Όταν εχουμε να κανουμε με βασική αριθμητικη,

βλέπουμε τους συγκεκριμένους αριθμούς εκει.

Θα δούμε 23 + 5.

Γνωρίζουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί εδω περα

και μπορούμε να τους υπολογίσουμε .

Αυτο θα είναι 28.

Μπορουμε να πουμε 2 x 7.

Θα μπορούσαμε να πουμε 3 διαιρούμενο με το 4 (3/4).

Και σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, γνωρίζουμε ακριβώς

με τι αριθμούς ασχολουμαστε.

Καθως αρχιζουμε να μπαίνουμε στον κόσμο της Άλγεβρας -

(και ίσως το έχετε ήδη δεί λιγακι.)

- αρχίζουμε να ασχολούμαστε με την ιδέα των μεταβλητων.

Και για τους μεταβλητες,υπάρχουν πολοί τρόποι

να τους φανταστούμε.

Αλλα στην πραγματικότητα είναι απλά τιμές και παραστάσεις

που μπορούν να αλλάξουν.

Οι τιμές σ'αυτές τις παραστάσεις μπορουν να αλλάξουν

Για παράδειγμα, άν γράψω

x + 5

αυτό εδώ είναι μια παράσταση.

Αυτο μπορεί να πάρει καποια τιμή, ανάλογα με

ανάλογα με το τη τιμή ειναι το x.

Αν το x είναι ίσο με 1

τότε x + 5 - η παράσταση μας εδώ περα -

Θα πρέπει να ισούται με 1.

Επειδι τώρα το x είναι 1

αυτό εδω θα γινει 1 + 5.

Έτσι x + 5 θα είναι ίσο με 6. (χ+5=6)

Εάν το x ισούται με, δεν ξερω ισως, -7, (χ=-7)

τότε το x + 5, θα είναι ίσο με -

τωρα το x είναι -7, οποτε

αυτό θα είναι -7 + 5, που μας κανει -2.

Παρατηρήστε ότι

το x εδώ είναι μια μεταβλητή, η καλυτερα ειναι η μεταβλητη,

και η τιμή του μπορεί να αλλάξει ανάλογως του περιεχομενου.

Και εδώ είναι το πλαίσιο μιας παράστασης.

Επίσης θα το δείτε αυτο και στο πλαίσιο μιας εξίσωσης.

Είναι σημαντικό να κάνουμε αυτη τη διακριση

μεταξύ μιας παράστασης και μιας εξισωσης.

Μια παράσταση είναι απλά μια "δήλωση" αξιας -

μια δήλωση ενώς είδους ποσότητας.

Αυτή λοιπόν είναι μια παράσταση.

Μια παράσταση θα ήταν κάτι σαν

κι'αυτο που είδαμε εδώ:

x + 5

Η τιμή της παράστασης αυτής θα αλλάζει

ανάλογα με την τιμή αυτης της μεταβλητης.

Και θα μπορούσατε να την υπολογίσετε για διαφορες τιμες του χ.

Μια άλλη παράσταση θα μπορούσε να είναι..

ισως...y + z.

Τώρα όλα είναι μεταβλητές.

Εάν το y είναι 1 και το z είναι 2,

τότε έχουμε 1 + 2.

Εάν το y είναι 0 και το z είναι -1,

τότε έχουμε 0 + (-1).

Ολα αυτά μπορούν να υπολογιστούν

και ουσιαστικά θα σας δωσουν μία τιμή

αναλογα με την τιμή της κάθε μια απο τις μεταβλητες

που αποτελούν την παρασταση.

Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ρυθμίζετε τις παραστασεις

να ειναι ισες μεταξύ τους.

Για αυτο το λόγο λέγονται και «εξισώσεις».

Εξισώνετε δύο πράγματα.

Σε μια εξίσωση θα δείτε μία παράσταση

να ισούται με μια άλλη παράσταση.

Έτσι για παράδειγμα, θα μπορούσαμε να έχουμε

x + 3 = 1

Και σε αυτή την περίπτωση που έχετε μια εξίσωση,

με μόνο έναν αγνωστω,

θα μπορούσατε να βρειτε

τι πρεπει να ειναι το x σε αυτή την περίπτωση.

Και μπορεί πιθανον να το βρείτε με το μυαλό σας.

Κατι + 3 ισούται με 1; (__+ 3 = 1;)

Μπορείτε να το βρείτε με το μυαλό.

Εάν έχω -2, 2 + 3, είναι ίσο με 1. (-2+3=1)

Έτσι σ'αυτο το πλαίσιο, η εξισωση αρχίζει να περιοριζη

την τιμη που μπορεί να παρει η μεταβλητη

Αλλα δεν εχει περιοριστεί πολυ

Θα μπορούσαμε να έχουμε

x + y + z = 5

Τώρα αυτή η παράσταση είναι

ίση με συτη την άλλη παράσταση.

