자막제공: SNOW.or.kr (본 자막은 SNOW 자원활동가들에 의해서 제작되었습니다) 여기에 정사각형이 하나 있습니다.
왜 정사각형이냐면 모든 변의 길이가 같기 때문입니다.
아직 각도 부분까지 배우지 않았습니다만 이 변들은 모두
서로 직각을 이루고 있습니다.
제가 방금 이렇게 그렸던 것처럼요.
이말은 즉 이 밑변이 왼 쪽, 오른 쪽으로 직진하며
이 왼 변은 위 아래로 직진한다는 의미입니다.
그게 직각이 의미하는 모든 바입니다.
여기 아래에 있는 변을 8미터 라고 해 봅시다.
바로 여기에 있는 이 변이요.
그리고 이건 정사각형입니다.
그리고 내가 만약 여러분께 이 정사각형의 넓이가 얼마입니까? 하고 물으려고 합니다.
글쎄요, 넓이는 근본적으로 정사각형이 얼마나 많은 공간을
차지하고 있느냐입니다. 지금 보이는 여러분의 화면 위에서요.
그러니까 근본적으로 어떤 것이 이차원의 표면에서 얼마나 많은
공간을 차지하고 있느냐를 측정하는 방법입니다.
이차원의 표면이라는 건 그냥 이 컴퓨터의 화면이나 여러분이 갖고 계신
한 장의 종이같은 걸 말합니다. 이런 문제를 풀 때는 말이지요.
비유하면 만약 여러분이 8 미터 곱하기 8 미터의 방을 갖고 있는데,
여러분이 얼마나 많은 카펫이 필요한지가 바로 이차원을 가진
어떤 타입의 표면에서 여러분이 채워야할 공간의
넓이를 의미합니다.
그러니까 이 넓이는 말 그대로 여러분이 얼마나 많은 넓이를
채워야 하느냐를 의미합니다. 그리고 정사각형의 경우 이걸
알아내는 것이 무척 쉽습니다.
문자 그대로 밑 변 곱하기 여러분이 가진 높이를 하면 됩니다. 그리고
이 사실은 어떤 직사각형에도 적용됩니다. 그러나 이것이 정사각형이기 때문에,
여러분이 가진 밑 변과 여러분이 가진 높이는 같은 숫자가 될 것입니다.
바로 8미터 입니다.
그러므로 넓이는 8미터 곱하기 8미터로
8 곱하기 8은 64가 됩니다. 그리고 미터 곱하기 미터는,
여러분은 꼭 단위에도 같은 계산을 해주어야 하는데요,
64 제곱 미터가 됩니다.
혹은 다르게 말하면 64 평방 미터가 됩니다.
여러분은 어쩌면 이 64 평방 미터가 어디에 있냐고 물을지도 모르겠습니다.
글쎄요, 사실 여러분은 실제로 이걸 분해해 볼 수 있습니다.
그러니까 이걸 좀 더 크게 그려봅시다.
제가 원래 그렸던 것보다요.
아마 제가 처음부터 이걸 크게 그렸어야 했었는데 말이지요.
그러니까 이게 아까와 같은 정사각형입니다.
좀 더 그릴 겁니다. 그러니까 이 도형의
한 가운데를 나누겠습니다.
어디 봅시다. 또 나눠 봅시다.
그러고 나면 바로 이런 식으로 각 변을 나누게 됩니다.
더 깔끔하게 나눌 수도 있었을 텐데요.
그리고 한 번더 나눠 봅시다.
이것들을 바로 이런 식으로 나누고, 그러고 나서 저것들도
바로 저런 식으로 나눕시다.
됐습니다.
좋습니다.
자, 이제 제가 이렇게 나눈 이유는 여러분에게 밑 변과
높이를 따르는 차원을 보여드릴려고 한 것입니다.
이게 8 미터라고 말했었지요, 그리고 이것이 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 미터가 되는 걸 알 수 있습니다.
그리고 이 쪽 변도 같아요.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 미터 입니다.
그러므로 우리가 65 평방 미터라고 말할 때는, 우리는
말 그대로 1 평방 미터를 각 각 셀 수 있습니다.
1 평방 미터는 이차원에서의 한 치수입니다.
각 변이 1 미터라는 의미입니다.
이 변이 1 미터, 저 변이 1 미터 입니다.
제가 여기 노란 색으로 색칠한 것은 1 평방 미터 입니다.
그리고 여러분은 단지 이 평방 미터를 세는 것으로 상상할 수 있습니다.
각 줄에 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 평방 미터가 있습니다.
