1
00:00:00,590 --> 00:00:03,880
Nous allons travailler sur des équations avec des valeurs absolues.

2
00:00:03,880 --> 00:00:05,119
Commençons par réviser un peu,

3
00:00:05,119 --> 00:00:07,650
pour prendre la valeur absolue d'un nombre,

4
00:00:07,650 --> 00:00:10,680
disons que je prenne la valeur absolue de -1.

5
00:00:10,680 --> 00:00:12,263
Ce que vous allez vraîment faire c'est

6
00:00:12,263 --> 00:00:16,090
vous demander, à quelle distance du 0 se trouve ce nombre ?

7
00:00:16,090 --> 00:00:20,620
Et dans le cas de -1, si nous dessinons la ligne des nombres ici

8
00:00:20,620 --> 00:00:23,310
-- c'est une ligne des nombre très mal dessinée.

9
00:00:23,310 --> 00:00:26,230
Si nous dessinons la ligne des nombres ici, le 0 est là.

10
00:00:26,230 --> 00:00:28,470
Vous avez -1 juste ici.

11
00:00:28,470 --> 00:00:30,230
Et, c'est à une distance de 1 unité du 0.

12
00:00:30,230 --> 00:00:33,250
Donc la valeur absolue de -1 c'est 1.

13
00:00:33,250 --> 00:00:38,850
Et la valeur absolue de 1 est également à une distance de 1 unité du 0.

14
00:00:38,850 --> 00:00:40,610
Ce qui est égal à 1.

15
00:00:40,610 --> 00:00:43,500
Donc d'une certaine façon, la valeur absolue c'est la distance par rapport au 0.

16
00:00:43,500 --> 00:00:45,587
Un autre manière, j'imagine plus simple, de voir la chose,

17
00:00:45,587 --> 00:00:48,600
c'est que c'est la version positive d'un nombre.

18
00:00:48,600 --> 00:00:59,360
La valeur absolue de -7346 est égale à 7346.

19
00:00:59,360 --> 00:01:00,779
En ayant ça à l'esprit, essayons de résoudre

20
00:01:00,779 --> 00:01:05,050
quelques équations contenant des valeurs absolues.

21
00:01:05,050 --> 00:01:06,675
Prenons l'équation suivante

22
00:01:06,675 --> 00:01:14,500
la valeur absolue de x-5 est égale à 10.

23
00:01:14,500 --> 00:01:15,895
Une manière de l'interpréter

24
00:01:15,895 --> 00:01:18,161
et j'aimerais que vous y réflechissiez, c'est que cela revient à dire

25
00:01:18,161 --> 00:01:23,120
que la distance entre x et 5 est égale à 10.

26
00:01:23,120 --> 00:01:26,750
Donc combien de nombres sont exactement à 10 unités de 5 ?

27
00:01:26,750 --> 00:01:29,430
Et vous pouvez déjà penser à la résolution de cette équation,

28
00:01:29,430 --> 00:01:31,960
mais je vais vous montrer comment la résoudre de manière systématique.

29
00:01:31,960 --> 00:01:36,510
Bien ceci doit être vrai dans deux cas.

30
00:01:36,510 --> 00:01:41,800
Soit x-5 est égal à +10.

31
00:01:41,800 --> 00:01:44,630
Si ceci est évalué à +10,

32
00:01:44,630 --> 00:01:46,610
alors quand vous prenez sa valeur absolue,

33
00:01:46,610 --> 00:01:48,380
vous devez obtenir +10.

34
00:01:48,380 --> 00:01:53,130
Ou alors x-5 peut valoir -10.

35
00:01:53,130 --> 00:01:58,700
Si x-5 vaut -10, quand vous prenez sa valeur absolue,

36
00:01:58,700 --> 00:01:59,950
vous devez obtenir 10 également.

37
00:01:59,950 --> 00:02:04,280
Donc x-5 pourrait également être égal à -10.

38
00:02:04,280 --> 00:02:07,730
Ces 2 cas répondrons à l'équation.

39
00:02:07,730 --> 00:02:08,958
Maintenant, pour résoudre celui-ci,

40
00:02:08,958 --> 00:02:11,500
ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.

41
00:02:11,500 --> 00:02:14,160
Cela donne x est égal à 15.

