WEBVTT 00:00:00.590 --> 00:00:03.880 Nous allons travailler sur des équations avec des valeurs absolues. 00:00:03.880 --> 00:00:05.119 Commençons par réviser un peu, 00:00:05.119 --> 00:00:07.650 pour prendre la valeur absolue d'un nombre, 00:00:07.650 --> 00:00:10.680 disons que je prenne la valeur absolue de -1. 00:00:10.680 --> 00:00:12.263 Ce que vous allez vraîment faire c'est 00:00:12.263 --> 00:00:16.090 vous demander, à quelle distance du 0 se trouve ce nombre ? 00:00:16.090 --> 00:00:20.620 Et dans le cas de -1, si nous dessinons la ligne des nombres ici 00:00:20.620 --> 00:00:23.310 -- c'est une ligne des nombre très mal dessinée. 00:00:23.310 --> 00:00:26.230 Si nous dessinons la ligne des nombres ici, le 0 est là. 00:00:26.230 --> 00:00:28.470 Vous avez -1 juste ici. 00:00:28.470 --> 00:00:30.230 Et, c'est à une distance de 1 unité du 0. 00:00:30.230 --> 00:00:33.250 Donc la valeur absolue de -1 c'est 1. 00:00:33.250 --> 00:00:38.850 Et la valeur absolue de 1 est également à une distance de 1 unité du 0. 00:00:38.850 --> 00:00:40.610 Ce qui est égal à 1. 00:00:40.610 --> 00:00:43.500 Donc d'une certaine façon, la valeur absolue c'est la distance par rapport au 0. 00:00:43.500 --> 00:00:45.587 Un autre manière, j'imagine plus simple, de voir la chose, 00:00:45.587 --> 00:00:48.600 c'est que c'est la version positive d'un nombre. 00:00:48.600 --> 00:00:59.360 La valeur absolue de -7346 est égale à 7346. 00:00:59.360 --> 00:01:00.779 En ayant ça à l'esprit, essayons de résoudre 00:01:00.779 --> 00:01:05.050 quelques équations contenant des valeurs absolues. 00:01:05.050 --> 00:01:06.675 Prenons l'équation suivante 00:01:06.675 --> 00:01:14.500 la valeur absolue de x-5 est égale à 10. 00:01:14.500 --> 00:01:15.895 Une manière de l'interpréter 00:01:15.895 --> 00:01:18.161 et j'aimerais que vous y réflechissiez, c'est que cela revient à dire 00:01:18.161 --> 00:01:23.120 que la distance entre x et 5 est égale à 10. 00:01:23.120 --> 00:01:26.750 Donc combien de nombres sont exactement à 10 unités de 5 ? 00:01:26.750 --> 00:01:29.430 Et vous pouvez déjà penser à la résolution de cette équation, 00:01:29.430 --> 00:01:31.960 mais je vais vous montrer comment la résoudre de manière systématique. 00:01:31.960 --> 00:01:36.510 Bien ceci doit être vrai dans deux cas. 00:01:36.510 --> 00:01:41.800 Soit x-5 est égal à +10. 00:01:41.800 --> 00:01:44.630 Si ceci est évalué à +10, 00:01:44.630 --> 00:01:46.610 alors quand vous prenez sa valeur absolue, 00:01:46.610 --> 00:01:48.380 vous devez obtenir +10. 00:01:48.380 --> 00:01:53.130 Ou alors x-5 peut valoir -10. 00:01:53.130 --> 00:01:58.700 Si x-5 vaut -10, quand vous prenez sa valeur absolue, 00:01:58.700 --> 00:01:59.950 vous devez obtenir 10 également. 00:01:59.950 --> 00:02:04.280 Donc x-5 pourrait également être égal à -10. 00:02:04.280 --> 00:02:07.730 Ces 2 cas répondrons à l'équation. 00:02:07.730 --> 00:02:08.958 Maintenant, pour résoudre celui-ci, 00:02:08.958 --> 00:02:11.500 ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation. 