-
Velkommen til presentasjonen av hvordan man bruker kvadratformelen.
-
Kvadratformelen høres egentlig veldig komplisert ut.
-
Og når du får se formelen vil du også kanskje si at ikke bare ser den komplisert ut,
-
men den er også det.
-
Men forhåpentligvis vil du oppleve i løpet av denne filmen
-
at formelen egentlig ikke er vanskelig å bruke.
-
I en annen film skal jeg vise deg hvordan
-
man kommer fram til formelen.
-
Du har allerede lært å faktorisere en andregradslikning.
-
Du har lært at, la oss si, du har x i andre minus x
-
minus 6, er lik 0.
-
Hvis vi hadde denne likningen. x i andre minus x minus 6 er lik
-
null, kan du faktorisere den og få x minus 3 og
-
x pluss 2 er lik 0.
-
Det betyr enten at x minus 3 er lik 0
-
eller x pluss 2 er lik 0.
-
x minus 3 er lik 0 eller x pluss 2 er lik 0.
-
Svaret er at x er lik 3 eller minus 2.
-
En grafisk fremstililng av dette ville være, hvis vi har
-
Hvis vi har funksjonen f(x) er lik x i andre minus x minus 6.
-
Denne aksen er f(x)-aksen.
-
Du er kanskje mer vant med å kalle den y-aksen.
-
Det betyr i grunn ingenting her.
-
Og dette er x-aksen.
-
Hvis vi skulle tegne denne likningen, x i andre minus x
-
minus 6, ville den se slik ut.
-
Litt som -- dette er f(x) er lik minus 6.
-
Grafen vil omtrent se slik ut.
-
Og nå går den gjennom -6 fordi når x er lik 0,
-
er f(x) lik -6.
-
Så da går den gjennom dette punktet.
-
Og jeg vet at når f(x) er lik 0... f(x) er lik
-
null langs x-aksen.
-
Fordi dette er 1.
-
Dette er 0.
-
Dette er minus 1.
-
Dette er hvor f(x) er lik null, langs
-
x-aksen, ikke sant.
-
Og vi vet at f(x) er lik 0 når x er lik 3
-
og når x er lik -2.
-
Det er det vi løste her.
-
Da vi løste faktoriseringsoppgaver tidligere, skjønte vi
-
kanskje ikke grafisk hva vi gjorde.
-
Men hvis vi sa at f(x) er lik denne funksjonen,
-
setter vi den egentlig lik 0.
-
Vi spør altså når er denne funksjonen lik 0?
-
Den er lik 0 i disse punktene, ikke sant?
-
Fordi dette er hvor f(x) er lik 0.
-
Da vi løste denne ved å
-
faktorisere, fant vi x-verdiene som ga f(x) lik 0,
-
som er disse x-verdiene.
-
Disse punktene kalles også nullpunktene, eller røttene, til f(x).
-
Hvis vi har f(x) lik x i andre
-
pluss 4x pluss 4, og jeg spurte om nullpunktene eller
-
røttene til f(x).
-
Det er det samme som å spørre, hvor
-
krysser f(x) x-aksen?
-
Og den krysser x-aksen når f(x)
-
er lik 0, ikke sant?
-
La oss se på grafen jeg nettopp tegnet.
-
Hvis f(x) er lik 0, kunne vi
-
bare si, 0 er lik x i andre pluss 4x pluss 4.
-
Vi kunne bare faktorisere det, det er x pluss 2 ganger x pluss 2.
-
Og vi vet den er lik null ved x lik -2.
-
Nå vet vi hvordan vi finner nullpunktene når
-
likningen er lett å faktorisere.
-
Men la oss se på en oppgave hvor likningen
-
ikke er så lett å faktorisere.
-
La oss si vi har f(x) er lik minus 10 x i andre minus 9x pluss 1.
-
Vi ser at ved å dele på 10 vil vi få noen brøker her.
-
Det er ikke lett å faktorisere denne likningen rett fram.
-
Og det er det som kalles en kvadratisk likning, eller et andregradspolynom.
-
Vi skal prøve å løse denne
-
fordi vi vil finne når den er lik 0.
-
Minus 10x i andre minus 9x pluss 1.
-
Vi vil finne hvilke x-verdier som gjør at denne er lik null.
-
Her kan vi bruke kvadratformelen (abc-formelen).
-
Nå skal du se noe som er greit å kunne utenat.
-
Kvadratlikningen sier at røttene til et kvadrat
-
er lik -- og la oss si at andregradslikningen er
-
a x i andre pluss b x pluss c er lik 0.
-
Her er a lik minus 10
-
b er -9 og c er 1.
-
Formelen sier at x er lik minus b pluss minus
-
kvadratroten av b i andre minus 4 ganger a ganger c.
-
Delt på 2a.
-
Det ser komplisert ut, men blir enklere jo mer du bruker den.
-
Dette er lurt å kunne utenat.
-
La oss bruke formelen på likningen
-
vi nettopp skrev.
-
A er bare koeffisienten til
-
andregradsleddet.
-
A er koeffisienten til andregradsleddet.
-
b er koeffisienten til førstegradsleddet og c er en konstant.
-
La oss bruke dette på likningen.
-
Hva er b? b er minus 9
-
b er minus 9, a er minus 10
-
c er 1.
-
Hvis b er minus 9
-
Pluss minus roten av minus 9 i andre. Det er 81.
-
Minus 4 ganger a
-
a er -10
-
-10 ganger c som er 1.
-
Det er rotete, men du vil forhåpentligvis
-
forstå det.
-
Alt det over 2 ganger a.
-
a er -10, så 2 ganger a er -20.
-
Minus minus 9 er 9
-
Pluss minus kvadratroten av 81.
-
Vi har minus 4 ganger minus 10
-
Dette er a minus 10 ganger 1.
-
Så minus 4 ganger minus 10 er 40
-
Så har vi alt det over minus 20.
-
81 pluss 40 er 121.
-
Så dette er 9 pluss minus kvadratroten
-
av 121 over minus 20
-
Kvadratroten av 121 er 11.
-
Du mister ikke tråden nå?
-
Dette er 9 pluss minus 11, over minus 20
-
Hvis vi sier 9 pluss 11 over minus 20, så har vi
-
9 pluss 11 er 20, så dette er 20 over minus 20.
-
Det er lik minus 1.
-
Det er en av røttene.
-
Dette er 9 pluss -- fordi dette er pluss ELLER minus
-
Den andre roten vil være 9 minus 11 over minus 20.
-
Det er lik minus 2 over minus 20.
-
Som er lik 1 over 10.
-
Det er den andre roten.
-
Hvis vi skulle tegne grafen til denne funksjonen,
-
ville vi se at den krysser x-aksen.
-
Eller f(x) er lik null hvor x er lik minus 1
-
og x er lik 1/10.
-
Jeg skal ta flere eksempler i del 2 fordi jeg
-
tror jeg har forvirret deg med denne.
-
Vi ses i del 2 hvor vi bruker kvadratformelen.
