-
I den her video skal vi introduceres
-
for Pythagoras' læresætning. Pythagoras' læresætning.
-
Når vi når længere ind i matematikken,
-
vil vi opdage, at det er en af hjørnestenene i al matematik.
-
Det er brugbart i geometri,
-
og det er næsten rygsøjlen i trigonometri.
-
VI vil også skulle bruge den
-
til at beregne afstanden mellem punkter.
-
Det er altså meget vigtigt, at man lærer Pythagoras' læresætning.
-
Det var vist nok snak om det her.
-
Lad os nu komme i gang.
-
Lad os sige, at vi har en trekant.
-
Trekanten er retvinklet.
-
Det vil sige, at en af trekantens vinkler er 90 grader.
-
Vi viser, at den her er 90 grader
-
ved at tegne den her lille boks.
-
Det her er altså
-
en vinkel på 90 grader.
-
Det er en ret vinkel.
-
En trekant, der indeholder en ret vinkel,
-
kalder vi for en retvinklet trekant.
-
Det her er altså en retvinklet trekant.
-
Hvis vi kender 2 sider i en retvinklet trekant
-
kan vi med Pythagoras' læresætning
-
finde den tredje side.
-
Før vi ser på, hvordan vi gør det,
-
skal vi lige lære en term mere.
-
Den længste side i en retvinklet trekant er den side,
-
der er modsat den rette vinklen.
-
Det er i det her tilfælde siden her.
-
Det er den længste side.
-
Man kan sige, at den rette vinkel
-
åbner op mod den længste side.
-
Vi kalder den længste side for hypotenusen.
-
Det er godt at vide, for det ord vil vi bruge meget.
-
Lad os sige, at vi har en trekant, der ser sådan her ud.
-
Vi tegner den lige lidt bedre.
-
Vi har altså en trekant, der ser sådan her ud.
-
Vi siger,
-
at den her vinkel er 90 grader.
-
I det tilfælde er det her så hypotenusen,
-
fordi det er siden modsat vinklen på 90 grader.
-
Det er den længste side.
-
Lad os lave en til,
-
så vi lærer at finde hypotenusen.
-
Lad os sige, at det her er vores trekant,
-
og det her er vinklen på 90 grader.
-
Vi skal finde den side,
-
vinklen åbner op imod.
-
Det her er hypotenusen.
-
Det er den længste side.
-
Vi siger,
-
at hypotenusen har længden c.
-
Lad os nu se på,
-
hvad Pythagoras' læresætning fortæller os.
-
Vi ved altså, at c er lig med længden af hypotenusen.
-
Vi kalder den her side c.
-
Lad os kalde den her side a,
-
og lad os kalde den her side b.
-
Pythagoras' læresætning fortæller os, at a i anden,
-
altså længden af den her side i anden,
-
plus længden af den anden korte side i anden
-
er lig med længden af hypotenusen i anden.
-
Lad os prøve at bruge det i en opgave,
-
og så viser det sig, at det ikke er så svært.
-
Vi skal bruge en trekant.
-
Lad os tegne en trekant.
-
Vi har en trekant her.
-
Den ser nogenlunde sådan her ud.
-
Lad os sige, at det her er den rette vinkel.
-
Lad os lige skifte farve.
-
Den her længde er 3,
-
og den her længde er 4.
-
Vi skal finde den her længde.
-
Før vi bruger Pythagoras' læresætning,
-
skal vi være sikre på,
-
at vi ved, hvilken side der er hypotenusen.
-
Vi skal vide, hvad vi skal finde.
-
I det her tilfælde skal vi finde længden af hypotenusen.
-
Det ved vi, fordi den her side
-
er modsat den rette vinkel.
-
Det er altså c i Pythagoras' læresætning.
-
Det er den længste side.
-
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.
-
Den fortæller os, at 4 i anden, som er en af de kortere sider,
-
plus 3 i anden, som er den anden korte side,
-
er lig med den her lange side i anden.
-
Det er altså hypotenusen i anden eller c i anden.
-
Nu skal vi finde c.
-
4 i anden er det sammes om 4 gange 4.
-
Det er 16.
-
3 i anden er det samme som 3 gange 3.
-
Det er derfor 9.
-
Det er lig med c i anden.
-
Hvad er 16 plus 9?
-
Det giver 25.
-
25 er altså lig med c i anden.
-
Vi kan tage den positive kvadratrod på begge sider nu.
