-
İkinci dereceden denklem videosuna hoşgeldiniz
-
ikinci dereceden denklem kulağa
-
karmaşık gelebilir
-
Hatta denklemi ilk gördüğünüzde,
-
kulağa karmaşık gelen bu denklemler
-
gerçekten çok karmaşıkmış diyceksiniz
-
ama umarım ki bu sunum
-
boyunca öyle olmadığını anlayacaksınız
-
ve gelecek sunumlarda bu denklemlerin nereden türediğini
-
size göstereceğim
-
Bu zamana kadar bu denklemlerin nasıl
-
çözüleceğini gördünüz
-
Öğrendiklerimize göre, x'in karesi eksi
-
x eksi 6 eşittir 0
-
Bu denklem üzerinden gidersek, x kare eksi x eksi x eşittir
-
sıfır, ve sizde bunu x eksi 3 ve
-
x artı 2 eşittir 0 olarak çözümleyebilirsiniz.
-
Bu da demektir ki x eksi 3, 0'a yada
-
x artı 2, 0'a eşittir.
-
Yani x eksi 3, 0'a ya da x artı 2, 0'a eşit.
-
Buna göre de, x, 3'e yada -2'ye eşittir.
-
Bu denklemin grafiksel görünümü ise, denklemi
-
f'in x'i, x kare eksi x eksi 6 ya eşittir olarak alırsak ortaya çıkar.
-
Yani bu eksen f(x) ekseni olur.
-
y ekseni size daha tanıdık gelmiş olabilir, ancak bu türde
-
bir problem için, bu çok ta farketmeyecektir.
-
Bu da x ekseni.
-
Eğer ki ben bunu grafiksel olarak çizersem, x kare eksi x
-
eksi 6, grafik şu şekilde gözükür
-
Birde - bu f'in x'i, -6 ya eşittir.
-
grafiği şöyle bişey olur:
-
Gittikçe yukarı yükselir.
-
ve grafik -6 dan geçer, çünkü x, 0'a eşit olduğunda
-
f'in x'i, -6 ya eşit olur.
-
Bu sebepten dolayı grafiğin bu noktadan geçtiğini anlayabiliyorum.
-
Ve biliyorum ki f'in x'i, 0'a eşit, yani f'in x'i
-
x ekseninde 0'a eşit. Değil mi?
-
Çünkü bu 1.
-
Bu da 0.
-
Bu da -1.
-
Yani burası f'in x'inin 0'a eşit olduğu yer,
-
x ekseni ile birlikte, değil mi?
-
Ve biliyoruz ki x'in, 3'e veya -2'ye eşit olduğu bölgelerde,
-
denklem 0'a eşit.
-
İşte bu da tam burda çözdüğümüz şey.
-
Belkide bu tür problemleri yaparken,
-
yaptıklarımızın grafiksel olarak farkında değildik.
-
Ama eğer f'in x'inin bu fonksyona eşit olduğunu söylersek
-
biz bunu 0'a eşitlemiş oluyoruz.
-
Yani diyoruz ki, bu fonksyon
-
ne zaman 0'a eşit olur?
-
Ne zaman 0'a eşit olur?
-
Gördüğümüz gibi, bu noktalarda 0'a eşit değil mi?
-
Çünkü burası f'in x'inin, 0'a eşit olduğu yer.
-
Ve bunu çarpanlarına ayırarak çözerken yaptığımız şey ise
-
f'in x'ini, 0'a eşitleyen sayıların
-
bu iki nokta olduğunu farketmemizdi.
-
Ve kısa bir terim, bu noktalara,
-
f'in x'inin "kök"leri denir.
-
Şimdi biraz tekrar yapalım.
-
Eğer, f'in x'i, x kare artı
-
4x artı 4 gibi bir denklemim olsaydı, ve size
-
bu denklemin köklerini sorsaydım,
-
Bu f'in x'inin, x eksenini hangi noktalarda
-
keser demekle aynı şeydir.
-
ve denklemler, x eksenini, f'in x'i
-
0'a eşitken keser, değil mi?
-
Eğer benim az önce çizdiğim grafiği düşünürseniz.
-
Diyelim ki, f'in x'i, 0'a eşit, buna göre
-
hemen diyebiliriz ki, 0, x kare artı 4x artı 4 e eşittir.
-
ve biliyoruz ki, bunu x artı 2 çarpı x artı iki
-
olarak çarpanlarına ayırabiliriz.
-
Ve biliyoruz ki bu denklemde de x eksi 2, 0'a eşit.
-
x ise -2'ye eşit.
-
Evet bu biraz -- x, -2'ye eşittir.
-
Şimdi, denklemin köklerini bulmayı
-
köklerine ayırmak kolay olduğu zaman biliyoruz.
-
Ancak şimdi de, çarpanlarına ayrılması zor olan bir denklem
-
üzerinde çalışalım.
