjunk hozzá mindkét oldalhoz 5-öt! 00:02:11.000 --> 00:02:14.000 Azt kapjuk így, hogy X 15-tel egyenlő. 00:02:14.000 --> 00:02:17.000 Ahhoz, hogy megkapjuk a megoldást mindkét oldalhoz 5-öt kell adni. 00:02:17.000 --> 00:02:20.000 X az egyenlő mínusz 5-tel. 00:02:20.000 --> 00:02:21.000 Így a megoldásunk, 00:02:21.000 --> 00:02:24.000 iagzából két megoldása is van az egyenletünknek... 00:02:24.000 --> 00:02:26.000 az X lehet 15. 00:02:26.000 --> 00:02:29.000 A 15 mínusz 5 az 10, vegyük az abszolút értékét! 00:02:29.000 --> 00:02:32.000 Ekkor 10-et kapunk. Vagy akár az X mínusz 5 is lehet. 00:02:32.000 --> 00:02:36.000 Mínusz 5-ből 5 az mínusz 10 00:02:36.000 --> 00:02:39.000 Ha ennek abszolút értékét vesszük, szintúgy 10-et kapunk. 00:02:39.000 --> 00:02:41.000 És észre kell ugye vennünk, hogy az itteni 00:02:41.000 --> 00:02:45.000 számok kereken 10 egységnyire vannak az 5-től. 00:02:45.000 --> 00:02:48.000 Na akkor nézzünk még egy hasonlót! 00:02:48.000 --> 00:02:51.000 Nézzünk egy másik példát! 00:02:51.000 --> 00:02:52.000 Mondjuk ez van nekünk: 00:02:52.000 --> 00:02:58.000 az X plusz 2 abszolút értéke egyenlő 6-tal. 00:02:58.000 --> 00:02:59.000 Ez mit mond nekünk? 00:02:59.000 --> 00:03:03.000 Ez annyit jelent, hogy vagy az X plusz 2-ben 00:03:03.000 --> 00:03:07.000 belül szereplő ... az abszolút érték jelen belül lévő érték egyenlő 6-tal 00:03:07.000 --> 00:03:10.000 vagy az abszolút érték jelén belül szereplő összeg 00:03:10.000 --> 00:03:12.000 azaz az X plusz 2 mínusz 6-tal egyenlő. 00:03:12.000 --> 00:03:13.000 Ha tehát ennek a műveletnek az eredménye mínusz 6, 00:03:13.000 --> 00:03:16.000 ennek az abszolút értékét vesszük és úgy 6-ot kapunk. 00:03:16.000 --> 00:03:20.000 Így az is lehet, hogy az X meg 2 az mínusz 6-tal egyenlő. 00:03:20.000 --> 00:03:22.000 És ekkor, ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk a kettőt, akkor 00:03:22.000 --> 00:03:25.000 azt kapjuk, az X egyenlő lehet 4-gyel. 00:03:25.000 --> 00:03:29.000 Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonunk 2-t, akkor 00:03:29.000 --> 00:03:33.000 azt kapjuk, hogy X egyenlő mínusz 8. 00:03:33.000 --> 00:03:37.000 Szóval akkor ez a két megoldása van ennek az egyenletnek. 00:03:37.000 --> 00:03:39.000 És hogy csak jól észben tartsuk, mi is az 00:03:39.000 --> 00:03:42.000 abszolút érték, úgy is tekinthetünk rá, mint egy távolságra, 00:03:42.000 --> 00:03:43.000 és így átírhatjuk a műveletünket úgy, mint 00:03:43.000 --> 00:03:50.000 az X mínusz 6 abszolút értéke egyenlő 6. 00:03:50.000 --> 00:03:52.000 És akkor ez a kérdés vetődik fel: 00:03:52.000 --> 00:03:57.000 Mik azok az X-ek, amelyek pontosan 6 egységnyire vannak a mínusz 2-től? 00:03:57.000 --> 00:03:59.000 Ne feledjük, itt fent azt kérdeztük, hogy 00:03:59.000 --> 00:04:03.000 mik azok az X-ek, amelyek 10 egységnyire vannak a plusz 5-től! 00:04:03.000 --> 00:04:05.000 Bármely olyan szám, melyet ha plusz 5-ből kivonunk, akkor 00:04:05.000 --> 00:04:08.000 10 egységnyire vannak a plusz 5-től. 00:04:08.000 --> 00:04:09.000 Most itt ez a kérdés: 00:04:09.000 --> 00:04:13.000 mi az, ami 6 egységnyire van a mínusz 2-től? 00:04:13.000 --> 00:04:15.000 És a válasz: 4 és mínusz 8 lesz. 00:04:15.000 --> 00:04:17.000 Ezeket a számokat le is ellenőrizhetjük persze! 