-
Όταν εχουμε να κανουμε με βασική αριθμητικη,
-
βλέπουμε τους συγκεκριμένους αριθμούς εκει.
-
Θα δούμε 23 + 5.
-
Γνωρίζουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί εδω περα
-
και μπορούμε να τους υπολογίσουμε .
-
Αυτο θα είναι 28.
-
Μπορουμε να πουμε 2 x 7.
-
Θα μπορούσαμε να πουμε 3 διαιρούμενο με το 4 (3/4).
-
Και σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, γνωρίζουμε ακριβώς
-
με τι αριθμούς ασχολουμαστε.
-
Καθως αρχιζουμε να μπαίνουμε στον κόσμο της Άλγεβρας -
-
(και ίσως το έχετε ήδη δεί λιγακι.)
-
- αρχίζουμε να ασχολούμαστε με την ιδέα των μεταβλητων.
-
Και για τους μεταβλητες,υπάρχουν πολοί τρόποι
-
να τους φανταστούμε.
-
Αλλα στην πραγματικότητα είναι απλά τιμές και παραστάσεις
-
που μπορούν να αλλάξουν.
-
Οι τιμές σ'αυτές τις παραστάσεις μπορουν να αλλάξουν
-
Για παράδειγμα, άν γράψω
-
x + 5
-
αυτό εδώ είναι μια παράσταση.
-
Αυτο μπορεί να πάρει καποια τιμή, ανάλογα με
-
ανάλογα με το τη τιμή ειναι το x.
-
Αν το x είναι ίσο με 1
-
τότε x + 5 - η παράσταση μας εδώ περα -
-
Θα πρέπει να ισούται με 1.
-
Επειδι τώρα το x είναι 1
-
αυτό εδω θα γινει 1 + 5.
-
Έτσι x + 5 θα είναι ίσο με 6. (χ+5=6)
-
Εάν το x ισούται με, δεν ξερω ισως, -7, (χ=-7)
-
τότε το x + 5, θα είναι ίσο με -
-
τωρα το x είναι -7, οποτε
-
αυτό θα είναι -7 + 5, που μας κανει -2.
-
Παρατηρήστε ότι
-
το x εδώ είναι μια μεταβλητή, η καλυτερα ειναι η μεταβλητη,
-
και η τιμή του μπορεί να αλλάξει ανάλογως του περιεχομενου.
-
Και εδώ είναι το πλαίσιο μιας παράστασης.
-
Επίσης θα το δείτε αυτο και στο πλαίσιο μιας εξίσωσης.
-
Είναι σημαντικό να κάνουμε αυτη τη διακριση
-
μεταξύ μιας παράστασης και μιας εξισωσης.
-
Μια παράσταση είναι απλά μια "δήλωση" αξιας -
-
μια δήλωση ενώς είδους ποσότητας.
-
Αυτή λοιπόν είναι μια παράσταση.
-
Μια παράσταση θα ήταν κάτι σαν
-
κι'αυτο που είδαμε εδώ:
-
x + 5
-
Η τιμή της παράστασης αυτής θα αλλάζει
-
ανάλογα με την τιμή αυτης της μεταβλητης.
-
Και θα μπορούσατε να την υπολογίσετε για διαφορες τιμες του χ.
-
Μια άλλη παράσταση θα μπορούσε να είναι..
-
ισως...y + z.
-
Τώρα όλα είναι μεταβλητές.
-
Εάν το y είναι 1 και το z είναι 2,
-
τότε έχουμε 1 + 2.
-
Εάν το y είναι 0 και το z είναι -1,
-
τότε έχουμε 0 + (-1).
-
Ολα αυτά μπορούν να υπολογιστούν
-
και ουσιαστικά θα σας δωσουν μία τιμή
-
αναλογα με την τιμή της κάθε μια απο τις μεταβλητες
-
που αποτελούν την παρασταση.
-
Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ρυθμίζετε τις παραστασεις
-
να ειναι ισες μεταξύ τους.
-
Για αυτο το λόγο λέγονται και «εξισώσεις».
-
Εξισώνετε δύο πράγματα.
-
Σε μια εξίσωση θα δείτε μία παράσταση
-
να ισούται με μια άλλη παράσταση.
-
Έτσι για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να έχουμε
-
x + 3 = 1
-
Και σε αυτή την περίπτωση που έχετε μια εξίσωση,
-
με μόνο έναν αγνωστω,
-
θα μπορούσατε να βρειτε
-
τι πρεπει να ειναι το x σε αυτή την περίπτωση.
-
Και μπορεί πιθανον να το βρείτε με το μυαλό σας.
-
Κατι + 3 ισούται με 1; (__+ 3 = 1;)
-
Μπορείτε να το βρείτε με το μυαλό.
-
Εάν έχω -2, 2 + 3, είναι ίσο με 1. (-2+3=1)
-
Έτσι σ'αυτο το πλαίσιο, η εξισωση αρχίζει να περιοριζη
-
την τιμη που μπορεί να παρει η μεταβλητη
-
Αλλα δεν εχει περιοριστεί πολυ
-
Θα μπορούσαμε να έχουμε
-
x + y + z = 5
-
Τώρα αυτή η παράσταση είναι
-
ίση με συτη την άλλη παράσταση.
