1
00:00:00,000 --> 00:00:02,840
在这个视频中 我想使用上个视频中的结论

2
00:00:02,840 --> 00:00:05,940
来做一些巧妙的事情

3
00:00:05,940 --> 00:00:07,880
比如这是一个圆

4
00:00:07,880 --> 00:00:12,190
并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中

5
00:00:12,230 --> 00:00:15,760
所以这个三角形的所有顶点

6
00:00:15,760 --> 00:00:19,180
都在圆的周长上

7
00:00:19,210 --> 00:00:23,660
我尽力尝试画一个等边三角形

8
00:00:23,660 --> 00:00:26,660
我想这大概是我能画得最好的了

9
00:00:26,710 --> 00:00:29,930
当我说等边的时候就表示所有的边都一样长

10
00:00:29,970 --> 00:00:32,840
所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A

11
00:00:32,910 --> 00:00:36,580
剩下的一条边长也是A

12
00:00:36,610 --> 00:00:40,720
我们假设这个的半径

13
00:00:40,740 --> 00:00:43,770
这个圆的半径是2

14
00:00:43,770 --> 00:00:46,500
我只是随意选择一个数字 来解决这个问题

15
00:00:46,540 --> 00:00:49,670
假设这个圆的半径是2

16
00:00:49,690 --> 00:00:52,240
从圆心到圆周上的任意一点

17
00:00:52,280 --> 00:00:55,410
这个距离 就是半径 等于2

18
00:00:55,410 --> 00:01:00,930
现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果

19
00:01:00,930 --> 00:01:04,380
和一些基础的三角知识

20
00:01:04,380 --> 00:01:06,870
如果"三角学"吓到你了

21
00:01:06,890 --> 00:01:09,470
你只需要大概了解播放列表中前两三个

22
00:01:09,490 --> 00:01:12,420
有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么

23
00:01:12,420 --> 00:01:19,400
我想做的事就是算出在圆内三角形外的

24
00:01:19,450 --> 00:01:21,080
区域的面积

25
00:01:21,130 --> 00:01:25,200
所以是计算出这小块区域 那小块区域

26
00:01:25,200 --> 00:01:30,580
和这块区域合并而成的面积

27
00:01:30,620 --> 00:01:33,220
解决这个问题的明显方法是

28
00:01:33,220 --> 00:01:36,220
我能轻松算出圆的面积

29
00:01:36,240 --> 00:01:43,330
圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2

30
00:01:43,360 --> 00:01:48,700
或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏

31
00:01:48,720 --> 00:01:52,600
我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle

32
00:01:52,600 --> 00:01:55,380
因此我需要算出三角形的面积

33
00:01:55,380 --> 00:02:01,070
那么三角形的面积是

34
00:02:01,110 --> 00:02:05,550
三角形的面积 前几个视频中

35
00:02:05,600 --> 00:02:09,090
我演示给你们看过海伦公式

36
00:02:09,110 --> 00:02:12,140
如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积

37
00:02:12,160 --> 00:02:14,300
但我们暂时还不知道边的长度

38
00:02:14,340 --> 00:02:16,630
一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积

39
00:02:16,670 --> 00:02:18,770
让我们在不知边长的情况下使用海伦公式

40
00:02:18,820 --> 00:02:21,710
让我们假设这个等边三角形的边长

41
00:02:21,750 --> 00:02:25,240
边长是A

42
00:02:25,320 --> 00:02:26,980
应用海伦公式

43
00:02:26,980 --> 00:02:31,920
我们首先明确海伦公式变量s

44
00:02:31,990 --> 00:02:41,840
s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a

45
00:02:41,840 --> 00:02:45,550
这个三角形的面积用A来表示

46
00:02:45,550 --> 00:02:53,340
所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值

47
00:02:53,380 --> 00:03:03,730
就是2分之3a减去a

48
00:03:03,750 --> 00:03:07,650
或者我可以写成2分之2a对么

49
00:03:07,680 --> 00:03:10,660
a就等于2分之2a你可以抵消2得到a

50
00:03:10,710 --> 00:03:12,950
接着我要重复三次得出的结果再开平方

51
00:03:13,010 --> 00:03:15,350
为了避免重复 每一边乘三次

52
00:03:15,350 --> 00:03:17,640
根据海伦公式

53
00:03:17,720 --> 00:03:20,670
我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方

54
00:03:20,730 --> 00:03:22,340
那么这个结果是什么呢

55
00:03:22,380 --> 00:03:29,210
这个等于平方根里左边是2分之3a

56
00:03:29,210 --> 00:03:36,420
右边等于3a减去2a也就是a

57
00:03:36,420 --> 00:03:44,580
所以就是2分之a的三次方

58
00:03:44,580 --> 00:03:46,040
换一种颜色

59
00:03:46,110 --> 00:03:54,300
2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方

60
00:03:54,300 --> 00:04:01,760
也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16

61
00:04:01,760 --> 00:04:07,840
对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16