42
00:02:14,160 --> 00:02:17,830
Pour résoudre celle-là, ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation.

43
00:02:17,830 --> 00:02:20,900
x est égal à -5.

44
00:02:20,900 --> 00:02:21,963
Donc notre solution,

45
00:02:21,963 --> 00:02:24,910
il y a 2 valeurs de x qui satisfont cette équation.

46
00:02:24,910 --> 00:02:26,890
x pourrait être égal à 15.

47
00:02:26,890 --> 00:02:29,502
15 - 5 égal 10, en prenant la valeur absolue,

48
00:02:29,502 --> 00:02:32,690
vous obtenez 10, ou x pourrait être égal à -5.

49
00:02:32,690 --> 00:02:36,060
-5 moins 5 égale -10.

50
00:02:36,060 --> 00:02:39,020
En prenant la valeur absolue, vous obtenez 10.

51
00:02:39,020 --> 00:02:41,632
Et notez, que ces 2 nombres

52
00:02:41,632 --> 00:02:45,750
sont exactement à 10 unités du nombre 5.

53
00:02:45,750 --> 00:02:48,050
Prenons un autre exemple de ce genre.

54
00:02:48,050 --> 00:02:51,130
Prenons un autre exemple.

55
00:02:51,130 --> 00:02:52,182
Disons que nous avons

56
00:02:52,182 --> 00:02:58,580
la valeur absolue de x + 2 est égale à 6.

57
00:02:58,580 --> 00:02:59,610
Donc qu'est-ce que ça nous dit ?

58
00:02:59,610 --> 00:03:03,132
Cela dit que soit x+2,

59
00:03:03,132 --> 00:03:07,030
c'est la chose qui est à l'intérieur du signe valeur absolue, est égale à 6.

60
00:03:07,030 --> 00:03:10,380
Ou que la chose à l'intérieur du signe valeur absolue,

61
00:03:10,380 --> 00:03:12,050
x + 2, pourrait être égal à -6.

62
00:03:12,050 --> 00:03:13,910
Si tout ça vaut -6,

63
00:03:13,910 --> 00:03:16,210
et que vous prenez la valeur absolue, vous obtenez 6.

64
00:03:16,210 --> 00:03:20,340
Et donc, x + 2 pourrait être égal à -6.

65
00:03:20,340 --> 00:03:22,880
Quand vous faite la soustraction de 2 des deux cotés de cette équation,

66
00:03:22,880 --> 00:03:25,850
vous obtenez que x pourrait être égal à 4.

67
00:03:25,850 --> 00:03:29,780
Si vous retranchez 2 des deux cotés de cette équation,

68
00:03:29,780 --> 00:03:33,690
vous obtenez que x pourrait être égal à -8.

69
00:03:33,690 --> 00:03:37,240
Donc ce sont les deux solutions de cette équation.

70
00:03:37,240 --> 00:03:39,740
Et une bonne manière de le graver dans votre esprit,

71
00:03:39,740 --> 00:03:42,500
cette valeur absolue, vous pouvez l'imaginez comme une distance,

72
00:03:42,500 --> 00:03:43,940
vous pourriez reformuler ce problème

73
00:03:43,940 --> 00:03:50,410
comme la valeur absolue de x moins -2 est égale à 6.

74
00:03:50,410 --> 00:03:52,759
Et donc la question qui m'est posée est,

75
00:03:52,759 --> 00:03:57,590
quels sont tous les x qui sont exactement à une distance de 6 unités de -2.

76
00:03:57,590 --> 00:03:59,168
Rappelez-vous, jusqu'ici on disait,

77
00:03:59,168 --> 00:04:03,560
quels sont les x qui sont exactement à 10 unités de +5 ?

78
00:04:03,560 --> 00:04:05,990
Quelquesoit le nombre que vous soustrayez à partir de +5,

79
00:04:05,990 --> 00:04:08,560
ils sont tous deux à 10 unités de +5.

80
00:04:08,560 --> 00:04:09,515
Cela revient à demander

81
00:04:09,515 --> 00:04:13,080
qu'est-ce qu'il y a à exactement 6 unités de -2?

82
00:04:13,080 --> 00:04:15,510
Et en fait le nombre 4, ou -8.

83
00:04:15,510 --> 00:04:17,959
Vous pouvez vérifier par vous-même que ça marche avec ces nombres.

