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Nous allons travailler sur des équations avec des valeurs absolues.
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Commençons par réviser un peu,
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pour prendre la valeur absolue d'un nombre,
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disons que je prenne la valeur absolue de -1.
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Ce que vous allez vraîment faire c'est
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vous demander, à quelle distance du 0 se trouve ce nombre ?
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Et dans le cas de -1, si nous dessinons la ligne des nombres ici
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-- c'est une ligne des nombre très mal dessinée.
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Si nous dessinons la ligne des nombres ici, le 0 est là.
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Vous avez -1 juste ici.
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Et, c'est à une distance de 1 unité du 0.
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Donc la valeur absolue de -1 c'est 1.
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Et la valeur absolue de 1 est également à une distance de 1 unité du 0.
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Ce qui est égal à 1.
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Donc d'une certaine façon, la valeur absolue c'est la distance par rapport au 0.
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Un autre manière, j'imagine plus simple, de voir la chose,
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c'est que c'est la version positive d'un nombre.
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La valeur absolue de -7346 est égale à 7346.
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En ayant ça à l'esprit, essayons de résoudre
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quelques équations contenant des valeurs absolues.
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Prenons l'équation suivante
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la valeur absolue de x-5 est égale à 10.
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Une manière de l'interpréter
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et j'aimerais que vous y réflechissiez, c'est que cela revient à dire
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que la distance entre x et 5 est égale à 10.
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Donc combien de nombres sont exactement à 10 unités de 5 ?
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Et vous pouvez déjà penser à la résolution de cette équation,
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mais je vais vous montrer comment la résoudre de manière systématique.
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Bien ceci doit être vrai dans deux cas.
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Soit x-5 est égal à +10.
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Si ceci est évalué à +10,
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alors quand vous prenez sa valeur absolue,
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vous devez obtenir +10.
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Ou alors x-5 peut valoir -10.
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Si x-5 vaut -10, quand vous prenez sa valeur absolue,
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vous devez obtenir 10 également.
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Donc x-5 pourrait également être égal à -10.
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Ces 2 cas répondrons à l'équation.
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Maintenant, pour résoudre celui-ci,
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ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.
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Cela donne x est égal à 15.
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Pour résoudre celle-là, ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.
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x est égal à -5.
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Donc notre solution,
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il y a 2 valeurs de x qui satisfont cette équation.
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x pourrait être égal à 15.
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15 - 5 égal 10, en prenant la valeur absolue,
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vous obtenez 10, ou x pourrait être égal à -5.
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-5 moins 5 égale -10.
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En prenant la valeur absolue, vous obtenez 10.
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Et notez, que ces 2 nombres
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sont exactement à 10 unités du nombre 5.
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Prenons un autre exemple de ce genre.
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Prenons un autre exemple.
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Disons que nous avons
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la valeur absolue de x + 2 est égale à 6.
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Donc qu'est-ce que ça nous dit ?
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Cela dit que soit x+2,
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c'est la chose qui est à l'intérieur du signe valeur absolue, est égale à 6.
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Ou que la chose à l'intérieur du signe valeur absolue,
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x + 2, pourrait être égal à -6.
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Si tout ça vaut -6,
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et que vous prenez la valeur absolue, vous obtenez 6.
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Et donc, x + 2 pourrait être égal à -6.
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Quand vous faite la soustraction de 2 des deux cotés de cette équation,
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vous obtenez que x pourrait être égal à 4.
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Si vous retranchez 2 des deux cotés de cette équation,
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vous obtenez que x pourrait être égal à -8.
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Donc ce sont les deux solutions de cette équation.
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Et une bonne manière de le graver dans votre esprit,
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cette valeur absolue, vous pouvez l'imaginez comme une distance,
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vous pourriez reformuler ce problème
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comme la valeur absolue de x moins -2 est égale à 6.
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Et donc la question qui m'est posée est,
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quels sont tous les x qui sont exactement à une distance de 6 unités de -2.
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Rappelez-vous, jusqu'ici on disait,
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quels sont les x qui sont exactement à 10 unités de +5 ?
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Quelquesoit le nombre que vous soustrayez à partir de +5,
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ils sont tous deux à 10 unités de +5.
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Cela revient à demander
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qu'est-ce qu'il y a à exactement 6 unités de -2?
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Et en fait le nombre 4, ou -8.
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Vous pouvez vérifier par vous-même que ça marche avec ces nombres.
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Prenons un autre exemple du même genre.
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Prenons un autre exemple, et on le fera en violet.
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Disons que nous avons la valeur absolue de 4x.
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Je vais compliquer un peu le problème.
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4x - 1.
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La valeur absolue de 4x - 1, est égale à --
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-- est égale à 19.
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Donc, comme pour les problèmes précédents,
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4x -1 pourrait être égal à 19.
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Ou 4x-1 pourrait valoir -19.
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Parce qu'alors quand vous prenez la valeur absolue,
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vous obtenez 19 à nouveau.
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Ou 4x - 1 pourrait être égal à -19.
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Donc, vous avez juste à résoudre ces 2 équations.
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Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation --
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on pourrait le faire simultanément, même.
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Ajoutons 1 aux deux cotés de ceci, vous obtenez 4x est égal à 20.
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Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation,
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vous obtenez 4x est égal à -18.
