Area of Inscribed Equilateral Triangle (some basic trig used)
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0:00 - 0:03在这个视频中 我想使用上个视频中的结论
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0:03 - 0:06来做一些巧妙的事情
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0:06 - 0:08比如这是一个圆
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0:08 - 0:12并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中
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0:12 - 0:16所以这个三角形的所有顶点
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0:16 - 0:19都在圆的周长上
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0:19 - 0:24我尽力尝试画一个等边三角形
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0:24 - 0:27我想这大概是我能画得最好的了
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0:27 - 0:30当我说等边的时候就表示所有的边都一样长
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0:30 - 0:33所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A
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0:33 - 0:37剩下的一条边长也是A
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0:37 - 0:41我们假设这个的半径
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0:41 - 0:44这个圆的半径是2
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0:44 - 0:46我只是随意选择一个数字 来解决这个问题
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0:47 - 0:50假设这个圆的半径是2
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0:50 - 0:52从圆心到圆周上的任意一点
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0:52 - 0:55这个距离 就是半径 等于2
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0:55 - 1:01现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果
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1:01 - 1:04和一些基础的三角知识
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1:04 - 1:07如果"三角学"吓到你了
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1:07 - 1:09你只需要大概了解播放列表中前两三个
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1:09 - 1:12有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么
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1:12 - 1:19我想做的事就是算出在圆内三角形外的
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1:19 - 1:21区域的面积
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1:21 - 1:25所以是计算出这小块区域 那小块区域
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1:25 - 1:31和这块区域合并而成的面积
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1:31 - 1:33解决这个问题的明显方法是
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1:33 - 1:36我能轻松算出圆的面积
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1:36 - 1:43圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2 -
1:43 - 1:49或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏ -
1:49 - 1:53我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle -
1:53 - 1:55因此我需要算出三角形的面积
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1:55 - 2:01那么三角形的面积是
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2:01 - 2:06三角形的面积 前几个视频中
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2:06 - 2:09我演示给你们看过海伦公式
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2:09 - 2:12如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积
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2:12 - 2:14但我们暂时还不知道边的长度
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2:14 - 2:17一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积
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2:17 - 2:19让我们在不知边长的情况下使用海伦公式
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2:19 - 2:22让我们假设这个等边三角形的边长
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2:22 - 2:25边长是A
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2:25 - 2:27应用海伦公式
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2:27 - 2:32我们首先明确海伦公式变量s
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2:32 - 2:42s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a
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2:42 - 2:46这个三角形的面积用A来表示
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2:46 - 2:53所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值
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2:53 - 3:04就是2分之3a减去a
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3:04 - 3:08或者我可以写成2分之2a对么
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3:08 - 3:11a就等于2分之2a你可以抵消2得到a
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3:11 - 3:13接着我要重复三次得出的结果再开平方
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3:13 - 3:15为了避免重复 每一边乘三次
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3:15 - 3:18根据海伦公式
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3:18 - 3:21我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方
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3:21 - 3:22那么这个结果是什么呢
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3:22 - 3:29这个等于平方根里左边是2分之3a
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3:29 - 3:36右边等于3a减去2a也就是a
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3:36 - 3:45所以就是2分之a的三次方
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3:45 - 3:46换一种颜色
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3:46 - 3:542乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方
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3:54 - 4:02也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16
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4:02 - 4:08对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16
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4:08 - 4:11如果我们把分子和分母开根号
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4:12 - 4:15这就是在算a的四次方的开根是a的平方
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4:15 - 4:21a的平方乘以 我们这里写成根号3
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4:21 - 4:25在分母的开根号 也就是4的上面做分子
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4:25 - 4:28所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式
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4:28 - 4:32知道这个等边三角形的面积
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4:32 - 4:35我们怎么计算出a的值
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4:35 - 4:38我们还知道等边三角形的其他什么特性
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4:38 - 4:42我们知道所有这些角都相等
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4:42 - 4:46又因为它们加起来必须是180度
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4:46 - 4:51所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角
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4:51 - 4:54那个也是60度的角
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4:54 - 4:56现在看看我们是否能利用上个视频的知识
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4:57 - 5:00其中我提到了圆周角和圆心角
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5:00 - 5:03的关系
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5:03 - 5:05这是一个圆周角
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5:05 - 5:08它的顶点在圆周上
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5:08 - 5:12所以它对着
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5:12 - 5:20它对着这段弧 那个对着那段弧
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5:20 - 5:25所对的同一段圆弧的圆心角
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5:25 - 5:29是这个
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5:29 - 5:35这个正是对着同一段圆弧的圆心角
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5:35 - 5:37根据我们在上个视频中看到的
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5:37 - 5:41对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的
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5:41 - 5:43两倍
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5:43 - 5:47因此这个圆心角就是120度
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5:47 - 5:52让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍
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5:52 - 5:56如果我恰好平分这个角
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5:56 - 5:59我从角的中间画一条线 像这样直直地到底
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5:59 - 6:03那么这两个角分别是多少度
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6:03 - 6:06它们将都是60度我均分了这个角