84
00:04:17,959 --> 00:04:20,459
Prenons un autre exemple du même genre.

85
00:04:20,459 --> 00:04:25,330
Prenons un autre exemple, et on le fera en violet.

86
00:04:25,330 --> 00:04:30,190
Disons que nous avons la valeur absolue de 4x.

87
00:04:30,190 --> 00:04:31,430
Je vais compliquer un peu le problème.

88
00:04:31,430 --> 00:04:33,390
4x - 1.

89
00:04:33,390 --> 00:04:36,583
La valeur absolue de 4x - 1, est égale à --

90
00:04:36,583 --> 00:04:40,200
-- est égale à 19.

91
00:04:40,200 --> 00:04:41,769
Donc, comme pour les problèmes précédents,

92
00:04:41,769 --> 00:04:47,640
4x -1 pourrait être égal à 19.

93
00:04:47,640 --> 00:04:51,670
Ou 4x-1 pourrait valoir -19.

94
00:04:51,670 --> 00:04:53,130
Parce qu'alors quand vous prenez la valeur absolue,

95
00:04:53,130 --> 00:04:54,800
vous obtenez 19 à nouveau.

96
00:04:54,800 --> 00:04:59,100
Ou 4x - 1 pourrait être égal à -19.

97
00:04:59,100 --> 00:05:00,970
Donc, vous avez juste à résoudre ces 2 équations.

98
00:05:00,970 --> 00:05:02,945
Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation --

99
00:05:02,945 --> 00:05:04,274
on pourrait le faire simultanément, même.

100
00:05:04,274 --> 00:05:08,510
Ajoutons 1 aux deux cotés de ceci, vous obtenez 4x est égal à 20.

101
00:05:08,510 --> 00:05:11,005
Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation,

102
00:05:11,005 --> 00:05:15,340
vous obtenez 4x est égal à -18.

103
00:05:15,340 --> 00:05:20,210
Divison les deux coté de ceci par 4, vous avez x est égal à 5.

104
00:05:20,210 --> 00:05:23,920
Divisons les deux cotés de cela par 4, vous avez x est égal à -18/4.

105
00:05:23,920 --> 00:05:31,770
qui est égal à -9/2.

106
00:05:31,770 --> 00:05:35,730
Donc ces deux valurs de x satisfont à l'équation.

107
00:05:35,730 --> 00:05:36,587
Essayez.

108
00:05:36,587 --> 00:05:39,580
-9/2 x 4.

109
00:05:39,580 --> 00:05:41,570
Cela va donner -18.

110
00:05:41,570 --> 00:05:44,200
-18 moins 1 égale -19.

111
00:05:44,200 --> 00:05:46,740
En prenant la valeur absolue, vous avez 19.

112
00:05:46,740 --> 00:05:49,920
Vous mettez un 5 ici, 4 x 5 égale 20.

113
00:05:49,920 --> 00:05:51,960
Moins 1 cela fait -19.

114
00:05:51,960 --> 00:05:53,260
Donc en prenant la valeur absolue.

115
00:05:53,260 --> 00:05:55,920
Une fois de plus, vous avez 19.

116
00:05:55,920 --> 00:05:58,580
Essayons de représenter cela sous la forme d'un graphique, pour le plaisir.

117
00:05:58,580 --> 00:05:59,283
Donc nous disons que

118
00:05:59,283 --> 00:06:04,990
j'ai y est égal à la valeur absolue de x + 3.

119
00:06:04,990 --> 00:06:07,840
Il s'agit d'une fonction, ou d'un graphique,

120
00:06:07,840 --> 00:06:09,410
avec une valeur absolue dedans.

121
00:06:09,410 --> 00:06:11,820
Réflechissons à deux scénarios.

122
00:06:11,820 --> 00:06:13,136
Premier scénario

123
00:06:13,136 --> 00:06:16,430
ou la chose à l'intérieur de la valeur absolue est positive.

124
00:06:16,430 --> 00:06:18,873
Donc vous avez le scénario où x+3

125
00:06:18,873 --> 00:06:23,420
je vais l'écrire ici : x+3 est plus grand que 0.

126
00:06:23,420 --> 00:06:29,370
Et ensuite vous avez le scénario où x+3 est inférieur à 0.