-
Hvis vi kigger rent matematisk,
-
kan c også være minus 5.
-
Vi har dog med en afstand at gøre,
-
og afstande kan ikke være negative.
-
Vi tager derfor den positive kvadratrod på begge sider,
-
og vi får 5 er lig med c.
-
Længden af den længste side er lig med 5.
-
Man kan dog også bruge Pythagoras' læresætning
-
til at finde en af de andre sider i en retvinklet trekant,
-
hvis man kender de 2 andre.
-
Lad os gøre det.
-
Lad os sige, vores trekant ser sådan her ud.
-
Det her er den rette vinkel.
-
Lad os sige, at den her side har længden 12,
-
og den her side har længden 6.
-
Vi skal finde længden af den her side.
-
Det første, vi skal gøre, er
-
at finde hypotenusen.
-
Det er siden modsat den rette vinkel.
-
Vi har vores rette vinkel her.
-
Vi skal have siden modsat den.
-
Den længste side eller hypotenusen er altså her.
-
Pythagoras' læresætning siger altså,
-
at a i anden plus b i anden er lig med c i anden.
-
Vi ved, at c er 12.
-
Hypotenusen er 12.
-
c i anden er det samme som længden af hypotenusen i anden.
-
Vi kan altså sige, at 12 er lig med c.
-
Det viser sig også,
-
at det ikke betyder noget, hvilken af de andre sider vi kalder a eller b.
-
.
-
Lad os sige, at a er lig med 6.
-
Vi kender ikke b,
-
så vi siger, at b er lig med spørgsmålstegn.
-
Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning.
-
a i anden, som er 6 i anden, plus b i anden
-
er lig med c i anden.
-
c er 12 her,
-
så det er lig med 12 i anden.
-
Nu kan vi isolere b.
-
Læg mærke til forskellen her.
-
Vi skal ikke længere finde hypotenusen.
-
Nu skal vi finde en af de kortere sider.
-
I det første eksempel fandt vi c
-
eller hypotenusen.
-
Det er derfor, det er vigtigt at huske, at c er længden af hypotenusen,
-
og a og er længden af de 2 kortere sider.
-
.
-
Lad os isolere b her.
-
Vi har altså 6 i anden, som er 36, plus b i anden
-
er lig med 12 i anden. 12 gange 12 er 144.
-
Nu kan vi trække 36 fra på begge sider af ligningen.
-
De her går ud med hinanden.
-
På venstre side står vi tilbage med b i anden.
-
Det er lig med 144 minus 36,
-
som er 108.
-
Det er det, b i anden er lig med.
-
Nu skal vi tage den positive kvadratrod af begge sider af ligningen.
-
Vi får, at b er lig med
-
den positive kvadratod af 108.
-
Lad os se, om vi kan reducere det.
-
Kvadratoden af 108.
-
Vi kan prøve at finde primfaktoriseringen
-
af 108
-
og på den måde reducere det.
-
108 er det samme som 2 gange 54,
-
som er det samme som 2 gange 27, som er det samme som 3 gange 9.
-
Kvadratroden af 108 er altså det samme som
-
kvadratroden af 2 gange 2.
-
Hov, vi ikke er færdige.
-
9 kan faktoriseres til 3 gange 3.
-
Det er altså 2 gange 2 gange 3 gange 3 gange 3.
-
Vi har et par kvadrattal her.
-
Lad os skrive det her lidt pænere.
-
Det her er en øvelse i at reducere rodudtryk.
-
Det vil vi ofte skulle, når vi bruger Pythagoras' læresætning.
-
Det gør ingen skade at øve sig lidt.
-
Det her er altså samme som kvadratroden af 2 gange 2
-
gange 3 gange 3 gange
-
kvadratoden af det sidste 3-tal her.
-
.
-
Man behøver ikke skrive alt det her ned,
-
hvis man kan regne det i hovedet.
-
Hvad er det her?
-
2 gange 2 er 4.
-
4 gange 9 er 36.
-
Vi har altså
-
kvadratroden af 36 gange kvadratroden af 3.
-
Den positive kvadratod af 36 er 6.
-
Det her kan altså skrives som 6 kvadratrødder af 3.
-
Længden af b kan altså skrive som kvadratroden af 108
-
eller 6 gange
-
kvadratrødder af 3.
-
Den her er 12, og den her er 6,
-
og kvadratoden af 3
-
er lig med 1 komma noget,
-
så den er altså lidt mere end 6.
-
.
