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자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다)
여기에 정사각형이 하나 있습니다.
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왜 정사각형이냐면 모든 변의 길이가 같기 때문입니다.
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아직 각도 부분까지 배우지 않았습니다만 이 변들은 모두
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서로 직각을 이루고 있습니다.
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제가 방금 이렇게 그렸던 것처럼요.
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이말은 즉 이 밑변이 왼 쪽, 오른 쪽으로 직진하며
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이 왼 변은 위 아래로 직진한다는 의미입니다.
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그게 직각이 의미하는 모든 바입니다.
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여기 아래에 있는 변을 8미터 라고 해 봅시다.
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바로 여기에 있는 이 변이요.
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그리고 이건 정사각형입니다.
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그리고 내가 만약 여러분께 이 정사각형의 넓이가 얼마입니까? 하고 물으려고 합니다.
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글쎄요, 넓이는 근본적으로 정사각형이 얼마나 많은 공간을
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차지하고 있느냐입니다. 지금 보이는 여러분의 화면 위에서요.
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그러니까 근본적으로 어떤 것이 이차원의 표면에서 얼마나 많은
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공간을 차지하고 있느냐를 측정하는 방법입니다.
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이차원의 표면이라는 건 그냥 이 컴퓨터의 화면이나 여러분이 갖고 계신
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한 장의 종이같은 걸 말합니다. 이런 문제를 풀 때는 말이지요.
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비유하면 만약 여러분이 8 미터 곱하기 8 미터의 방을 갖고 있는데,
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여러분이 얼마나 많은 카펫이 필요한지가 바로 이차원을 가진
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어떤 타입의 표면에서 여러분이 채워야할 공간의
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넓이를 의미합니다.
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그러니까 이 넓이는 말 그대로 여러분이 얼마나 많은 넓이를
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채워야 하느냐를 의미합니다. 그리고 정사각형의 경우 이걸
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알아내는 것이 무척 쉽습니다.
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문자 그대로 밑 변 곱하기 여러분이 가진 높이를 하면 됩니다. 그리고
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이 사실은 어떤 직사각형에도 적용됩니다. 그러나 이것이 정사각형이기 때문에,
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여러분이 가진 밑 변과 여러분이 가진 높이는 같은 숫자가 될 것입니다.
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바로 8미터 입니다.
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그러므로 넓이는 8미터 곱하기 8미터로
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8 곱하기 8은 64가 됩니다. 그리고 미터 곱하기 미터는,
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여러분은 꼭 단위에도 같은 계산을 해주어야 하는데요,
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64 제곱 미터가 됩니다.
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혹은 다르게 말하면 64 평방 미터가 됩니다.
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여러분은 어쩌면 이 64 평방 미터가 어디에 있냐고 물을지도 모르겠습니다.
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글쎄요, 사실 여러분은 실제로 이걸 분해해 볼 수 있습니다.
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그러니까 이걸 좀 더 크게 그려봅시다.
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제가 원래 그렸던 것보다요.
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아마 제가 처음부터 이걸 크게 그렸어야 했었는데 말이지요.
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그러니까 이게 아까와 같은 정사각형입니다.
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좀 더 그릴 겁니다. 그러니까 이 도형의
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한 가운데를 나누겠습니다.
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어디 봅시다. 또 나눠 봅시다.
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그러고 나면 바로 이런 식으로 각 변을 나누게 됩니다.
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더 깔끔하게 나눌 수도 있었을 텐데요.
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그리고 한 번더 나눠 봅시다.
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이것들을 바로 이런 식으로 나누고, 그러고 나서 저것들도
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바로 저런 식으로 나눕시다.
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됐습니다.
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좋습니다.
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자, 이제 제가 이렇게 나눈 이유는 여러분에게 밑 변과
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높이를 따르는 차원을 보여드릴려고 한 것입니다.
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이게 8 미터라고 말했었지요, 그리고 이것이 1, 2,
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3, 4, 5, 6, 7, 8 미터가 되는 걸 알 수 있습니다.
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그리고 이 쪽 변도 같아요.
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 미터 입니다.
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그러므로 우리가 65 평방 미터라고 말할 때는, 우리는
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말 그대로 1 평방 미터를 각 각 셀 수 있습니다.
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1 평방 미터는 이차원에서의 한 치수입니다.
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각 변이 1 미터라는 의미입니다.
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이 변이 1 미터, 저 변이 1 미터 입니다.
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제가 여기 노란 색으로 색칠한 것은 1 평방 미터 입니다.
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그리고 여러분은 단지 이 평방 미터를 세는 것으로 상상할 수 있습니다.
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각 줄에 1, 2, 3, 4, 5, 6,
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7, 8 평방 미터가 있습니다.