127
00:06:29,370 --> 00:06:32,658
Quand x+6 est plus grand que 0,

128
00:06:32,658 --> 00:06:36,490
ce graphique, ou cette ligne -- je ne suis pas sûr qu'on puisse l'appeler ligne --

129
00:06:36,490 --> 00:06:41,690
cette fonction, est la même chose que y est égal à x+3.

130
00:06:41,690 --> 00:06:44,370
Si ceci ici est plus grand que 0,

131
00:06:44,370 --> 00:06:46,750
alors le signe de la valeur absolue n'est pas significatif.

132
00:06:46,750 --> 00:06:48,780
Donc ceci est la même chose

133
00:06:48,780 --> 00:06:50,280
que y est égal à x+3.

134
00:06:50,280 --> 00:06:52,590
Mais que veut dire x+3 plus grand que 0 ?

135
00:06:52,590 --> 00:06:56,366
Et bien, soustrayons 3 des deux cotés,

136
00:06:56,366 --> 00:06:59,910
vous obtenez x est plus grand que -3.

137
00:06:59,910 --> 00:07:02,249
Donc quand x est plus grand que -3,

138
00:07:02,249 --> 00:07:08,460
ce graphe va ressembler à y est égal à x+3.

139
00:07:08,460 --> 00:07:11,500
Maintenant, quand x+3 est inférieur à 0.

140
00:07:11,500 --> 00:07:13,328
Quand la situation où ceci --

141
00:07:13,328 --> 00:07:16,509
l'intérieur du signe valeur absolue -- est négatif.

142
00:07:16,509 --> 00:07:20,356
dans cette situation l'équation sera

143
00:07:20,356 --> 00:07:26,250
y est égal à la valeur négative de x+3.

144
00:07:26,250 --> 00:07:27,540
Comment je peux cela ?

145
00:07:27,540 --> 00:07:30,520
Et bien, regardons, si ceci devient un nombre négatif, si x

146
00:07:30,520 --> 00:07:33,060
plus 3 devient un nombre négatif-- c'est ce que

147
00:07:33,060 --> 00:07:36,010
nous supposons ici-- si ça devient un nombre négatif,

148
00:07:36,010 --> 00:07:38,090
et que vous preniez la valeur absolue d'un nombre

149
00:07:38,090 --> 00:07:40,050
négatif, vous le rendez positif.

150
00:07:40,050 --> 00:07:43,280
C'est comme si on le multipliait par -1.

151
00:07:43,280 --> 00:07:45,870
Si vous savez que vous prenez la valeur absolue d'un nombre

152
00:07:45,870 --> 00:07:48,890
négatif, c'est comme si vous le multipliez par -1,

153
00:07:48,890 --> 00:07:51,010
parce qu'alors vous le rendez positif.

154
00:07:51,010 --> 00:07:53,870
Et c'est ce qui va arriver.

155
00:07:53,870 --> 00:07:55,840
x plus 3 est moins que 0.

156
00:07:55,840 --> 00:07:59,850
Si on retranche 3 des deux cotés, quand x est inférieur à

157
00:07:59,850 --> 00:08:01,280
moins 3.

158
00:08:01,280 --> 00:08:03,920
Donc quand x est inférieur à moins 3, le graphe va

159
00:08:03,920 --> 00:08:05,040
ressembler à çà.

160
00:08:05,040 --> 00:08:08,280
Quand x est plus grand que moins 3, le graphe va

161
00:08:08,280 --> 00:08:09,600
ressembler à çà.

162
00:08:09,600 --> 00:08:11,300
Voyons à quoi va ressembler le

163
00:08:11,300 --> 00:08:13,670
graphique complet.

164
00:08:13,670 --> 00:08:21,520
Dessinons les axes.

165
00:08:21,520 --> 00:08:26,070
C'est l'axe des x, et c'est l'axe des y.

166
00:08:26,070 --> 00:08:29,090
Donc laissez moi multiplier ceci, comme nous l'avons dans

167
00:08:29,090 --> 00:08:29,870
dans la forme mx + b.

168
00:08:29,870 --> 00:08:36,070
Donc c'est égal à moins x moins 3.

169
00:08:36,070 --> 00:08:37,409
Voyons à quoi ce graphe

170
00:08:37,409 --> 00:08:38,620
va ressembler en général.