62
00:04:07,840 --> 00:04:11,420
如果我们把分子和分母开根号

63
00:04:11,500 --> 00:04:15,430
这就是在算a的四次方的开根是a的平方

64
00:04:15,430 --> 00:04:20,600
a的平方乘以 我们这里写成根号3

65
00:04:20,640 --> 00:04:24,550
在分母的开根号 也就是4的上面做分子

66
00:04:24,550 --> 00:04:27,660
所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式

67
00:04:27,660 --> 00:04:32,320
知道这个等边三角形的面积

68
00:04:32,340 --> 00:04:35,220
我们怎么计算出a的值

69
00:04:35,260 --> 00:04:37,650
我们还知道等边三角形的其他什么特性

70
00:04:37,650 --> 00:04:41,940
我们知道所有这些角都相等

71
00:04:41,940 --> 00:04:45,950
又因为它们加起来必须是180度

72
00:04:45,970 --> 00:04:51,200
所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角

73
00:04:51,290 --> 00:04:53,540
那个也是60度的角

74
00:04:53,590 --> 00:04:56,490
现在看看我们是否能利用上个视频的知识

75
00:04:56,550 --> 00:05:00,180
其中我提到了圆周角和圆心角

76
00:05:00,220 --> 00:05:02,880
的关系

77
00:05:02,970 --> 00:05:04,970
这是一个圆周角

78
00:05:05,040 --> 00:05:07,670
它的顶点在圆周上

79
00:05:07,770 --> 00:05:12,060
所以它对着

80
00:05:12,110 --> 00:05:20,230
它对着这段弧 那个对着那段弧

81
00:05:20,250 --> 00:05:24,520
所对的同一段圆弧的圆心角

82
00:05:24,540 --> 00:05:28,610
是这个

83
00:05:28,630 --> 00:05:34,730
这个正是对着同一段圆弧的圆心角

84
00:05:34,730 --> 00:05:37,370
根据我们在上个视频中看到的

85
00:05:37,400 --> 00:05:40,910
对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的

86
00:05:40,940 --> 00:05:43,140
两倍

87
00:05:43,200 --> 00:05:47,200
因此这个圆心角就是120度

88
00:05:47,240 --> 00:05:52,050
让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍

89
00:05:52,090 --> 00:05:56,240
如果我恰好平分这个角

90
00:05:56,270 --> 00:05:59,260
我从角的中间画一条线 像这样直直地到底

91
00:05:59,300 --> 00:06:03,150
那么这两个角分别是多少度

92
00:06:03,210 --> 00:06:05,740
它们将都是60度我均分了这个角

93
00:06:05,740 --> 00:06:10,220
这个是60度角 另一个也是60度

94
00:06:10,220 --> 00:06:14,810
并且我们知道我把它分成了两份

95
00:06:14,850 --> 00:06:18,510
这是一个等腰三角形 这是一条半径

96
00:06:18,510 --> 00:06:24,460
半径等于2这是一条长度为2的半径

97
00:06:24,510 --> 00:06:27,820
所以这整个三角形是对称的 如果我从中间

98
00:06:27,820 --> 00:06:31,160
一直往下延伸 这条的长度是

99
00:06:31,190 --> 00:06:32,830
边长的一半

100
00:06:32,910 --> 00:06:36,400
另一条也是如此

101
00:06:36,400 --> 00:06:39,120
让我在边上演示 如果我取

102
00:06:39,120 --> 00:06:40,470
任意一个等腰三角形

103
00:06:40,510 --> 00:06:45,010
它的两条腰的长度相同

104
00:06:45,050 --> 00:06:46,680
在这个例子中两条腰是圆的半径

105
00:06:46,700 --> 00:06:49,480
这个角等于另一个角

106
00:06:49,510 --> 00:06:52,180
如果我再从中间这个角切开

107
00:06:52,230 --> 00:06:54,600
我会把对边切成两条

108
00:06:54,620 --> 00:06:57,250
这两条长度相同

109
00:06:57,290 --> 00:06:58,710
在这种情况下 如果这条边长是a

110
00:06:58,760 --> 00:07:00,590
每一个半条的长度就是2分之a

111
00:07:00,710 --> 00:07:05,250
现在我们能否利用这个和一些

112
00:07:05,320 --> 00:07:08,710
三角知识来找出a和r的关系

113
00:07:08,760 --> 00:07:11,080
因为如果我们能用r算出a

114
00:07:11,100 --> 00:07:13,960
那么我们就能在等式中带入a的值

115
00:07:14,040 --> 00:07:16,950
从而得到三角形的面积 接着我们能

116
00:07:16,980 --> 00:07:20,780
从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了

117
00:07:20,780 --> 00:07:22,280
我们会解决这个问题

118
00:07:22,320 --> 00:07:23,810
让我们试试看

119
00:07:23,810 --> 00:07:29,460
已经知道这个角是60度

120
00:07:29,490 --> 00:07:31,780
是整个圆心角的一半

121
00:07:31,830 --> 00:07:35,440
这个角是60度 而且2分之a

122
00:07:35,500 --> 00:07:38,530
是这个角的对边长 已知对边长是

123
00:07:38,560 --> 00:07:43,240
2分之a

124
00:07:43,240 --> 00:07:45,380
我们知道斜边 对不

125
00:07:45,460 --> 00:07:48,290
这是一个直角三角形 你从上到下

126
00:07:48,320 --> 00:07:50,880
二等分三角形所对的边

127
00:07:50,930 --> 00:07:54,230
得到一个直角三角形 从三角形几何关系

128
00:07:54,230 --> 00:07:59,400
对边是2分之a

129
00:07:59,400 --> 00:08:04,040
斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边