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그러고 나면 8줄이 있는 것이지요.
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그러므로 우리는 8 곱하기 8 평방 미터 혹은
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64 평방 미터라고 말할 수 있습니다.
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그 말은 근본적으로 여러분이 만약 여기에 앉아서 그냥 각 각의
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이것들을 세어 보면 총 64개의 평방 미터를 셀 수 있다는 것입니다.
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자, 이제 만약 제가 여러분께 이 정사각형의 둘레를
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묻는다면 어떻게 될까요?
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둘레란 여러분이 정사각형을 돌기 위한
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거리를 말합니다.
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예를 들면 얼마나 많은 카펫이 필요한 지
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측량하는 것이 아닙니다.
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이것은 예를 들면 여러분이 가진 카펫 주위로 여러분이 울타리를
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두르고 싶을 때 측량하는 것입니다. 제가 일종의 실내와 실외의
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비유들을 섞어서 말하고 있네요. 이것은 얼마나 많은 울타리가
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필요하겠느냐는 것입니다.
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그러니까 주위의 거리가 되겠네요.
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그러므로 이 거리 더하기, 저 거리 더하기, 저 거리 더하기,
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저 거리가 될 것입니다.
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그러나 우리는 바로 이 밑에 있는 여기의 이 거리를 이미
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알고 있습니다, 우리는 이미 이 거리가 8 미터라는 점을 알고 있습니다.
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그러면 바로 여기의 높이가 8 미터라는 점도 알 수 있게 됩니다.
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정사각형이니까요.
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여기 이 위에 있는 거리와 여기 이 아래에 있는 거리는
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같습니다. 이 역시 또 다른 8 미터가 될 것입니다.
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그러면 여러분이 왼 쪽 변으로 내려가면 이 역시도
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또 다른 8 미터가 될 것입니다.
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우리는 총 네 변을 가지고 있는데, 1, 2, 3, 4, 이 각 각이 8 미터 입니다.
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그러므로 우리는 8 미터 그 자신을 4번 더해 주어야 합니다. 그 말은 즉,
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8 곱하기 4와 같고, 여러분은 36 미터라는 답을 구할 수 있을 것입니다.
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자, 이제 단지 우리가 필요한 울타리의 합계를 우리가 측량할 때,
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결국 미터라는 단위로 끝나는 것을 알아차렸을 것입니다. 단지
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일차원의 측량 단위로 말이지요.
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그것은 왜냐하면 우리가 여기서 평방 미터를 측정하는 것이 아니기 때문입니다.
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우리는 얼마나 많은 넓이를 차지할 수 있느냐를 측정하고 있지 않습니다.
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우리는 한 거리를 측정하고 있는데, 그 거리는 빙 돌았을 때의 거리입니다.
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우리가 빙글 돌지만 그냥 이 울타리를 펼쳐서 생각할 수도
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있을 것입니다. 그러면 이런 식으로 하나의 큰 울타리가 되겠지요.
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그리고 그 울타리의 길이는 총 36미터가 될 것입니다.
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그러니까 이것이 우리가 둘레를 구할 때 단지 미터 단위만 갖는 이유입니다.
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그러나 둘레의 경우 평방 미터 단위가 될 것입니다. 왜냐하면 우리는
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이 이차원의 크기를 재는 것이기 때문입니다.
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자, 이제 이 문제를 좀 더 흥미롭게 만들어 봅시다.
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정사각형 대신 내가 이런 식으로 직사각형을 갖고 있다면
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어떤 일이 일어날까요?
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여기에 있는 이 쪽 변을 7 센티미터라고 해 봅시다.
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그리고 바로 여기에 있는 높이를 4 센티미터라고 해 봅시다.
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그러면 직사각형의 넓이는 몇이 될 까요?
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7 곱하기 4 센티미터가 될 것입니다.
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7 센티미터 곱하기 4 센티미터요.
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기억하세요. 우리가 일곱 줄을 그릴 수 있습니다. 그렇죠. 그리고 그 각 각이
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4 평방 센티미터가 될 것입니다. 이 각 각은
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1 평방 센티미터구요.
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그러니까 만약 여러분이 그것들을 모두 세어 본다면, 여러분은 7 곱하기
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4 평방 센티미터를 갖게 되는 것입니다.
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이것은 4 센티미터 입니다.
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그러므로 이것은 28 평방 센티미터 혹은 제곱 센티미터가 될 것입니다.
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둘레는 얼마 입니까?
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글세요, 그것은 이 아래 쪽에 있는 거리, 즉 7센티미터와
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같을 것입니다. 거기에 더하기 바로 이쪽에 있는 이 거리, 즉 4
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센티미터를 더하고, 위 쪽에 있는 거리를 더하고, 이건
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직사각형 입니다. 이건 바로 이것과 같은
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거리가 될 것입니다.