-
το 5 είναι απλώς μια παράσταση εδώ περα
-
και υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί.
-
Εάν κάποιος μας πει τι είναι το y και το z
-
τοτε αυτο περιοριζει το τι θα έιναι το x.
-
Εάν κάποιος μας πει τι ειναι το x και το y
-
τοτε αυτό περιορίζει τι θα είναι το z.
-
Αλλά αυτό εξαρτάται από το τι θα είναι τα διαφορα πραγματα.
-
Για παράδειγμα,
-
Εάν είχαμε πει ότι y = 3, και z = 2,
-
τότε ποιό θα ηταν το x σ'αυτή την περίπτωση?
-
Αν y = 3, και z = 2,
-
τότε θα έχουμε -
-
η παράσταση αριστερά θα είναι
-
x + 3 + 2
-
που κάνει x + 5
-
Και αυτό το κομμάτι εδω περα θα είναι 5
-
x + 5 = 5
-
καποιός αριθμός + 5 = 5 ?
-
Τώρα περιοριζουμε το x να ειναι -
-
x θα πρεπει να είναι -
-
ίσο με το 0. (x = 0)
-
Αλλά το σημαντικό σημείο εδώ,
-
ας ελπίσουμε ότι καταλάβατε την διαφορά
-
μεταξύ μιας παράστασης και μια εξίσωσης.
-
Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ,
-
εξισώνετε δύο παραστάσεις.
-
Το σημαντικό να θυμάστε εδώ
-
είναι ότι μια μεταβλητή μπορεί να λάβει διαφορες τιμες
-
διαφορετικες τιμες ανάλογα με το πρόβλημα.
-
Και για να μπώ στην ουσία,
-
ας υπολογίσουμε μερικές παραστάσεις
-
οταν οι μεταβλητές έχουν διαφορετικές τιμές.
-
Έτσι για παράδειγμα, αν είχαμε την έκφραση
-
αν είχαμε την έκφραση,
-
x στη δύναμη y
-
αν x είναι ίσο με 5,
-
και y είναι ίσο με 2
-
y είναι ίσο με 2.
-
τότε η έκφραση μας εδώ θα μας κάνει
-
το x ισο με 5
-
το x λοιπον θα είναι τώρα 5
-
και το y θα είναι 2
-
ετσι θα είναι 5 στην 2η δύναμη
-
το οποιο θα μας κάνει
-
25.
-
Εάν αλλάξουμε τις τιμές,
-
Εάν λέγαμε, x...
-
(Ας το κάνω με το ίδιο χρώμα.)
-
Εάν λεγαμε το x να είναι ίσο με το 2,
-
και το y ίσο με 3,
-
τότε αυτή η παράσταση θα κανει,
-
(ας αλλάξω χρώμα )
-
Θα μας κάνει -2
-
(Αυτό θα αντικαταστήσουμε στο x τωρα,
-
για την περίπτωση αυτή)
-
και το y ειναι τώρα 3
-
-2 στην τρίτη δύναμη...
-
που είναι -2 επι -2 επι -2
-
που είναι -8
-
-2 επι -2 = + 4
-
x - 2 και πάλι ισούται με -8
-
είναι ίσο με -8
-
Έτσι βλέπετε οτι ανάλογα με το τι είναι οι τιμές τους
-
(και θα μπορούσαμε να κάνουμε πιο περιπλοκα πραγματα)
-
Θα μπορούσαμε να έχουμε μια έκφραση όπως,
-
την τετραγωνική ρίζα του x + y και μετα μειον x ...καπως ετσι
-
Αν x είναι ίσο, ας πουμε με 1
-
και y είναι ίσο με 8
-
τότε αυτή η παράσταση θα έκανε
-
(Κάθε φορά που βλέπουμε ένα x, πρεπει να βαζουμε 1)
-
Έτσι θα έχουμε 1 εδω.
-
Και θα έχετε επισης ένα 1 εκεί πέρα.
-
Και κάθε φορά που θα δείτε ένα y.
-
θα μπορείτε να βάλετε ένα 8 στη θέση του.
-
και στο πλαίσιο αυτό, ορίζουμε αυτές τις μεταβλητές
-
Έτσι, θα μπορείτε να δείτε ένα 8.
-
Κάτω από μια ρίζα, θα είχαμε ένα 1+8
-
έτσι θα έχετε την ρίζα του 9, που ειναι 3.
-
Ετσι το όλα πραγμα θα απλούστευόταν σε αυτό το πλαίσιο.
-
Αν θέσουμε αυτές τις μεταβλητές να είναι ετσι,
-
τοτε ολο αυτό το πράγμα θα απλούστευόταν σε 3
-
1 συν 8 είναι 9,
-
που έχει ρίζα το 3.
-
Και στη συνέχεια θα είχαμε 3-1
-
που είναι ίσο με 2.