그러고 나면 8줄이 있는 것이지요.
그러므로 우리는 8 곱하기 8 평방 미터 혹은
64 평방 미터라고 말할 수 있습니다.
그 말은 근본적으로 여러분이 만약 여기에 앉아서 그냥 각 각의
이것들을 세어 보면 총 64개의 평방 미터를 셀 수 있다는 것입니다.
자, 이제 만약 제가 여러분께 이 정사각형의 둘레를
묻는다면 어떻게 될까요?
둘레란 여러분이 정사각형을 돌기 위한
거리를 말합니다.
예를 들면 얼마나 많은 카펫이 필요한 지
측량하는 것이 아닙니다.
이것은 예를 들면 여러분이 가진 카펫 주위로 여러분이 울타리를
두르고 싶을 때 측량하는 것입니다. 제가 일종의 실내와 실외의
비유들을 섞어서 말하고 있네요. 이것은 얼마나 많은 울타리가
필요하겠느냐는 것입니다.
그러니까 주위의 거리가 되겠네요.
그러므로 이 거리 더하기, 저 거리 더하기, 저 거리 더하기,
저 거리가 될 것입니다.
그러나 우리는 바로 이 밑에 있는 여기의 이 거리를 이미
알고 있습니다, 우리는 이미 이 거리가 8 미터라는 점을 알고 있습니다.
그러면 바로 여기의 높이가 8 미터라는 점도 알 수 있게 됩니다.
정사각형이니까요.
여기 이 위에 있는 거리와 여기 이 아래에 있는 거리는
같습니다. 이 역시 또 다른 8 미터가 될 것입니다.
그러면 여러분이 왼 쪽 변으로 내려가면 이 역시도
또 다른 8 미터가 될 것입니다.
우리는 총 네 변을 가지고 있는데, 1, 2, 3, 4, 이 각 각이 8 미터 입니다.
그러므로 우리는 8 미터 그 자신을 4번 더해 주어야 합니다. 그 말은 즉,
8 곱하기 4와 같고, 여러분은 36 미터라는 답을 구할 수 있을 것입니다.
자, 이제 단지 우리가 필요한 울타리의 합계를 우리가 측량할 때,
결국 미터라는 단위로 끝나는 것을 알아차렸을 것입니다. 단지
일차원의 측량 단위로 말이지요.
그것은 왜냐하면 우리가 여기서 평방 미터를 측정하는 것이 아니기 때문입니다.
우리는 얼마나 많은 넓이를 차지할 수 있느냐를 측정하고 있지 않습니다.
우리는 한 거리를 측정하고 있는데, 그 거리는 빙 돌았을 때의 거리입니다.
우리가 빙글 돌지만 그냥 이 울타리를 펼쳐서 생각할 수도
있을 것입니다. 그러면 이런 식으로 하나의 큰 울타리가 되겠지요.
그리고 그 울타리의 길이는 총 36미터가 될 것입니다.
그러니까 이것이 우리가 둘레를 구할 때 단지 미터 단위만 갖는 이유입니다.
그러나 둘레의 경우 평방 미터 단위가 될 것입니다. 왜냐하면 우리는
이 이차원의 크기를 재는 것이기 때문입니다.
자, 이제 이 문제를 좀 더 흥미롭게 만들어 봅시다.
정사각형 대신 내가 이런 식으로 직사각형을 갖고 있다면
어떤 일이 일어날까요?
여기에 있는 이 쪽 변을 7 센티미터라고 해 봅시다.
그리고 바로 여기에 있는 높이를 4 센티미터라고 해 봅시다.
그러면 직사각형의 넓이는 몇이 될 까요?
7 곱하기 4 센티미터가 될 것입니다.
7 센티미터 곱하기 4 센티미터요.
기억하세요. 우리가 일곱 줄을 그릴 수 있습니다. 그렇죠. 그리고 그 각 각이
4 평방 센티미터가 될 것입니다. 이 각 각은
1 평방 센티미터구요.
그러니까 만약 여러분이 그것들을 모두 세어 본다면, 여러분은 7 곱하기
4 평방 센티미터를 갖게 되는 것입니다.
이것은 4 센티미터 입니다.
그러므로 이것은 28 평방 센티미터 혹은 제곱 센티미터가 될 것입니다.
둘레는 얼마 입니까?
글세요, 그것은 이 아래 쪽에 있는 거리, 즉 7센티미터와
같을 것입니다. 거기에 더하기 바로 이쪽에 있는 이 거리, 즉 4
센티미터를 더하고, 위 쪽에 있는 거리를 더하고, 이건
직사각형 입니다. 이건 바로 이것과 같은
거리가 될 것입니다.