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6:06 - 6:10这个是60度角 另一个也是60度
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6:10 - 6:15并且我们知道我把它分成了两份
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6:15 - 6:19这是一个等腰三角形 这是一条半径
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6:19 - 6:24半径等于2这是一条长度为2的半径
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6:25 - 6:28所以这整个三角形是对称的 如果我从中间
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6:28 - 6:31一直往下延伸 这条的长度是
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6:31 - 6:33边长的一半
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6:33 - 6:36另一条也是如此
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6:36 - 6:39让我在边上演示 如果我取
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6:39 - 6:40任意一个等腰三角形
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6:41 - 6:45它的两条腰的长度相同
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6:45 - 6:47在这个例子中两条腰是圆的半径
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6:47 - 6:49这个角等于另一个角
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6:50 - 6:52如果我再从中间这个角切开
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6:52 - 6:55我会把对边切成两条
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6:55 - 6:57这两条长度相同
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6:57 - 6:59在这种情况下 如果这条边长是a
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6:59 - 7:01每一个半条的长度就是2分之a
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7:01 - 7:05现在我们能否利用这个和一些
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7:05 - 7:09三角知识来找出a和r的关系
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7:09 - 7:11因为如果我们能用r算出a
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7:11 - 7:14那么我们就能在等式中带入a的值
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7:14 - 7:17从而得到三角形的面积 接着我们能
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7:17 - 7:21从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了
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7:21 - 7:22我们会解决这个问题
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7:22 - 7:24让我们试试看
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7:24 - 7:29已经知道这个角是60度
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7:29 - 7:32是整个圆心角的一半
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7:32 - 7:35这个角是60度 而且2分之a
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7:36 - 7:39是这个角的对边长 已知对边长是
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7:39 - 7:432分之a
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7:43 - 7:45我们知道斜边 对不
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7:45 - 7:48这是一个直角三角形 你从上到下
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7:48 - 7:51二等分三角形所对的边
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7:51 - 7:54得到一个直角三角形 从三角形几何关系
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7:54 - 7:59对边是2分之a
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7:59 - 8:04斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边
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8:04 - 8:07半径是2
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8:07 - 8:11所以三角比率等于角的对边比上
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8:11 - 8:14斜边的比率
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8:14 - 8:17有人可能
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8:17 - 8:22已经厌倦我一直在做的 但是
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8:22 - 8:28一个角的正弦值等于它的对边比上
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8:28 - 8:31让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了
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8:31 - 8:34所以这个角的正弦值
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8:34 - 8:3960度角的正弦值
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8:39 - 8:43等于斜边分之 也就是半径
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8:43 - 8:472分之a
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8:47 - 8:522分之半径 也就是等于2分之a除以2
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8:52 - 8:54等于4分之a
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8:54 - 8:57那么60度角的正弦值是多少
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8:57 - 9:00如果你完全不了解"正弦值
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9:00 - 9:02那么去看前几个
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9:02 - 9:06在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步
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9:06 - 9:0760度角的正弦值
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9:07 - 9:10你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来
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9:10 - 9:12让我画一个这样的三角形
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9:12 - 9:16这就是一个30 60 90度角的三角形
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9:16 - 9:18如果这个是60度角
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9:18 - 9:21那个就是30度角 另一个是90度的
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9:21 - 9:26你可能记得这个是长度1的话
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9:26 - 9:28那么那条边长是2分之1
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9:28 - 9:31另一条长则为2分之根号3
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9:31 - 9:35所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值
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9:35 - 9:392分之根号3除以1
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9:39 - 9:4260度角的正弦值 如果你没有一个计算器
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9:42 - 9:44你可以就使用这个值 2分之根号3
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9:45 - 9:48因此这个就是2分之根号3
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9:49 - 9:54我们可以算出a的值 4分之a
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9:54 - 9:59等于2分之根号3 两边同时乘以4
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9:59 - 10:03你把这个4消去了 在这儿乘以4
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10:03 - 10:05它就变成了2 另一边是1
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10:06 - 10:09得到结果是2乘以根号3
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10:09 - 10:11我们快接近结果了
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10:11 - 10:15我们刚刚计算出每条边的长度
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10:15 - 10:18我们用海伦公式得出以边长表示的
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10:18 - 10:19三角形的面积
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10:19 - 10:24我们只需要带入这个值来得到实际的面积
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10:24 - 10:30所以我们三角形的面积表达式中有a的平方
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10:30 - 10:32a的平方是
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10:32 - 10:43面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3
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10:43 - 10:46这是a的平方乘以4分之根号3
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10:46 - 10:48也是4乘以3
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10:48 - 10:55也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去
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10:55 - 10:59最后三角形的面积就是3乘以根号3
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10:59 - 11:03这儿的面积就是3乘以根号3
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11:03 - 11:06这是整个三角形的面积
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11:06 - 11:09现在 回到问题所问的地方
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11:09 - 11:13桔色部分的面积 也就是在三角形之外
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11:13 - 11:17而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏ -
11:17 - 11:23我们从中减去三角形的面积
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11:23 - 11:263倍的根号3 我们已经完成了任务
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11:26 - 11:30这就是我们的答案
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11:30 - 11:35就是桔色部分的面积
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11:35 - 11:37最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣
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chezisu1988 added a translation |