I den her video skal vi introduceres for Pythagoras' læresætning. Pythagoras' læresætning. Når vi når længere ind i matematikken, vil vi opdage, at det er en af hjørnestenene i al matematik. Det er brugbart i geometri, og det er næsten rygsøjlen i trigonometri. VI vil også skulle bruge den til at beregne afstanden mellem punkter. Det er altså meget vigtigt, at man lærer Pythagoras' læresætning. Det var vist nok snak om det her. Lad os nu komme i gang. Lad os sige, at vi har en trekant. Trekanten er retvinklet. Det vil sige, at en af trekantens vinkler er 90 grader. Vi viser, at den her er 90 grader ved at tegne den her lille boks. Det her er altså en vinkel på 90 grader. Det er en ret vinkel. En trekant, der indeholder en ret vinkel, kalder vi for en retvinklet trekant. Det her er altså en retvinklet trekant. Hvis vi kender 2 sider i en retvinklet trekant kan vi med Pythagoras' læresætning finde den tredje side. Før vi ser på, hvordan vi gør det, skal vi lige lære en term mere. Den længste side i en retvinklet trekant er den side, der er modsat den rette vinklen. Det er i det her tilfælde siden her. Det er den længste side. Man kan sige, at den rette vinkel åbner op mod den længste side. Vi kalder den længste side for hypotenusen. Det er godt at vide, for det ord vil vi bruge meget. Lad os sige, at vi har en trekant, der ser sådan her ud. Vi tegner den lige lidt bedre. Vi har altså en trekant, der ser sådan her ud. Vi siger, at den her vinkel er 90 grader. I det tilfælde er det her så hypotenusen, fordi det er siden modsat vinklen på 90 grader. Det er den længste side. Lad os lave en til, så vi lærer at finde hypotenusen. Lad os sige, at det her er vores trekant, og det her er vinklen på 90 grader. Vi skal finde den side, vinklen åbner op imod. Det her er hypotenusen. Det er den længste side. Vi siger, at hypotenusen har længden c. Lad os nu se på, hvad Pythagoras' læresætning fortæller os. Vi ved altså, at c er lig med længden af hypotenusen. Vi kalder den her side c. Lad os kalde den her side a, og lad os kalde den her side b. Pythagoras' læresætning fortæller os, at a i anden, altså længden af den her side i anden, plus længden af den anden korte side i anden er lig med længden af hypotenusen i anden. Lad os prøve at bruge det i en opgave, og så viser det sig, at det ikke er så svært. Vi skal bruge en trekant. Lad os tegne en trekant. Vi har en trekant her. Den ser nogenlunde sådan her ud. Lad os sige, at det her er den rette vinkel. Lad os lige skifte farve. Den her længde er 3, og den her længde er 4. Vi skal finde den her længde. Før vi bruger Pythagoras' læresætning, skal vi være sikre på, at vi ved, hvilken side der er hypotenusen. Vi skal vide, hvad vi skal finde. I det her tilfælde skal vi finde længden af hypotenusen. Det ved vi, fordi den her side er modsat den rette vinkel. Det er altså c i Pythagoras' læresætning. Det er den længste side. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning. Den fortæller os, at 4 i anden, som er en af de kortere sider, plus 3 i anden, som er den anden korte side, er lig med den her lange side i anden. Det er altså hypotenusen i anden eller c i anden. Nu skal vi finde c. 4 i anden er det sammes om 4 gange 4. Det er 16. 3 i anden er det samme som 3 gange 3. Det er derfor 9. Det er lig med c i anden. Hvad er 16 plus 9? Det giver 25. 25 er altså lig med c i anden. Vi kan tage den positive kvadratrod på begge sider nu. Hvis vi kigger rent matematisk, kan c også være minus 5. Vi har dog med en afstand at gøre, og afstande kan ikke være negative. Vi tager derfor den positive kvadratrod på begge sider, og vi får 5 er lig med c. Længden af den længste side er lig med 5. Man kan dog også bruge Pythagoras' læresætning til at finde en af de andre sider i en retvinklet trekant, hvis man kender de 2 andre. Lad os gøre det. Lad os sige, vores trekant ser sådan her ud. Det her er den rette vinkel. Lad os sige, at den her side har længden 12, og den her side har længden 6. Vi skal finde længden af den her side. Det første, vi skal gøre, er at finde hypotenusen. Det er siden modsat den rette vinkel. Vi har vores rette vinkel her. Vi skal have siden modsat den. Den længste side eller hypotenusen er altså her. Pythagoras' læresætning siger altså, at a i anden plus b i anden er lig med c i anden. Vi ved, at c er 12. Hypotenusen er 12. c i anden er det samme som længden af hypotenusen i anden. Vi kan altså sige, at 12 er lig med c. Det viser sig også, at det ikke betyder noget, hvilken af de andre sider vi kalder a eller b. . Lad os sige, at a er lig med 6. Vi kender ikke b, så vi siger, at b er lig med spørgsmålstegn. Nu kan vi bruge Pythagoras' læresætning. a i anden, som er 6 i anden, plus b i anden er lig med c i anden. c er 12 her, så det er lig med 12 i anden. Nu kan vi isolere b. Læg mærke til forskellen her. Vi skal ikke længere finde hypotenusen. Nu skal vi finde en af de kortere sider. I det første eksempel fandt vi c eller hypotenusen. Det er derfor, det er vigtigt at huske, at c er længden af hypotenusen, og a og er længden af de 2 kortere sider. . Lad os isolere b her. Vi har altså 6 i anden, som er 36, plus b i anden er lig med 12 i anden. 12 gange 12 er 144. Nu kan vi trække 36 fra på begge sider af ligningen. De her går ud med hinanden. På venstre side står vi tilbage med b i anden. Det er lig med 144 minus 36, som er 108. Det er det, b i anden er lig med. Nu skal vi tage den positive kvadratrod af begge sider af ligningen. Vi får, at b er lig med den positive kvadratod af 108. Lad os se, om vi kan reducere det. Kvadratoden af 108. Vi kan prøve at finde primfaktoriseringen af 108 og på den måde reducere det. 108 er det samme som 2 gange 54, som er det samme som 2 gange 27, som er det samme som 3 gange 9. Kvadratroden af 108 er altså det samme som kvadratroden af 2 gange 2. Hov, vi ikke er færdige. 9 kan faktoriseres til 3 gange 3. Det er altså 2 gange 2 gange 3 gange 3 gange 3. Vi har et par kvadrattal her. Lad os skrive det her lidt pænere. Det her er en øvelse i at reducere rodudtryk. Det vil vi ofte skulle, når vi bruger Pythagoras' læresætning. Det gør ingen skade at øve sig lidt. Det her er altså samme som kvadratroden af 2 gange 2 gange 3 gange 3 gange kvadratoden af det sidste 3-tal her. . Man behøver ikke skrive alt det her ned, hvis man kan regne det i hovedet. Hvad er det her? 2 gange 2 er 4. 4 gange 9 er 36. Vi har altså kvadratroden af 36 gange kvadratroden af 3. Den positive kvadratod af 36 er 6. Det her kan altså skrives som 6 kvadratrødder af 3. Længden af b kan altså skrive som kvadratroden af 108 eller 6 gange kvadratrødder af 3. Den her er 12, og den her er 6, og kvadratoden af 3 er lig med 1 komma noget, så den er altså lidt mere end 6. .