WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.840
在这个视频中 我想使用上个视频中的结论

00:00:02.840 --> 00:00:05.940
来做一些巧妙的事情

00:00:05.940 --> 00:00:07.880
比如这是一个圆

00:00:07.880 --> 00:00:12.190
并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中

00:00:12.230 --> 00:00:15.760
所以这个三角形的所有顶点

00:00:15.760 --> 00:00:19.180
都在圆的周长上

00:00:19.210 --> 00:00:23.660
我尽力尝试画一个等边三角形

00:00:23.660 --> 00:00:26.660
我想这大概是我能画得最好的了

00:00:26.710 --> 00:00:29.930
当我说等边的时候就表示所有的边都一样长

00:00:29.970 --> 00:00:32.840
所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A

00:00:32.910 --> 00:00:36.580
剩下的一条边长也是A

00:00:36.610 --> 00:00:40.720
我们假设这个的半径

00:00:40.740 --> 00:00:43.770
这个圆的半径是2

00:00:43.770 --> 00:00:46.500
我只是随意选择一个数字 来解决这个问题

00:00:46.540 --> 00:00:49.670
假设这个圆的半径是2

00:00:49.690 --> 00:00:52.240
从圆心到圆周上的任意一点

00:00:52.280 --> 00:00:55.410
这个距离 就是半径 等于2

00:00:55.410 --> 00:01:00.930
现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果

00:01:00.930 --> 00:01:04.380
和一些基础的三角知识

00:01:04.380 --> 00:01:06.870
如果"三角学"吓到你了

00:01:06.890 --> 00:01:09.470
你只需要大概了解播放列表中前两三个

00:01:09.490 --> 00:01:12.420
有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么

00:01:12.420 --> 00:01:19.400
我想做的事就是算出在圆内三角形外的

00:01:19.450 --> 00:01:21.080
区域的面积

00:01:21.130 --> 00:01:25.200
所以是计算出这小块区域 那小块区域

00:01:25.200 --> 00:01:30.580
和这块区域合并而成的面积

00:01:30.620 --> 00:01:33.220
解决这个问题的明显方法是

00:01:33.220 --> 00:01:36.220
我能轻松算出圆的面积

00:01:36.240 --> 00:01:43.330
圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2

00:01:43.360 --> 00:01:48.700
或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏

00:01:48.720 --> 00:01:52.600
我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle

00:01:52.600 --> 00:01:55.380
因此我需要算出三角形的面积

00:01:55.380 --> 00:02:01.070
那么三角形的面积是

00:02:01.110 --> 00:02:05.550
三角形的面积 前几个视频中

00:02:05.600 --> 00:02:09.090
我演示给你们看过海伦公式

00:02:09.110 --> 00:02:12.140
如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积

00:02:12.160 --> 00:02:14.300
但我们暂时还不知道边的长度

00:02:14.340 --> 00:02:16.630
一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积

00:02:16.670 --> 00:02:18.770
让我们在不知边长的情况下使用海伦公式

00:02:18.820 --> 00:02:21.710
让我们假设这个等边三角形的边长

00:02:21.750 --> 00:02:25.240
边长是A

00:02:25.320 --> 00:02:26.980
应用海伦公式

00:02:26.980 --> 00:02:31.920
我们首先明确海伦公式变量s

00:02:31.990 --> 00:02:41.840
s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a

00:02:41.840 --> 00:02:45.550
这个三角形的面积用A来表示

00:02:45.550 --> 00:02:53.340
所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值

00:02:53.380 --> 00:03:03.730
就是2分之3a减去a

00:03:03.750 --> 00:03:07.650
或者我可以写成2分之2a对么

00:03:07.680 --> 00:03:10.660
a就等于2分之2a你可以抵消2得到a

00:03:10.710 --> 00:03:12.950
接着我要重复三次得出的结果再开平方

00:03:13.010 --> 00:03:15.350
为了避免重复 每一边乘三次

00:03:15.350 --> 00:03:17.640
根据海伦公式

00:03:17.720 --> 00:03:20.670
我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方

00:03:20.730 --> 00:03:22.340
那么这个结果是什么呢

00:03:22.380 --> 00:03:29.210
这个等于平方根里左边是2分之3a

00:03:29.210 --> 00:03:36.420
右边等于3a减去2a也就是a

00:03:36.420 --> 00:03:44.580
所以就是2分之a的三次方

00:03:44.580 --> 00:03:46.040
换一种颜色

00:03:46.110 --> 00:03:54.300
2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方

00:03:54.300 --> 00:04:01.760
也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16

00:04:01.760 --> 00:04:07.840
对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16