00:04:17.000 --> 00:04:20.000 Na nézzünk meg még egy ilyen hasonlót! 00:04:20.000 --> 00:04:25.000 Nézzünk meg még egyet! Ezt most lila színnel írjuk. 00:04:25.000 --> 00:04:30.000 Mondjuk azt, hogy a 4x abszolút értéke szerepel itt. 00:04:30.000 --> 00:04:31.000 És most egy kicsit változtassunk a műveleten. 00:04:31.000 --> 00:04:33.000 4x mínusz 1. 00:04:33.000 --> 00:04:36.000 Tehát a 4x mínusz 1 abszolút értéke... 00:04:36.000 --> 00:04:40.000 egyenlő mondjuk...egyenlő 19-cel. 00:04:40.000 --> 00:04:41.000 És éppúgy, mint az elmúlt pár példában 00:04:41.000 --> 00:04:47.000 4x mínusz 1 legyen 19-cel egyenlő; 00:04:47.000 --> 00:04:51.000 vagy azt is mondhatjuk, hogy ennek értéke mínusz 19. 00:04:51.000 --> 00:04:53.000 Mivel, hogy ha ennek az abszolút értékét vesszük, akkor 00:04:53.000 --> 00:04:54.000 ugyanúgy 19-et kapunk. 00:04:54.000 --> 00:04:59.000 Azaz 4x mínusz 1 akár mínusz 19-cel is egyenlő lehet. 00:04:59.000 --> 00:05:00.000 Akkor oldjuk meg ezt a két egyenletet! 00:05:00.000 --> 00:05:02.000 Adjunk hozzá az egyenlet mindkét oldalához 1-et! 00:05:02.000 --> 00:05:04.000 Akár szimultánban is elvégezhetjük... 00:05:04.000 --> 00:05:08.000 Adjunk 1-et ezen művelet mindkét oldalához, és akkor azt kapjuk 4x 20-szal egyenlő. 00:05:08.000 --> 00:05:11.000 Itt is adjunk hozzá 1-et mindkét oldalhoz, és 00:05:11.000 --> 00:05:15.000 akkor azt kapjuk, 4x egyenlő mínusz 18-cal. 00:05:15.000 --> 00:05:20.000 Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő 5-tel. 00:05:20.000 --> 00:05:23.000 Osszuk el mindkét oldalt 4-gyel, és azt kapjuk, hogy x egyenlő mínusz 18 per 4. 00:05:23.000 --> 00:05:31.000 Ez egyenlő mínusz 9 ketteddel. 00:05:31.000 --> 00:05:35.000 Szóval mindkét oldal így kapott x érték eleget tesz az egyenletben felírottaknak. 00:05:35.000 --> 00:05:36.000 Ellenőrizzük is le! 00:05:36.000 --> 00:05:39.000 Mínusz 9 ketted szorozva 4-gyel. 00:05:39.000 --> 00:05:41.000 Ez annyi lesz, mint mínusz 18. 00:05:41.000 --> 00:05:44.000 Mínusz 18-ból 1 az mínusz 19. 00:05:44.000 --> 00:05:46.000 Ha ennek abszolút értékét vesszük, 19-et kapunk. 00:05:46.000 --> 00:05:49.000 Helyettesítsük be az 5-öt! 4-szer 5 az 20. 00:05:49.000 --> 00:05:51.000 Ebből kivonva 1 az 19-et ad! 00:05:51.000 --> 00:05:53.000 Ennek abszolút értékét véve 00:05:53.000 --> 00:05:55.000 újfent azt kapjuk, hogy 19. 00:05:55.000 --> 00:05:58.000 Próbáljunk meg egyet grafikonosan ábrázolni a móka kedvéért! 00:05:58.000 --> 00:05:59.000 Mondjuk azt... 00:05:59.000 --> 00:06:04.000 Az y-unk egyenlő az x plusz 3 abszolút értékével. 00:06:04.000 --> 00:06:07.000 Ez tehát egy függvény, vagy egy grafikon, melyben 00:06:07.000 --> 00:06:09.000 szerepel egy abszolút érték. 00:06:09.000 --> 00:06:11.000 Akkor most gondolkozzunk el a két lehetséges eshetőségen! 00:06:11.000 --> 00:06:13.000 Itt az első forgatókönyv az az, 00:06:13.000 --> 00:06:16.000 ahol az abszolút érték jelen belül az érték pozitív. 