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그러니까 더하기 또 다른 7 센티미터 입니다.
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그러면 여러분은 왼 쪽 변에도 같은 길이를 갖게 될 것입니다.
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그러나 이 왼 쪽 변에 있는 길이는 이 오른 쪽 변에 있는 길이와
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같겠지요. 이것 또한 4 센티미터가 될 것입니다.
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그러므로 더하기 또 다른 4 센티미터 입니다.
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그러면 얼마가 되지요?
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7 더하기 4는 11이 나옵니다. 그러고 나서 또 다른
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7 더하기 4가 나오겠지요.
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11 하기 11, 그러니까 22 센티미터가 나올 것입니다.
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다시 한 번 말씀드리면 이것은 평방 센티미터가 아닙니다.
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자, 이제 다른 걸 생각해 봅시다. 우리의 직사각형 비유에서 혹은
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우리의 직사각형 예제에서 비켜서 봅시다.
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그러니까 우리가 삼각형에도 똑같은 걸 적용할 수 있는지 알아 보도록 합시다.
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그러므로 여기에 삼각형이 하나 있다고 가정해 봅시다.
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내가 이런 삼각형을 하나 가지고 있다고 해 봅시다.
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바로 여기에 있는 이 길이를.. 사실
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제가 이런 식으로 그려 보겠습니다.
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이런 식으로 그리는 편이 여러분에게 좀 더 쉽게 느껴질 것 같아서요.
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이게 어떻게 직사각형과 연관이 있는지 말이지요.
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이런 식으로 그려 보겠습니다.
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됐습니다.
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여기 제 삼각형이 있습니다.
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바로 여기에 있는 이 길이가 7 센티미터라고 해 봅시다.
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바로 여기 아래에 있는 거요.
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그리고 이 삼각형의 높이가 4 센티미터라고
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가정해 봅시다.
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그리고 제가 여러분께 이 삼각형의 넓이가 몇이냐고 묻고 싶습니다.
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음, 우리가 이런 직사각형을 가지고 있었을 때, 우리는 그냥
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7 곱하기 4를 하면 됐었습니다.
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그러나 그게 우리한테 무슨 의미입니까?
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그건 우리에게 전체 직사각형의 넓이라는 의미를 주었습니다.
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만약 우리가 7 곱하기 4를 했다면, 그 말은 즉 우리에게 전체 직사각형의
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넓이라는 의미였습니다.
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여러분은 제가 가진 삼각형이 이런 식으로 증가하는 걸 상상해 볼 수 있습니다.
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이것은 오른 쪽의 사각형입니다. 이것은 위 아래로 직진할
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것 입니다. 이것은 왼 쪽, 오른 쪽으로 직진할 것입니다.
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아래 쪽의 바로 여기가요.
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이것은 90도의 각도입니다. 만약 여러분이 이미 각도라는
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개념을 배웠다면 말이지요.
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그러므로 여러분은 이것을 거의 이 직사각형의 절반으로 볼 수 있을 것입니다.
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사실 거의가 아닙니다, 정확히 입니다.
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왜냐하면 여러분이 이 녀석을 그냥 두 배하면, 만약 여러분이
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이 삼각형을 뒤집는 다고 상상해 본다면, 여러분은 똑같지만
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위 아래가 뒤집어진 삼각형을 얻을 수 있을 것입니다.
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그러므로 여러분이 7곱하기 4를 한다고 생각했을 때,
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여러분은 전체 직사각형의 넓이를 구하게 될 것입니다. 우리가
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바로 이 위에서 해 봤던 것처럼요.
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그러나 우리는 이 삼각형의 넓이를 알고 싶습니다.
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우리는 단지 바로 여기의 넓이를 알고 싶을 뿐입니다.
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다행이도 여러분이 볼 수 있듯이, 이 그림에서 보시면
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이 삼각형의 바로 전체 직사각형의 절반이 된다는 것을
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알 수 있습니다,
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그러므로 이 삼각형의 넓이는 밑 변 곱하기 높이입니다.
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자 이제, 아직까지는 밑 변 곱하기 높이는
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직사각형의 넓이 입니다.
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그러므로 삼각형의 넓이를 구하기 위해서는, 여러분이 1/2를
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곱해 주어야만 합니다.
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그러므로 1/2 밑 변 곱하기 높이가 됩니다.
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그러니까 이 문제에서는 1/2 곱하기 7 센티미터
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곱하기 4 센티미터가 될 것입니다.
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우리는 7 곱하기 4가 뭔지 알고 있습니다.