00:02:11.500 --> 00:02:14.160 Cela donne x est égal à 15. 00:02:14.160 --> 00:02:17.830 Pour résoudre celle-là, ajoutons 5 aux deux cotés de l'équation. 00:02:17.830 --> 00:02:20.900 x est égal à -5. 00:02:20.900 --> 00:02:21.963 Donc notre solution, 00:02:21.963 --> 00:02:24.910 il y a 2 valeurs de x qui satisfont cette équation. 00:02:24.910 --> 00:02:26.890 x pourrait être égal à 15. 00:02:26.890 --> 00:02:29.502 15 - 5 égal 10, en prenant la valeur absolue, 00:02:29.502 --> 00:02:32.690 vous obtenez 10, ou x pourrait être égal à -5. 00:02:32.690 --> 00:02:36.060 -5 moins 5 égale -10. 00:02:36.060 --> 00:02:39.020 En prenant la valeur absolue, vous obtenez 10. 00:02:39.020 --> 00:02:41.632 Et notez, que ces 2 nombres 00:02:41.632 --> 00:02:45.750 sont exactement à 10 unités du nombre 5. 00:02:45.750 --> 00:02:48.050 Prenons un autre exemple de ce genre. 00:02:48.050 --> 00:02:51.130 Prenons un autre exemple. 00:02:51.130 --> 00:02:52.182 Disons que nous avons 00:02:52.182 --> 00:02:58.580 la valeur absolue de x + 2 est égale à 6. 00:02:58.580 --> 00:02:59.610 Donc qu'est-ce que ça nous dit ? 00:02:59.610 --> 00:03:03.132 Cela dit que soit x+2, 00:03:03.132 --> 00:03:07.030 c'est la chose qui est à l'intérieur du signe valeur absolue, est égale à 6. 00:03:07.030 --> 00:03:10.380 Ou que la chose à l'intérieur du signe valeur absolue, 00:03:10.380 --> 00:03:12.050 x + 2, pourrait être égal à -6. 00:03:12.050 --> 00:03:13.910 Si tout ça vaut -6, 00:03:13.910 --> 00:03:16.210 et que vous prenez la valeur absolue, vous obtenez 6. 00:03:16.210 --> 00:03:20.340 Et donc, x + 2 pourrait être égal à -6. 00:03:20.340 --> 00:03:22.880 Quand vous faite la soustraction de 2 des deux cotés de cette équation, 00:03:22.880 --> 00:03:25.850 vous obtenez que x pourrait être égal à 4. 00:03:25.850 --> 00:03:29.780 Si vous retranchez 2 des deux cotés de cette équation, 00:03:29.780 --> 00:03:33.690 vous obtenez que x pourrait être égal à -8. 00:03:33.690 --> 00:03:37.240 Donc ce sont les deux solutions de cette équation. 00:03:37.240 --> 00:03:39.740 Et une bonne manière de le graver dans votre esprit, 00:03:39.740 --> 00:03:42.500 cette valeur absolue, vous pouvez l'imaginez comme une distance, 00:03:42.500 --> 00:03:43.940 vous pourriez reformuler ce problème 00:03:43.940 --> 00:03:50.410 comme la valeur absolue de x moins -2 est égale à 6. 00:03:50.410 --> 00:03:52.759 Et donc la question qui m'est posée est, 00:03:52.759 --> 00:03:57.590 quels sont tous les x qui sont exactement à une distance de 6 unités de -2. 00:03:57.590 --> 00:03:59.168 Rappelez-vous, jusqu'ici on disait, 00:03:59.168 --> 00:04:03.560 quels sont les x qui sont exactement à 10 unités de +5 ? 00:04:03.560 --> 00:04:05.990 Quelquesoit le nombre que vous soustrayez à partir de +5, 00:04:05.990 --> 00:04:08.560 ils sont tous deux à 10 unités de +5. 00:04:08.560 --> 00:04:09.515 Cela revient à demander 00:04:09.515 --> 00:04:13.080 qu'est-ce qu'il y a à exactement 6 unités de -2? 00:04:13.080 --> 00:04:15.510 Et en fait le nombre 4, ou -8. 