-
Diyelim ki, f'in x'i, -10x kare, eksi 9x artı 1
-
e eşit.
-
Ben buna baktığım zaman, her ne kadar da 10 a bölsem bile
-
kesirli sayılar çıkacağını görüyorum.
-
ve bu denklemi ikinci dereceden çarpanlarına ayırmak çok güç.
-
Asıl bunlar, ikinci dereceden denklemler
-
ya da ikinci dereceden çok terimliler.
-
Konuya geri dönersek -- Biz bu denklemi çözmek istiyoruz.
-
Çünkü ne zaman sonucunun 0'a eşit olacağını merak ediyoruz.
-
-10x kare, eksi 9x artı 1.
-
Bu denklemi 0'a eşitleyecek
-
x değerini bulmaya çalışacağız.
-
İşte tam burda, ikinci dereceden denklem dediğimiz bir araç kullanacağız.
-
ve şiimdi size, matematikte çok nadir ezberlenmesi gereken
-
şeylerden bir tanesini anlatacağım.
-
İkinci dereceden denklem der ki, denklemin kökleri eşittir:
-
--ve diyelim ki bu denklem
-
ax kare, artı bx artı c eşittir 0,
-
bu örnekte a, -10'a eşit.
-
b, -9'a ve c'de 1'e eşit.
-
Bunun formülü ise: x kökleri eşittir, -b artı ya da eksi
-
b kare'nin kare kökü, eksi 4 çarpı a çarpı c,
-
ve bunların hepsi bölü 2a.
-
Biliyorum, bu karmaşık gözüküyor, ancak siz bunu kullandıkça,
-
o kadar da kötü olmadığını anlayacaksınız.
-
ve bu da ezberlemek için güzel bir fikir.
-
Mesela, bu denklemi, şimdi yazdığımız
-
bu denkleme uygulayalım.
-
Şimdi söyledim -- ve bakın, buradaki a sadece x üzerindeki
-
katsayı, değil mi?
-
a, x kare terimindeki katsayıdır.
-
b ise, x terimindeki katsayıdır, ve c sabittir.
-
Hadi bunu bu denkleme uygulayalım.
-
b nedir?
-
b, -9
-
Burda görebiliriz.
-
b, -9, a ise -10
-
c de 1
-
Değil mi?
-
Eğer b, -9'sa -- diyelim ki -9.
-
Artı ya da eksi, -9'un karesinin karekökü.
-
Bu da 81'e eşit.
-
Eksi 4 çarpı a.
-
a, -10'a eşit.
-
-10 kere c, yani 1.
-
Biliyorum bu çok karışık bir şey, ancak umuyorum ki
-
anlayabiliyorsunuzdur.
-
ve bunların hepsi, bölü 2a.
-
a, -10'a eşit, yani 2a'da -20.
-
Şimdi bunu sadeleştirelim.
-
Eksi çarpı -9, 9 eder.
-
Artı yada eksi 81'in karekökü.
-
Elimizde -4 çarpı -10 var.
-
Bu bir -10.
-
Biliyorum bu çok karmaşık oldu, bunun için
-
gerçekten çok özür dilerim, çarpı 1.
-
Yani -4 çarpı -10, 40 yapar, pozitif 40.
-
Pozitif 40.
-
ve bunların hepsi bölü -20.
-
Bildiğiniz gibi, 81 artı 40, 121.
-
Bu da 9 artı yada eksi 121'in
-
kare kökü üzeri -20.
-
121'in kare kökü 11.
-
Şimdi buraya gidelim.
-
Umuyorum ki, yaptığım şeyleri takip edebiliyorsunuzdur.
-
Şimdi, bu 9 artı yada eksi 11, üzeri -20.
-
ve eğer 9 artı 11 üzeri, -20 dersek bu 9,
-
artı 11, 20 eder ve bu da 20 bölü -20 eder.
-
Yani -1.
-
Bu köklerden birtanesi.
-
Bu, 9 artı -- çünkü bu artı yada eksi.
-
ve diğer kökt te, 9 eksi 11 üzeri -20.
-
Yani, -2 bölü -20.
-
Yani, 1 bölü 10.
-
Bu da denklemin ikinci kökü.
-
Eğer bu denklemin grafiğini çizersek, göreceğimiz şey,
-
köklerin x ekseni ile çakışacağı olacaktır.
-
Ya da f'in x'i, x'in -1 yada 1/10,
-
olduğu zamanlarda, 0'a eşit.
-
İkinci bölümde çok daha fazla örnek çözeceğim, çünkü
-
kafanızı bu video ile karıştırmış
-
olabileceğimi düşünüyorum.
-
O zaman, ikinci dereceden denklemleri kullanacağımız, videonun ikinci bölümünde
-
görüşürüz.
-
.