171
00:08:38,620 --> 00:08:42,020
Moins x moins 3.

172
00:08:42,020 --> 00:08:47,380
L'axe y est intercepté avec moins 3, donc 1, 2, 3.

173
00:08:47,380 --> 00:08:51,060
Et moins x signifie que la pente descendante, avec une

174
00:08:51,060 --> 00:08:52,290
pente descendante de 1.

175
00:08:52,290 --> 00:08:53,540
Donc ça va ressembler à çà.

176
00:08:56,840 --> 00:09:02,830
L'axe des x est intercepté avec x egal à --.

177
00:09:02,830 --> 00:09:07,740
donc si vous dites que y est égal à 0, ça va arriver quand x est

178
00:09:07,740 --> 00:09:08,575
égal à moins 3.

179
00:09:08,575 --> 00:09:10,380
Donc on va suivre cette ligne,

180
00:09:10,380 --> 00:09:11,920
jusqu'à ce point ici.

181
00:09:11,920 --> 00:09:14,190
Et ce graphe, si on n'avait pas de contraintes

182
00:09:14,190 --> 00:09:15,600
ici, ressemblerait à quelque chose comme çà.

183
00:09:19,890 --> 00:09:22,760
Comme çà si on est n'était pas contraint dans un certain intervalle sur

184
00:09:22,760 --> 00:09:23,880
l'axe des x.

185
00:09:23,880 --> 00:09:27,080
Maintenant ce graphique, à quoi il ressemnle ?

186
00:09:27,080 --> 00:09:27,480
Voyons.

187
00:09:27,480 --> 00:09:31,810
Il intercepte l'axe des y à plus 3.

188
00:09:31,810 --> 00:09:33,230
Comme ceci.

189
00:09:33,230 --> 00:09:35,260
Et où intercepte-t-il l'axe des x ?

190
00:09:35,260 --> 00:09:37,970
Quand y est égal à 0, x vaut moins 3.

191
00:09:37,970 --> 00:09:39,760
Donc le graphe passe par ce point là, et a

192
00:09:39,760 --> 00:09:40,620
une pente de 1.

193
00:09:40,620 --> 00:09:43,710
Donc cela va ressembler à çà.

194
00:09:43,710 --> 00:09:45,330
Voilà à quoi resemble le graphe.

195
00:09:45,330 --> 00:09:48,100
Maintenant, ce qu'on a compris c'est que cette

196
00:09:48,100 --> 00:09:52,030
fonction valeur absolue, ressemble à ce graphique violet quand x est inférieur

197
00:09:52,030 --> 00:09:53,830
à moins 3.

198
00:09:53,830 --> 00:09:57,070
Donc quand x est inférieur à -3 -- x est égal à

199
00:09:57,070 --> 00:09:59,593
moins 3 juste ici--- quand x est inférieur à moins

200
00:09:59,593 --> 00:10:03,170
3, cela resemble à ce graphique violet.

201
00:10:03,170 --> 00:10:04,570
Et voilà.

202
00:10:04,570 --> 00:10:07,390
Donc c'est quand x est inférieur à moins 3.

203
00:10:07,390 --> 00:10:10,830
Mais quand x est plus grand que moins 3, cela ressemble

204
00:10:10,830 --> 00:10:12,160
au graphique vert.

205
00:10:12,160 --> 00:10:14,640
Cela ressemble à çà.

206
00:10:14,640 --> 00:10:17,480
Ce graphique ressemble à cet étrange v.

207
00:10:17,480 --> 00:10:21,430
Quand x est plus grand que moins 3, c'est positif.

208
00:10:21,430 --> 00:10:24,950
Donc nous avons un graphique-- nous avons une pente positive.

209
00:10:24,950 --> 00:10:28,270
Mais quand x est inférieur à moins 3, nous prenons

210
00:10:28,270 --> 00:10:30,550
la valeur négative de la fonction, si vous voulez le voir

211
00:10:30,550 --> 00:10:32,280
de cette façon, et donc nous avons cette pente négative.

212
00:10:32,280 --> 00:10:35,060
Et vous avez ce genre de fonction en forme de v, ce

213
00:10:35,060 --> 00:10:38,250
graphique en forme de v, qui est indicatif d'une

214
00:10:38,250 --> 00:10:39,950
fonction valeur absolue.