130
00:08:04,080 --> 00:08:06,530
半径是2

131
00:08:06,550 --> 00:08:11,250
所以三角比率等于角的对边比上

132
00:08:11,270 --> 00:08:13,870
斜边的比率

133
00:08:13,870 --> 00:08:17,140
有人可能

134
00:08:17,140 --> 00:08:21,810
已经厌倦我一直在做的 但是

135
00:08:21,850 --> 00:08:28,430
一个角的正弦值等于它的对边比上

136
00:08:28,470 --> 00:08:30,820
让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了

137
00:08:30,850 --> 00:08:33,770
所以这个角的正弦值

138
00:08:33,820 --> 00:08:39,250
60度角的正弦值

139
00:08:39,290 --> 00:08:43,270
等于斜边分之 也就是半径

140
00:08:43,300 --> 00:08:46,710
2分之a

141
00:08:46,710 --> 00:08:52,170
2分之半径 也就是等于2分之a除以2

142
00:08:52,170 --> 00:08:54,080
等于4分之a

143
00:08:54,080 --> 00:08:56,710
那么60度角的正弦值是多少

144
00:08:56,710 --> 00:08:59,980
如果你完全不了解"正弦值

145
00:09:00,020 --> 00:09:01,730
那么去看前几个

146
00:09:01,730 --> 00:09:05,650
在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步

147
00:09:05,710 --> 00:09:07,480
60度角的正弦值

148
00:09:07,480 --> 00:09:10,450
你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来

149
00:09:10,450 --> 00:09:12,160
让我画一个这样的三角形

150
00:09:12,180 --> 00:09:15,880
这就是一个30 60 90度角的三角形

151
00:09:15,880 --> 00:09:17,760
如果这个是60度角

152
00:09:17,760 --> 00:09:21,150
那个就是30度角 另一个是90度的

153
00:09:21,190 --> 00:09:26,150
你可能记得这个是长度1的话

154
00:09:26,170 --> 00:09:27,850
那么那条边长是2分之1

155
00:09:27,850 --> 00:09:31,370
另一条长则为2分之根号3

156
00:09:31,390 --> 00:09:35,390
所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值

157
00:09:35,420 --> 00:09:39,300
2分之根号3除以1

158
00:09:39,400 --> 00:09:42,210
60度角的正弦值 如果你没有一个计算器

159
00:09:42,250 --> 00:09:44,490
你可以就使用这个值 2分之根号3

160
00:09:44,520 --> 00:09:48,480
因此这个就是2分之根号3

161
00:09:48,510 --> 00:09:53,610
我们可以算出a的值 4分之a

162
00:09:53,610 --> 00:09:58,920
等于2分之根号3 两边同时乘以4

163
00:09:58,920 --> 00:10:02,900
你把这个4消去了 在这儿乘以4

164
00:10:02,900 --> 00:10:05,460
它就变成了2 另一边是1

165
00:10:05,520 --> 00:10:09,260
得到结果是2乘以根号3

166
00:10:09,280 --> 00:10:10,820
我们快接近结果了

167
00:10:10,870 --> 00:10:15,300
我们刚刚计算出每条边的长度

168
00:10:15,340 --> 00:10:17,620
我们用海伦公式得出以边长表示的

169
00:10:17,680 --> 00:10:19,370
三角形的面积

170
00:10:19,410 --> 00:10:24,170
我们只需要带入这个值来得到实际的面积

171
00:10:24,190 --> 00:10:30,260
所以我们三角形的面积表达式中有a的平方

172
00:10:30,310 --> 00:10:31,660
a的平方是

173
00:10:31,700 --> 00:10:42,800
面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3

174
00:10:42,830 --> 00:10:45,570
这是a的平方乘以4分之根号3

175
00:10:45,570 --> 00:10:47,980
也是4乘以3

176
00:10:48,000 --> 00:10:55,040
也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去

177
00:10:55,090 --> 00:10:59,440
最后三角形的面积就是3乘以根号3

178
00:10:59,460 --> 00:11:03,430
这儿的面积就是3乘以根号3

179
00:11:03,480 --> 00:11:06,060
这是整个三角形的面积

180
00:11:06,090 --> 00:11:08,910
现在 回到问题所问的地方

181
00:11:08,960 --> 00:11:13,060
桔色部分的面积 也就是在三角形之外

182
00:11:13,150 --> 00:11:16,960
而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏

183
00:11:17,020 --> 00:11:22,610
我们从中减去三角形的面积

184
00:11:22,630 --> 00:11:26,180
3倍的根号3 我们已经完成了任务

185
00:11:26,210 --> 00:11:30,410
这就是我们的答案

186
00:11:30,430 --> 00:11:35,340
就是桔色部分的面积

187
00:11:35,360 --> 00:11:37,060
最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