00:06:16.000 --> 00:06:18.000 Szóval ezen eshetőségben x egyenlő 3-mal... 00:06:18.000 --> 00:06:23.000 Le is írom ide, hogy x plusz 3 nagyobb a 0-nál. 00:06:23.000 --> 00:06:29.000 És aztán ott van még az a lehetőség is, melyben x plusz 3 kisebb a 0-nál. 00:06:29.000 --> 00:06:32.000 Ha az x plusz 3 nagyobb a 0-nál, akkor 00:06:32.000 --> 00:06:36.000 ez a grafikon, vagy ez a vonal...úgy vélem, ezt nevezhetjük vonalnak is...ez a 00:06:36.000 --> 00:06:41.000 függvény egyenlő azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal. 00:06:41.000 --> 00:06:44.000 Ha ez a rész itt 0-nál nagyobb, akkor 00:06:44.000 --> 00:06:46.000 ez az abszolút érték jel irreveláns. 00:06:46.000 --> 00:06:48.000 Szóval akkor ez a művelet egyenlő lesz 00:06:48.000 --> 00:06:50.000 azzal, hogy y egyenlő x plusz 3-mal. 00:06:50.000 --> 00:06:52.000 De mikor is nagyobb az x plusz 3 a 0-nál? 00:06:52.000 --> 00:06:56.000 Nos, ha mindkét oldalból 3-at vonunk ki, akkor 00:06:56.000 --> 00:06:59.000 ez kapjuk: x nagyobb mínusz 3-nál. 00:06:59.000 --> 00:07:02.000 Így amikor x nagyobb mínusz 3-nál, 00:07:02.000 --> 00:07:08.000 ez a grafikon úgy néz ki, hogy y egyenlő x plusz 3-mal. 00:07:08.000 --> 00:07:11.000 Most jöjjön, amikor x plusz 3 kisebb a 0-nál! 00:07:11.000 --> 00:07:13.000 Amikor az a helyzet áll fenn... 00:07:13.000 --> 00:07:16.000 hogy az abszolút érték jelén belül negatív az összeg. 00:07:16.000 --> 00:07:20.000 Ebben a helyzetben az egyenletünk ezzel lesz egyenlő: 00:07:20.000 --> 00:07:26.000 y egyenlő az x mínusz 3 negatív értékével. 00:07:26.000 --> 00:07:27.000 Hogy is van ez? 00:07:27.000 --> 00:07:30.000 Nos, láthatjuk, hogy ha ez egy negatív szám, ha tehát 00:07:30.000 --> 00:07:33.000 az x plusz 3 egy negatív szám lesz... 00:07:33.000 --> 00:07:36.000 most ezt tételezzük fel...ha tehát ez egy negatív szám lesz, 00:07:36.000 --> 00:07:38.000 akkor amikor a negatív szám abszolút értékét vesszük, 00:07:38.000 --> 00:07:40.000 ebből pozitív érték válik. 00:07:40.000 --> 00:07:43.000 Ez olyan, mint hogyha mínusz 1-gyel megszoroztuk volna. 00:07:43.000 --> 00:07:45.000 Ezt úgy is vehetjük, hogy amikor egy negatív szám abszolút értékét vesszük, 00:07:45.000 --> 00:07:48.000 akkor gyakorlatilag ezt a számot mínusz 1-gyel megszorozzuk, mivel 00:07:48.000 --> 00:07:51.000 így válik az pozitív előjelűvé. 00:07:51.000 --> 00:07:53.000 És itt most ez a helyzet. 00:07:53.000 --> 00:07:55.000 x plusz 3 az kisebb, mint 0. 00:07:55.000 --> 00:07:59.000 Ha mindkét oldalból kivonunk 3-at, akkor x kisebb lesz, mint 00:07:59.000 --> 00:08:01.000 mínusz 3. 00:08:01.000 --> 00:08:03.000 Szóval, amikor az x kisebb, mint mínusz 3, akkor az ábránk 00:08:03.000 --> 00:08:05.000 így fog kinézni. 00:08:05.000 --> 00:08:08.000 Amikor pedig az x nagyobb, mint mínusz 3, akkor az ábra 00:08:08.000 --> 00:08:09.000 így fog festeni. 00:08:09.000 --> 00:08:11.000 Akkor most lássuk, hogy a teljes ábra 00:08:11.000 --> 00:08:13.000 hogyan fog kinézni! 00:08:13.000 --> 00:08:21.000 Hadd rajzoljam le a tengelyeket! 00:08:21.000 --> 00:08:26.000 Ez itt az x tengelyem, ez itt pedig az y tengelyem. 00:08:26.000 --> 00:08:29.000 Akkor ezt most szorozzuk is össze! Így már csak X 00:08:29.000 --> 00:08:29.000 plusz b felírásunk lesz! 00:08:29.000 --> 00:08:36.000 Ez így egyenlő mínusz x mínusz 3-mal. 00:08:36.000 --> 00:08:37.000 Akkor most ötöljük ki, hogy ez az ábra 00:08:37.000 --> 00:08:38.000 hogyan is festene általánosságban! 