00:04:15.510 --> 00:04:17.959 Vous pouvez vérifier par vous-même que ça marche avec ces nombres. 00:04:17.959 --> 00:04:20.459 Prenons un autre exemple du même genre. 00:04:20.459 --> 00:04:25.330 Prenons un autre exemple, et on le fera en violet. 00:04:25.330 --> 00:04:30.190 Disons que nous avons la valeur absolue de 4x. 00:04:30.190 --> 00:04:31.430 Je vais compliquer un peu le problème. 00:04:31.430 --> 00:04:33.390 4x - 1. 00:04:33.390 --> 00:04:36.583 La valeur absolue de 4x - 1, est égale à -- 00:04:36.583 --> 00:04:40.200 -- est égale à 19. 00:04:40.200 --> 00:04:41.769 Donc, comme pour les problèmes précédents, 00:04:41.769 --> 00:04:47.640 4x -1 pourrait être égal à 19. 00:04:47.640 --> 00:04:51.670 Ou 4x-1 pourrait valoir -19. 00:04:51.670 --> 00:04:53.130 Parce qu'alors quand vous prenez la valeur absolue, 00:04:53.130 --> 00:04:54.800 vous obtenez 19 à nouveau. 00:04:54.800 --> 00:04:59.100 Ou 4x - 1 pourrait être égal à -19. 00:04:59.100 --> 00:05:00.970 Donc, vous avez juste à résoudre ces 2 équations. 00:05:00.970 --> 00:05:02.945 Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation -- 00:05:02.945 --> 00:05:04.274 on pourrait le faire simultanément, même. 00:05:04.274 --> 00:05:08.510 Ajoutons 1 aux deux cotés de ceci, vous obtenez 4x est égal à 20. 00:05:08.510 --> 00:05:11.005 Ajoutons 1 des deux cotés de cette équation, 00:05:11.005 --> 00:05:15.340 vous obtenez 4x est égal à -18. 00:05:15.340 --> 00:05:20.210 Divison les deux coté de ceci par 4, vous avez x est égal à 5. 00:05:20.210 --> 00:05:23.920 Divisons les deux cotés de cela par 4, vous avez x est égal à -18/4. 00:05:23.920 --> 00:05:31.770 qui est égal à -9/2. 00:05:31.770 --> 00:05:35.730 Donc ces deux valurs de x satisfont à l'équation. 00:05:35.730 --> 00:05:36.587 Essayez. 00:05:36.587 --> 00:05:39.580 -9/2 x 4. 00:05:39.580 --> 00:05:41.570 Cela va donner -18. 00:05:41.570 --> 00:05:44.200 -18 moins 1 égale -19. 00:05:44.200 --> 00:05:46.740 En prenant la valeur absolue, vous avez 19. 00:05:46.740 --> 00:05:49.920 Vous mettez un 5 ici, 4 x 5 égale 20. 00:05:49.920 --> 00:05:51.960 Moins 1 cela fait -19. 00:05:51.960 --> 00:05:53.260 Donc en prenant la valeur absolue. 00:05:53.260 --> 00:05:55.920 Une fois de plus, vous avez 19. 00:05:55.920 --> 00:05:58.580 Essayons de représenter cela sous la forme d'un graphique, pour le plaisir. 00:05:58.580 --> 00:05:59.283 Donc nous disons que 00:05:59.283 --> 00:06:04.990 j'ai y est égal à la valeur absolue de x + 3. 00:06:04.990 --> 00:06:07.840 Il s'agit d'une fonction, ou d'un graphique, 00:06:07.840 --> 00:06:09.410 avec une valeur absolue dedans. 00:06:09.410 --> 00:06:11.820 Réflechissons à deux scénarios. 00:06:11.820 --> 00:06:13.136 Premier scénario 00:06:13.136 --> 00:06:16.430 ou la chose à l'intérieur de la valeur absolue est positive. 00:06:16.430 --> 00:06:18.873 Donc vous avez le scénario où x+3 00:06:18.873 --> 00:06:23.420 je vais l'écrire ici : x+3 est plus grand que 0. 00:06:23.420 --> 00:06:29.370 Et ensuite vous avez le scénario où x+3 est inférieur à 0. 