00:04:07.840 --> 00:04:11.420
如果我们把分子和分母开根号

00:04:11.500 --> 00:04:15.430
这就是在算a的四次方的开根是a的平方

00:04:15.430 --> 00:04:20.600
a的平方乘以 我们这里写成根号3

00:04:20.640 --> 00:04:24.550
在分母的开根号 也就是4的上面做分子

00:04:24.550 --> 00:04:27.660
所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式

00:04:27.660 --> 00:04:32.320
知道这个等边三角形的面积

00:04:32.340 --> 00:04:35.220
我们怎么计算出a的值

00:04:35.260 --> 00:04:37.650
我们还知道等边三角形的其他什么特性

00:04:37.650 --> 00:04:41.940
我们知道所有这些角都相等

00:04:41.940 --> 00:04:45.950
又因为它们加起来必须是180度

00:04:45.970 --> 00:04:51.200
所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角

00:04:51.290 --> 00:04:53.540
那个也是60度的角

00:04:53.590 --> 00:04:56.490
现在看看我们是否能利用上个视频的知识

00:04:56.550 --> 00:05:00.180
其中我提到了圆周角和圆心角

00:05:00.220 --> 00:05:02.880
的关系

00:05:02.970 --> 00:05:04.970
这是一个圆周角

00:05:05.040 --> 00:05:07.670
它的顶点在圆周上

00:05:07.770 --> 00:05:12.060
所以它对着

00:05:12.110 --> 00:05:20.230
它对着这段弧 那个对着那段弧

00:05:20.250 --> 00:05:24.520
所对的同一段圆弧的圆心角

00:05:24.540 --> 00:05:28.610
是这个

00:05:28.630 --> 00:05:34.730
这个正是对着同一段圆弧的圆心角

00:05:34.730 --> 00:05:37.370
根据我们在上个视频中看到的

00:05:37.400 --> 00:05:40.910
对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的

00:05:40.940 --> 00:05:43.140
两倍

00:05:43.200 --> 00:05:47.200
因此这个圆心角就是120度

00:05:47.240 --> 00:05:52.050
让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍

00:05:52.090 --> 00:05:56.240
如果我恰好平分这个角

00:05:56.270 --> 00:05:59.260
我从角的中间画一条线 像这样直直地到底

00:05:59.300 --> 00:06:03.150
那么这两个角分别是多少度

00:06:03.210 --> 00:06:05.740
它们将都是60度我均分了这个角

00:06:05.740 --> 00:06:10.220
这个是60度角 另一个也是60度

00:06:10.220 --> 00:06:14.810
并且我们知道我把它分成了两份

00:06:14.850 --> 00:06:18.510
这是一个等腰三角形 这是一条半径

00:06:18.510 --> 00:06:24.460
半径等于2这是一条长度为2的半径

00:06:24.510 --> 00:06:27.820
所以这整个三角形是对称的 如果我从中间

00:06:27.820 --> 00:06:31.160
一直往下延伸 这条的长度是

00:06:31.190 --> 00:06:32.830
边长的一半

00:06:32.910 --> 00:06:36.400
另一条也是如此

00:06:36.400 --> 00:06:39.120
让我在边上演示 如果我取

00:06:39.120 --> 00:06:40.470
任意一个等腰三角形

00:06:40.510 --> 00:06:45.010
它的两条腰的长度相同

00:06:45.050 --> 00:06:46.680
在这个例子中两条腰是圆的半径

00:06:46.700 --> 00:06:49.480
这个角等于另一个角

00:06:49.510 --> 00:06:52.180
如果我再从中间这个角切开

00:06:52.230 --> 00:06:54.600
我会把对边切成两条

00:06:54.620 --> 00:06:57.250
这两条长度相同

00:06:57.290 --> 00:06:58.710
在这种情况下 如果这条边长是a

00:06:58.760 --> 00:07:00.590
每一个半条的长度就是2分之a

00:07:00.710 --> 00:07:05.250
现在我们能否利用这个和一些

00:07:05.320 --> 00:07:08.710
三角知识来找出a和r的关系

00:07:08.760 --> 00:07:11.080
因为如果我们能用r算出a

00:07:11.100 --> 00:07:13.960
那么我们就能在等式中带入a的值

00:07:14.040 --> 00:07:16.950
从而得到三角形的面积 接着我们能

00:07:16.980 --> 00:07:20.780
从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了

00:07:20.780 --> 00:07:22.280
我们会解决这个问题

00:07:22.320 --> 00:07:23.810
让我们试试看

00:07:23.810 --> 00:07:29.460
已经知道这个角是60度

00:07:29.490 --> 00:07:31.780
是整个圆心角的一半

00:07:31.830 --> 00:07:35.440
这个角是60度 而且2分之a

00:07:35.500 --> 00:07:38.530
是这个角的对边长 已知对边长是

00:07:38.560 --> 00:07:43.240
2分之a

00:07:43.240 --> 00:07:45.380
我们知道斜边 对不

00:07:45.460 --> 00:07:48.290
这是一个直角三角形 你从上到下

00:07:48.320 --> 00:07:50.880
二等分三角形所对的边

00:07:50.930 --> 00:07:54.230
得到一个直角三角形 从三角形几何关系

00:07:54.230 --> 00:07:59.400
对边是2分之a

00:07:59.400 --> 00:08:04.040
斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边