00:08:38.000 --> 00:08:42.000 Mínusz x mínusz 3. 00:08:42.000 --> 00:08:47.000 Az y metszet mínusz 3, szóval 1, 2 és 3. 00:08:47.000 --> 00:08:51.000 És a negatívban lévő x azt jelenti, hogy lefelé tart a vonal, a 00:08:51.000 --> 00:08:52.000 lejtés mértéke 1. 00:08:52.000 --> 00:08:53.000 Szóval így nézne ki! 00:08:56.000 --> 00:09:02.000 Az x metszet ott lenne ... x egyenlő ... 00:09:02.000 --> 00:09:07.000 Szóval, ha atz mondjuk, y 0-val egyenlő, az akkor következne be, ha 00:09:07.000 --> 00:09:08.000 x mínusz 3-mal egyenlő. 00:09:08.000 --> 00:09:10.000 Szóval ez itt ezen a vonalon halad át, 00:09:10.000 --> 00:09:11.000 ez a pont lesz itt! 00:09:11.000 --> 00:09:14.000 És ez az ábra, ha nem lenne meg ez a kitételünk itt, 00:09:14.000 --> 00:09:15.000 akkor valahogy így nézne ki! 00:09:19.000 --> 00:09:22.000 Ez akkor lenne, ha nem lenne bizonyos intervallumokra megkötés 00:09:22.000 --> 00:09:23.000 az x tengelyen. 00:09:23.000 --> 00:09:27.000 Na most akkor ez az ábra hogyan is néz ki? 00:09:27.000 --> 00:09:27.000 Lássuk is! 00:09:27.000 --> 00:09:31.000 Az y metszete plusz 3-nál helyezkedik el! 00:09:31.000 --> 00:09:33.000 Éppen így! 00:09:33.000 --> 00:09:35.000 És hol van az x metszet akkor? 00:09:35.000 --> 00:09:37.000 Amikor az y nulla, akkor az x mínusz 3. 00:09:37.000 --> 00:09:39.000 Szóval akkor ezen a ponton halad át és a 00:09:39.000 --> 00:09:40.000 lejtése egy egység. 00:09:40.000 --> 00:09:43.000 Akkor tehát valahogy így nézne ki! 00:09:43.000 --> 00:09:45.000 Na akkor ez az, ahogy az ábránk kinéz! 00:09:45.000 --> 00:09:48.000 Most, amit mi kiszámoltunk az nem más, mint ez az abszolút érték 00:09:48.000 --> 00:09:52.000 függvény. Ez az a lila színű ábra itt, amikor az x kisebb, mint 00:09:52.000 --> 00:09:53.000 a mínusz 3. 00:09:53.000 --> 00:09:57.000 Szóval, amikor az x kisebb mínusz 3-nál, akkor ... az x itt egyenlő 00:09:57.000 --> 00:09:59.000 mínusz 3-mal ... amikor tehát x kisebb, mint mínusz 3, 00:09:59.000 --> 00:10:03.000 akkor ez ennek a lila ábrának felel meg. 00:10:03.000 --> 00:10:04.000 Ez itt az! 00:10:04.000 --> 00:10:07.000 Szóval ez az, ahol az x kisebb a mínusz 3-nál. 00:10:07.000 --> 00:10:10.000 De amikor az x nagyobb, mint a mínusz 3, akkor ez a zöld 00:10:10.000 --> 00:10:12.000 színnel jelölt ábrán látható. 00:10:12.000 --> 00:10:14.000 Így néz ekkor ki ... 00:10:14.000 --> 00:10:17.000 Szóval ez az ábra egy furcsa v betű alakúnak néz ki. 00:10:17.000 --> 00:10:21.000 Amikor az x nagyobb a mínusz 3-nál, akkor ez pozitív lesz. 00:10:21.000 --> 00:10:24.000 Szóval akkor az ábránk .... az ábránknak pozitív görbülése lesz. 00:10:24.000 --> 00:10:28.000 De akkor, amikor az x kisebb a mínusz 3-nál, akkor alapjában 00:10:28.000 --> 00:10:30.000 véve a negatív függvényt kell, hogy vegyük. Ha úgy akarjuk, akkor erre 00:10:30.000 --> 00:10:32.000 tekinthetünk úgy, hogy ez egy negatív görbület. 00:10:32.000 --> 00:10:35.000 Szóval ily módon egy ilyen v alakú függvényt kapunk, és ez az 00:10:35.000 --> 00:10:38.000 a v alakú függvény, amely arra enged következtetni, hogy 00:10:38.000 --> 00:10:39.000 abszolút értékkel van dolgunk.