그러니까 더하기 또 다른 7 센티미터 입니다.
그러면 여러분은 왼 쪽 변에도 같은 길이를 갖게 될 것입니다.
그러나 이 왼 쪽 변에 있는 길이는 이 오른 쪽 변에 있는 길이와
같겠지요. 이것 또한 4 센티미터가 될 것입니다.
그러므로 더하기 또 다른 4 센티미터 입니다.
그러면 얼마가 되지요?
7 더하기 4는 11이 나옵니다. 그러고 나서 또 다른
7 더하기 4가 나오겠지요.
11 하기 11, 그러니까 22 센티미터가 나올 것입니다.
다시 한 번 말씀드리면 이것은 평방 센티미터가 아닙니다.
자, 이제 다른 걸 생각해 봅시다. 우리의 직사각형 비유에서 혹은
우리의 직사각형 예제에서 비켜서 봅시다.
그러니까 우리가 삼각형에도 똑같은 걸 적용할 수 있는지 알아 보도록 합시다.
그러므로 여기에 삼각형이 하나 있다고 가정해 봅시다.
내가 이런 삼각형을 하나 가지고 있다고 해 봅시다.
바로 여기에 있는 이 길이를.. 사실
제가 이런 식으로 그려 보겠습니다.
이런 식으로 그리는 편이 여러분에게 좀 더 쉽게 느껴질 것 같아서요.
이게 어떻게 직사각형과 연관이 있는지 말이지요.
이런 식으로 그려 보겠습니다.
됐습니다.
여기 제 삼각형이 있습니다.
바로 여기에 있는 이 길이가 7 센티미터라고 해 봅시다.
바로 여기 아래에 있는 거요.
그리고 이 삼각형의 높이가 4 센티미터라고
가정해 봅시다.
그리고 제가 여러분께 이 삼각형의 넓이가 몇이냐고 묻고 싶습니다.
음, 우리가 이런 직사각형을 가지고 있었을 때, 우리는 그냥
7 곱하기 4를 하면 됐었습니다.
그러나 그게 우리한테 무슨 의미입니까?
그건 우리에게 전체 직사각형의 넓이라는 의미를 주었습니다.
만약 우리가 7 곱하기 4를 했다면, 그 말은 즉 우리에게 전체 직사각형의
넓이라는 의미였습니다.
여러분은 제가 가진 삼각형이 이런 식으로 증가하는 걸 상상해 볼 수 있습니다.
이것은 오른 쪽의 사각형입니다. 이것은 위 아래로 직진할
것 입니다. 이것은 왼 쪽, 오른 쪽으로 직진할 것입니다.
아래 쪽의 바로 여기가요.
이것은 90도의 각도입니다. 만약 여러분이 이미 각도라는
개념을 배웠다면 말이지요.
그러므로 여러분은 이것을 거의 이 직사각형의 절반으로 볼 수 있을 것입니다.
사실 거의가 아닙니다, 정확히 입니다.
왜냐하면 여러분이 이 녀석을 그냥 두 배하면, 만약 여러분이
이 삼각형을 뒤집는 다고 상상해 본다면, 여러분은 똑같지만
위 아래가 뒤집어진 삼각형을 얻을 수 있을 것입니다.
그러므로 여러분이 7곱하기 4를 한다고 생각했을 때,
여러분은 전체 직사각형의 넓이를 구하게 될 것입니다. 우리가
바로 이 위에서 해 봤던 것처럼요.
그러나 우리는 이 삼각형의 넓이를 알고 싶습니다.
우리는 단지 바로 여기의 넓이를 알고 싶을 뿐입니다.
다행이도 여러분이 볼 수 있듯이, 이 그림에서 보시면
이 삼각형의 바로 전체 직사각형의 절반이 된다는 것을
알 수 있습니다,
그러므로 이 삼각형의 넓이는 밑 변 곱하기 높이입니다.
자 이제, 아직까지는 밑 변 곱하기 높이는
직사각형의 넓이 입니다.
그러므로 삼각형의 넓이를 구하기 위해서는, 여러분이 1/2를
곱해 주어야만 합니다.
그러므로 1/2 밑 변 곱하기 높이가 됩니다.
그러니까 이 문제에서는 1/2 곱하기 7 센티미터
곱하기 4 센티미터가 될 것입니다.
우리는 7 곱하기 4가 뭔지 알고 있습니다.