00:06:29.370 --> 00:06:32.658 Quand x+6 est plus grand que 0, 00:06:32.658 --> 00:06:36.490 ce graphique, ou cette ligne -- je ne suis pas sûr qu'on puisse l'appeler ligne -- 00:06:36.490 --> 00:06:41.690 cette fonction, est la même chose que y est égal à x+3. 00:06:41.690 --> 00:06:44.370 Si ceci ici est plus grand que 0, 00:06:44.370 --> 00:06:46.750 alors le signe de la valeur absolue n'est pas significatif. 00:06:46.750 --> 00:06:48.780 Donc ceci est la même chose 00:06:48.780 --> 00:06:50.280 que y est égal à x+3. 00:06:50.280 --> 00:06:52.590 Mais que veut dire x+3 plus grand que 0 ? 00:06:52.590 --> 00:06:56.366 Et bien, soustrayons 3 des deux cotés, 00:06:56.366 --> 00:06:59.910 vous obtenez x est plus grand que -3. 00:06:59.910 --> 00:07:02.249 Donc quand x est plus grand que -3, 00:07:02.249 --> 00:07:08.460 ce graphe va ressembler à y est égal à x+3. 00:07:08.460 --> 00:07:11.500 Maintenant, quand x+3 est inférieur à 0. 00:07:11.500 --> 00:07:13.328 Quand la situation où ceci -- 00:07:13.328 --> 00:07:16.509 l'intérieur du signe valeur absolue -- est négatif. 00:07:16.509 --> 00:07:20.356 dans cette situation l'équation sera 00:07:20.356 --> 00:07:26.250 y est égal à la valeur négative de x+3. 00:07:26.250 --> 00:07:27.540 Comment je peux cela ? 00:07:27.540 --> 00:07:30.520 Et bien, regardons, si ceci devient un nombre négatif, si x 00:07:30.520 --> 00:07:33.060 plus 3 devient un nombre négatif-- c'est ce que 00:07:33.060 --> 00:07:36.010 nous supposons ici-- si ça devient un nombre négatif, 00:07:36.010 --> 00:07:38.090 et que vous preniez la valeur absolue d'un nombre 00:07:38.090 --> 00:07:40.050 négatif, vous le rendez positif. 00:07:40.050 --> 00:07:43.280 C'est comme si on le multipliait par -1. 00:07:43.280 --> 00:07:45.870 Si vous savez que vous prenez la valeur absolue d'un nombre 00:07:45.870 --> 00:07:48.890 négatif, c'est comme si vous le multipliez par -1, 00:07:48.890 --> 00:07:51.010 parce qu'alors vous le rendez positif. 00:07:51.010 --> 00:07:53.870 Et c'est ce qui va arriver. 00:07:53.870 --> 00:07:55.840 x plus 3 est moins que 0. 00:07:55.840 --> 00:07:59.850 Si on retranche 3 des deux cotés, quand x est inférieur à 00:07:59.850 --> 00:08:01.280 moins 3. 00:08:01.280 --> 00:08:03.920 Donc quand x est inférieur à moins 3, le graphe va 00:08:03.920 --> 00:08:05.040 ressembler à çà. 00:08:05.040 --> 00:08:08.280 Quand x est plus grand que moins 3, le graphe va 00:08:08.280 --> 00:08:09.600 ressembler à çà. 00:08:09.600 --> 00:08:11.300 Voyons à quoi va ressembler le 00:08:11.300 --> 00:08:13.670 graphique complet. 00:08:13.670 --> 00:08:21.520 Dessinons les axes. 00:08:21.520 --> 00:08:26.070 C'est l'axe des x, et c'est l'axe des y. 00:08:26.070 --> 00:08:29.090 Donc laissez moi multiplier ceci, comme nous l'avons dans 00:08:29.090 --> 00:08:29.870 dans la forme mx + b. 00:08:29.870 --> 00:08:36.070 Donc c'est égal à moins x moins 3. 00:08:36.070 --> 00:08:37.409 Voyons à quoi ce graphe 00:08:37.409 --> 00:08:38.620 va ressembler en général. 