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Divison les deux coté de ceci par 4, vous avez x est égal à 5.
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Divisons les deux cotés de cela par 4, vous avez x est égal à -18/4.
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qui est égal à -9/2.
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Donc ces deux valurs de x satisfont à l'équation.
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Essayez.
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-9/2 x 4.
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Cela va donner -18.
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-18 moins 1 égale -19.
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En prenant la valeur absolue, vous avez 19.
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Vous mettez un 5 ici, 4 x 5 égale 20.
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Moins 1 cela fait -19.
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Donc en prenant la valeur absolue.
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Une fois de plus, vous avez 19.
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Essayons de représenter cela sous la forme d'un graphique, pour le plaisir.
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Donc nous disons que
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j'ai y est égal à la valeur absolue de x + 3.
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Il s'agit d'une fonction, ou d'un graphique,
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avec une valeur absolue dedans.
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Réflechissons à deux scénarios.
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Premier scénario
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ou la chose à l'intérieur de la valeur absolue est positive.
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Donc vous avez le scénario où x+3
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je vais l'écrire ici : x+3 est plus grand que 0.
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Et ensuite vous avez le scénario où x+3 est inférieur à 0.
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Quand x+6 est plus grand que 0,
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ce graphique, ou cette ligne -- je ne suis pas sûr qu'on puisse l'appeler ligne --
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cette fonction, est la même chose que y est égal à x+3.
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Si ceci ici est plus grand que 0,
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alors le signe de la valeur absolue n'est pas significatif.
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Donc ceci est la même chose
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que y est égal à x+3.
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Mais que veut dire x+3 plus grand que 0 ?
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Et bien, soustrayons 3 des deux cotés,
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vous obtenez x est plus grand que -3.
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Donc quand x est plus grand que -3,
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ce graphe va ressembler à y est égal à x+3.
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Maintenant, quand x+3 est inférieur à 0.
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Quand la situation où ceci --
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l'intérieur du signe valeur absolue -- est négatif.
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dans cette situation l'équation sera
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y est égal à la valeur négative de x+3.
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Comment je peux cela ?
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Et bien, regardons, si ceci devient un nombre négatif, si x
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plus 3 devient un nombre négatif-- c'est ce que
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nous supposons ici-- si ça devient un nombre négatif,
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et que vous preniez la valeur absolue d'un nombre
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négatif, vous le rendez positif.
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C'est comme si on le multipliait par -1.
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Si vous savez que vous prenez la valeur absolue d'un nombre
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négatif, c'est comme si vous le multipliez par -1,
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parce qu'alors vous le rendez positif.
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Et c'est ce qui va arriver.
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x plus 3 est moins que 0.
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Si on retranche 3 des deux cotés, quand x est inférieur à
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moins 3.
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Donc quand x est inférieur à moins 3, le graphe va
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ressembler à çà.
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Quand x est plus grand que moins 3, le graphe va
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ressembler à çà.
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Voyons à quoi va ressembler le
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graphique complet.
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Dessinons les axes.
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C'est l'axe des x, et c'est l'axe des y.
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Donc laissez moi multiplier ceci, comme nous l'avons dans
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dans la forme mx + b.
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Donc c'est égal à moins x moins 3.
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Voyons à quoi ce graphe
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va ressembler en général.
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Moins x moins 3.
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L'axe y est intercepté avec moins 3, donc 1, 2, 3.
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Et moins x signifie que la pente descendante, avec une
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pente descendante de 1.
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Donc ça va ressembler à çà.
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L'axe des x est intercepté avec x egal à --.
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donc si vous dites que y est égal à 0, ça va arriver quand x est
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égal à moins 3.
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Donc on va suivre cette ligne,
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jusqu'à ce point ici.
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Et ce graphe, si on n'avait pas de contraintes
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ici, ressemblerait à quelque chose comme çà.
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Comme çà si on est n'était pas contraint dans un certain intervalle sur
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l'axe des x.
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Maintenant ce graphique, à quoi il ressemnle ?
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Voyons.
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Il intercepte l'axe des y à plus 3.
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Comme ceci.
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Et où intercepte-t-il l'axe des x ?
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Quand y est égal à 0, x vaut moins 3.
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Donc le graphe passe par ce point là, et a
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une pente de 1.
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Donc cela va ressembler à çà.
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Voilà à quoi resemble le graphe.
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Maintenant, ce qu'on a compris c'est que cette
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fonction valeur absolue, ressemble à ce graphique violet quand x est inférieur
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à moins 3.
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Donc quand x est inférieur à -3 -- x est égal à
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moins 3 juste ici--- quand x est inférieur à moins
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3, cela resemble à ce graphique violet.
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Et voilà.
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Donc c'est quand x est inférieur à moins 3.
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Mais quand x est plus grand que moins 3, cela ressemble
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au graphique vert.
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Cela ressemble à çà.
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Ce graphique ressemble à cet étrange v.
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Quand x est plus grand que moins 3, c'est positif.
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Donc nous avons un graphique-- nous avons une pente positive.
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Mais quand x est inférieur à moins 3, nous prenons
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la valeur négative de la fonction, si vous voulez le voir
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de cette façon, et donc nous avons cette pente négative.
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Et vous avez ce genre de fonction en forme de v, ce
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graphique en forme de v, qui est indicatif d'une
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fonction valeur absolue.