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우리는 이미 그것이 28 (제곱) 센티미터라는 것을 압니다, 우리가
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위에서 이미 계산해 본 것처럼요.
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그러므로 바로 이 부분은 28 (제곱) 센티미터 입니다.
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그러므로 우리가 원하는 것은, 우리는 저것에 곱하기 1/2를 하길 원합니다.
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그러니까 바로 이것처럼 바로 14 (제곱) 센티미터가 될 것입니다.
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그러니까 이 삼각형의 넓이는 정확이 이 직사각형의
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넓이의 1/2가 됩니다.
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자, 이제 삼각형의 둘레는 좀 더 계산이 복잡해 집니다.
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왜냐하면 이 길이를 알아내는 것이
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세상에서 가장 쉬운 일은 아니거든요.
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음, 이건 여러분이 피타고라스의 정리 (the Pythagorean Theorem) 를
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배우고 나면 쉬워 질 것입니다.
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그러나 지금 당장은 저는 그걸 건너 뛰려고 합니다.
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그 공식은 피타고라스의 정리 강의를 위해 남겨 둘 것입니다.
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그냥 삼각형의 넓이에 대한 문제를 하나 더 드리도록 하겠습니다.
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이렇게 생긴 삼각형을 제가 가지고 있다고 해 봅시다.
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이것은 매우 특별한 경우입니다. 제가 직사각형의 절반 처럼
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보이는 삼각형을 그리는 것은요.
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이렇게 생긴 삼각형을 우리가 가지고 있다고 해 봅시다.
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이렇게 생긴 건 좀 왜곡 되었군요.
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그리고 바로 이 아래의 길이 3 미터라고 해 봅시다.
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이 길이가 3 미터 입니다.
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이 길이는 몇 인지 우리가 모른다고 가정해 봅시다. 그리고
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우리는 이 길이 몇 인지 모릅니다.
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그러나 우리가 여기서 부터 한 선을 이런 식으로 떨어트리면,
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만약 여러분이 이것이 한 건물이거나 혹은 어떤 종류의 산이라고
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상상해 보신다면 그리고 여러분이 어떤 것을 직선으로 이런 식으로
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아래 쪽으로 땅을 향해 떨어트린다면, 우리는 이 길이가
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4 미터와 같다는 걸 알고 있다고 해 봅시다.
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그러므로 이 삼각형의 넓이는 몇이 될 까요?
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음, 우리는 똑같은 공식을 적용할 것입니다.
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넓이는 1/2 밑 변 곱하기 높이 입니다.
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그러니까 이것은 1/2 곱하기.. 밑 변은 말 그대로 바로 여기에 있는
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이 삼각형의 밑 변을 말합니다.
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그러니까 1/2 곱하기 3 곱하기 이 삼각형의 높이 입니다.
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내 생각에는 이것을 생각하는 더 나은 방법은 삼각형의
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고도로 보는 것이겠네요.
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그러므로 이것은 심지어 삼각형 안에 있지도 않습니다, 그러나
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이것은 말 그대로 높이를 의미 합니다.
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만약 여러분이 이것을 건물이라고 가정 한다면, 여러분이 이 빌딩의
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높이는 얼마 인가 말할 때, 바로 여기의 높이를 말할 것입니다.
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그러니까 1/2 곱하기 3 곱하기 4 입니다.
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바로 여기에 있는 길이를 이용하면 됩니다.
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다시 말하면 3 곱하기 4는 12애 곱하기 1/2를 하면 6이 됩니다.
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우리는 지금 평방 미터를 다루고 있습니다.
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전 정말로 이 개념을 강조하고 싶습니다. 왜냐하면 만약 제가 여러분께
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이렇게 생긴 삼각형을 드린다면, 그러니까 이 밑이 3 미터인 것을요.
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그러고 나서 제가 여러분께 바로 여기에 있는 이 변이 4 미터라고
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말씀드린다면, 이건 여러분이 공식을 적용해서 알아낼 수 있을
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만한 문제가 아닙니다.
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사실은 여러분이 정말로 이 넓이를 구하려면 몇 개의 각도나
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비슷한 것들을 알아야만 하고 혹은 여러분은 이쪽에 있는 다른
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변을 알아야만 합니다.
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그러니까 쉽지 않지요.
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여러분은 이 삼각형의 고도 혹은 높이가 몇 인지
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알아야만 합니다.
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여러분은 이 길이를 알아야할 필요가 있습니다.
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이런 경우에는 변 중의 하나였습니다. 그러나 이 경우에는
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변 중의 하나가 아닙니다.
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여러분은 바로 여기에 있는 이 변이 무엇인지 알아내야만 합니다.
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이 공식을 적용하기 위해서 말이지요.