00:08:04.080 --> 00:08:06.530
半径是2

00:08:06.550 --> 00:08:11.250
所以三角比率等于角的对边比上

00:08:11.270 --> 00:08:13.870
斜边的比率

00:08:13.870 --> 00:08:17.140
有人可能

00:08:17.140 --> 00:08:21.810
已经厌倦我一直在做的 但是

00:08:21.850 --> 00:08:28.430
一个角的正弦值等于它的对边比上

00:08:28.470 --> 00:08:30.820
让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了

00:08:30.850 --> 00:08:33.770
所以这个角的正弦值

00:08:33.820 --> 00:08:39.250
60度角的正弦值

00:08:39.290 --> 00:08:43.270
等于斜边分之 也就是半径

00:08:43.300 --> 00:08:46.710
2分之a

00:08:46.710 --> 00:08:52.170
2分之半径 也就是等于2分之a除以2

00:08:52.170 --> 00:08:54.080
等于4分之a

00:08:54.080 --> 00:08:56.710
那么60度角的正弦值是多少

00:08:56.710 --> 00:08:59.980
如果你完全不了解"正弦值

00:09:00.020 --> 00:09:01.730
那么去看前几个

00:09:01.730 --> 00:09:05.650
在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步

00:09:05.710 --> 00:09:07.480
60度角的正弦值

00:09:07.480 --> 00:09:10.450
你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来

00:09:10.450 --> 00:09:12.160
让我画一个这样的三角形

00:09:12.180 --> 00:09:15.880
这就是一个30 60 90度角的三角形

00:09:15.880 --> 00:09:17.760
如果这个是60度角

00:09:17.760 --> 00:09:21.150
那个就是30度角 另一个是90度的

00:09:21.190 --> 00:09:26.150
你可能记得这个是长度1的话

00:09:26.170 --> 00:09:27.850
那么那条边长是2分之1

00:09:27.850 --> 00:09:31.370
另一条长则为2分之根号3

00:09:31.390 --> 00:09:35.390
所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值

00:09:35.420 --> 00:09:39.300
2分之根号3除以1

00:09:39.400 --> 00:09:42.210
60度角的正弦值 如果你没有一个计算器

00:09:42.250 --> 00:09:44.490
你可以就使用这个值 2分之根号3

00:09:44.520 --> 00:09:48.480
因此这个就是2分之根号3

00:09:48.510 --> 00:09:53.610
我们可以算出a的值 4分之a

00:09:53.610 --> 00:09:58.920
等于2分之根号3 两边同时乘以4

00:09:58.920 --> 00:10:02.900
你把这个4消去了 在这儿乘以4

00:10:02.900 --> 00:10:05.460
它就变成了2 另一边是1

00:10:05.520 --> 00:10:09.260
得到结果是2乘以根号3

00:10:09.280 --> 00:10:10.820
我们快接近结果了

00:10:10.870 --> 00:10:15.300
我们刚刚计算出每条边的长度

00:10:15.340 --> 00:10:17.620
我们用海伦公式得出以边长表示的

00:10:17.680 --> 00:10:19.370
三角形的面积

00:10:19.410 --> 00:10:24.170
我们只需要带入这个值来得到实际的面积

00:10:24.190 --> 00:10:30.260
所以我们三角形的面积表达式中有a的平方

00:10:30.310 --> 00:10:31.660
a的平方是

00:10:31.700 --> 00:10:42.800
面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3

00:10:42.830 --> 00:10:45.570
这是a的平方乘以4分之根号3

00:10:45.570 --> 00:10:47.980
也是4乘以3

00:10:48.000 --> 00:10:55.040
也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去

00:10:55.090 --> 00:10:59.440
最后三角形的面积就是3乘以根号3

00:10:59.460 --> 00:11:03.430
这儿的面积就是3乘以根号3

00:11:03.480 --> 00:11:06.060
这是整个三角形的面积

00:11:06.090 --> 00:11:08.910
现在 回到问题所问的地方

00:11:08.960 --> 00:11:13.060
桔色部分的面积 也就是在三角形之外

00:11:13.150 --> 00:11:16.960
而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏

00:11:17.020 --> 00:11:22.610
我们从中减去三角形的面积

00:11:22.630 --> 00:11:26.180
3倍的根号3 我们已经完成了任务

00:11:26.210 --> 00:11:30.410
这就是我们的答案

00:11:30.430 --> 00:11:35.340
就是桔色部分的面积

00:11:35.360 --> 00:11:37.060
最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