το 5 είναι απλώς μια παράσταση εδώ περα

και υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί.

Εάν κάποιος μας πει τι είναι το y και το z

τοτε αυτο περιοριζει το τι θα έιναι το x.

Εάν κάποιος μας πει τι ειναι το x και το y

τοτε αυτό περιορίζει τι θα είναι το z.

Αλλά αυτό εξαρτάται από το τι θα είναι τα διαφορα πραγματα.

Για παράδειγμα,

Εάν είχαμε πει ότι y = 3, και z = 2,

τότε ποιό θα ηταν το x σ'αυτή την περίπτωση?

Αν y = 3, και z = 2,

τότε θα έχουμε -

η παράσταση αριστερά θα είναι

x + 3 + 2

που κάνει x + 5

Και αυτό το κομμάτι εδω περα θα είναι 5

x + 5 = 5

καποιός αριθμός + 5 = 5 ?

Τώρα περιοριζουμε το x να ειναι -

x θα πρεπει να είναι -

ίσο με το 0. (x = 0)

Αλλά το σημαντικό σημείο εδώ,

ας ελπίσουμε ότι καταλάβατε την διαφορά

μεταξύ μιας παράστασης και μια εξίσωσης.

Σε μια εξίσωση, ουσιαστικά ,

εξισώνετε δύο παραστάσεις.

Το σημαντικό να θυμάστε εδώ

είναι ότι μια μεταβλητή μπορεί να λάβει διαφορες τιμες

διαφορετικες τιμες ανάλογα με το πρόβλημα.

Και για να μπώ στην ουσία,

ας υπολογίσουμε μερικές παραστάσεις

οταν οι μεταβλητές έχουν διαφορετικές τιμές.

Έτσι για παράδειγμα, αν είχαμε την έκφραση

αν είχαμε την έκφραση,

x στη δύναμη y

αν x είναι ίσο με 5,

και y είναι ίσο με 2

y είναι ίσο με 2.

τότε η έκφραση μας εδώ θα μας κάνει

το x ισο με 5

το x λοιπον θα είναι τώρα 5

και το y θα είναι 2

ετσι θα είναι 5 στην 2η δύναμη

το οποιο θα μας κάνει

25.

Εάν αλλάξουμε τις τιμές,

Εάν λέγαμε, x...

(Ας το κάνω με το ίδιο χρώμα.)

Εάν λεγαμε το x να είναι ίσο με το 2,

και το y ίσο με 3,

τότε αυτή η παράσταση θα κανει,

(ας αλλάξω χρώμα )

Θα μας κάνει -2

(Αυτό θα αντικαταστήσουμε στο x τωρα,

για την περίπτωση αυτή)

και το y ειναι τώρα 3

-2 στην τρίτη δύναμη...

που είναι -2 επι -2 επι -2

που είναι -8

-2 επι -2 = + 4

x - 2 και πάλι ισούται με -8

είναι ίσο με -8

Έτσι βλέπετε οτι ανάλογα με το τι είναι οι τιμές τους

(και θα μπορούσαμε να κάνουμε πιο περιπλοκα πραγματα)

Θα μπορούσαμε να έχουμε μια έκφραση όπως,

την τετραγωνική ρίζα του x + y και μετα μειον x ...καπως ετσι

Αν x είναι ίσο, ας πουμε με 1

και y είναι ίσο με 8

τότε αυτή η παράσταση θα έκανε

(Κάθε φορά που βλέπουμε ένα x, πρεπει να βαζουμε 1)

Έτσι θα έχουμε 1 εδω.

Και θα έχετε επισης ένα 1 εκεί πέρα.

Και κάθε φορά που θα δείτε ένα y.

θα μπορείτε να βάλετε ένα 8 στη θέση του.

και στο πλαίσιο αυτό, ορίζουμε αυτές τις μεταβλητές

Έτσι, θα μπορείτε να δείτε ένα 8.

Κάτω από μια ρίζα, θα είχαμε ένα 1+8

έτσι θα έχετε την ρίζα του 9, που ειναι 3.

Ετσι το όλα πραγμα θα απλούστευόταν σε αυτό το πλαίσιο.

Αν θέσουμε αυτές τις μεταβλητές να είναι ετσι,

τοτε ολο αυτό το πράγμα θα απλούστευόταν σε 3

1 συν 8 είναι 9,

που έχει ρίζα το 3.

Και στη συνέχεια θα είχαμε 3-1

που είναι ίσο με 2.