00:08:38.620 --> 00:08:42.020 Moins x moins 3. 00:08:42.020 --> 00:08:47.380 L'axe y est intercepté avec moins 3, donc 1, 2, 3. 00:08:47.380 --> 00:08:51.060 Et moins x signifie que la pente descendante, avec une 00:08:51.060 --> 00:08:52.290 pente descendante de 1. 00:08:52.290 --> 00:08:53.540 Donc ça va ressembler à çà. 00:08:56.840 --> 00:09:02.830 L'axe des x est intercepté avec x egal à --. 00:09:02.830 --> 00:09:07.740 donc si vous dites que y est égal à 0, ça va arriver quand x est 00:09:07.740 --> 00:09:08.575 égal à moins 3. 00:09:08.575 --> 00:09:10.380 Donc on va suivre cette ligne, 00:09:10.380 --> 00:09:11.920 jusqu'à ce point ici. 00:09:11.920 --> 00:09:14.190 Et ce graphe, si on n'avait pas de contraintes 00:09:14.190 --> 00:09:15.600 ici, ressemblerait à quelque chose comme çà. 00:09:19.890 --> 00:09:22.760 Comme çà si on est n'était pas contraint dans un certain intervalle sur 00:09:22.760 --> 00:09:23.880 l'axe des x. 00:09:23.880 --> 00:09:27.080 Maintenant ce graphique, à quoi il ressemnle ? 00:09:27.080 --> 00:09:27.480 Voyons. 00:09:27.480 --> 00:09:31.810 Il intercepte l'axe des y à plus 3. 00:09:31.810 --> 00:09:33.230 Comme ceci. 00:09:33.230 --> 00:09:35.260 Et où intercepte-t-il l'axe des x ? 00:09:35.260 --> 00:09:37.970 Quand y est égal à 0, x vaut moins 3. 00:09:37.970 --> 00:09:39.760 Donc le graphe passe par ce point là, et a 00:09:39.760 --> 00:09:40.620 une pente de 1. 00:09:40.620 --> 00:09:43.710 Donc cela va ressembler à çà. 00:09:43.710 --> 00:09:45.330 Voilà à quoi resemble le graphe. 00:09:45.330 --> 00:09:48.100 Maintenant, ce qu'on a compris c'est que cette 00:09:48.100 --> 00:09:52.030 fonction valeur absolue, ressemble à ce graphique violet quand x est inférieur 00:09:52.030 --> 00:09:53.830 à moins 3. 00:09:53.830 --> 00:09:57.070 Donc quand x est inférieur à -3 -- x est égal à 00:09:57.070 --> 00:09:59.593 moins 3 juste ici--- quand x est inférieur à moins 00:09:59.593 --> 00:10:03.170 3, cela resemble à ce graphique violet. 00:10:03.170 --> 00:10:04.570 Et voilà. 00:10:04.570 --> 00:10:07.390 Donc c'est quand x est inférieur à moins 3. 00:10:07.390 --> 00:10:10.830 Mais quand x est plus grand que moins 3, cela ressemble 00:10:10.830 --> 00:10:12.160 au graphique vert. 00:10:12.160 --> 00:10:14.640 Cela ressemble à çà. 00:10:14.640 --> 00:10:17.480 Ce graphique ressemble à cet étrange v. 00:10:17.480 --> 00:10:21.430 Quand x est plus grand que moins 3, c'est positif. 00:10:21.430 --> 00:10:24.950 Donc nous avons un graphique-- nous avons une pente positive. 00:10:24.950 --> 00:10:28.270 Mais quand x est inférieur à moins 3, nous prenons 00:10:28.270 --> 00:10:30.550 la valeur négative de la fonction, si vous voulez le voir 00:10:30.550 --> 00:10:32.280 de cette façon, et donc nous avons cette pente négative. 00:10:32.280 --> 00:10:35.060 Et vous avez ce genre de fonction en forme de v, ce 00:10:35.060 --> 00:10:38.250 graphique en forme de v, qui est indicatif d'une 00:10:38.250 --> 00:10:39.950 fonction valeur absolue.