우리는 이미 그것이 28 (제곱) 센티미터라는 것을 압니다, 우리가
위에서 이미 계산해 본 것처럼요.
그러므로 바로 이 부분은 28 (제곱) 센티미터 입니다.
그러므로 우리가 원하는 것은, 우리는 저것에 곱하기 1/2를 하길 원합니다.
그러니까 바로 이것처럼 바로 14 (제곱) 센티미터가 될 것입니다.
그러니까 이 삼각형의 넓이는 정확이 이 직사각형의
넓이의 1/2가 됩니다.
자, 이제 삼각형의 둘레는 좀 더 계산이 복잡해 집니다.
왜냐하면 이 길이를 알아내는 것이
세상에서 가장 쉬운 일은 아니거든요.
음, 이건 여러분이 피타고라스의 정리 (the Pythagorean Theorem) 를
배우고 나면 쉬워 질 것입니다.
그러나 지금 당장은 저는 그걸 건너 뛰려고 합니다.
그 공식은 피타고라스의 정리 강의를 위해 남겨 둘 것입니다.
그냥 삼각형의 넓이에 대한 문제를 하나 더 드리도록 하겠습니다.
이렇게 생긴 삼각형을 제가 가지고 있다고 해 봅시다.
이것은 매우 특별한 경우입니다. 제가 직사각형의 절반 처럼
보이는 삼각형을 그리는 것은요.
이렇게 생긴 삼각형을 우리가 가지고 있다고 해 봅시다.
이렇게 생긴 건 좀 왜곡 되었군요.
그리고 바로 이 아래의 길이 3 미터라고 해 봅시다.
이 길이가 3 미터 입니다.
이 길이는 몇 인지 우리가 모른다고 가정해 봅시다. 그리고
우리는 이 길이 몇 인지 모릅니다.
그러나 우리가 여기서 부터 한 선을 이런 식으로 떨어트리면,
만약 여러분이 이것이 한 건물이거나 혹은 어떤 종류의 산이라고
상상해 보신다면 그리고 여러분이 어떤 것을 직선으로 이런 식으로
아래 쪽으로 땅을 향해 떨어트린다면, 우리는 이 길이가
4 미터와 같다는 걸 알고 있다고 해 봅시다.
그러므로 이 삼각형의 넓이는 몇이 될 까요?
음, 우리는 똑같은 공식을 적용할 것입니다.
넓이는 1/2 밑 변 곱하기 높이 입니다.
그러니까 이것은 1/2 곱하기.. 밑 변은 말 그대로 바로 여기에 있는
이 삼각형의 밑 변을 말합니다.
그러니까 1/2 곱하기 3 곱하기 이 삼각형의 높이 입니다.
내 생각에는 이것을 생각하는 더 나은 방법은 삼각형의
고도로 보는 것이겠네요.
그러므로 이것은 심지어 삼각형 안에 있지도 않습니다, 그러나
이것은 말 그대로 높이를 의미 합니다.
만약 여러분이 이것을 건물이라고 가정 한다면, 여러분이 이 빌딩의
높이는 얼마 인가 말할 때, 바로 여기의 높이를 말할 것입니다.
그러니까 1/2 곱하기 3 곱하기 4 입니다.
바로 여기에 있는 길이를 이용하면 됩니다.
다시 말하면 3 곱하기 4는 12애 곱하기 1/2를 하면 6이 됩니다.
우리는 지금 평방 미터를 다루고 있습니다.
전 정말로 이 개념을 강조하고 싶습니다. 왜냐하면 만약 제가 여러분께
이렇게 생긴 삼각형을 드린다면, 그러니까 이 밑이 3 미터인 것을요.
그러고 나서 제가 여러분께 바로 여기에 있는 이 변이 4 미터라고
말씀드린다면, 이건 여러분이 공식을 적용해서 알아낼 수 있을
만한 문제가 아닙니다.
사실은 여러분이 정말로 이 넓이를 구하려면 몇 개의 각도나
비슷한 것들을 알아야만 하고 혹은 여러분은 이쪽에 있는 다른
변을 알아야만 합니다.
그러니까 쉽지 않지요.
여러분은 이 삼각형의 고도 혹은 높이가 몇 인지
알아야만 합니다.
여러분은 이 길이를 알아야할 필요가 있습니다.
이런 경우에는 변 중의 하나였습니다. 그러나 이 경우에는
변 중의 하나가 아닙니다.
여러분은 바로 여기에 있는 이 변이 무엇인지 알아내야만 합니다.
이 공식을 적용하기 위해서 말이지요.