WEBVTT

00:00:01.010 --> 00:00:04.520
Velkommen til presentasjonen av hvordan man bruker kvadratformelen.

00:00:05.335 --> 00:00:07.853
Kvadratformelen høres egentlig veldig komplisert ut.

00:00:07.853 --> 00:00:12.622
Og når du får se formelen vil du også kanskje si at ikke bare ser den komplisert ut,

00:00:12.622 --> 00:00:13.968
men den er også det.

00:00:13.968 --> 00:00:14.930
Men forhåpentligvis vil du oppleve i løpet av denne filmen

00:00:14.930 --> 00:00:17.365
at formelen egentlig ikke er vanskelig å bruke.

00:00:17.365 --> 00:00:19.763
I en annen film skal jeg vise deg hvordan

00:00:19.763 --> 00:00:21.300
man kommer fram til formelen.

00:00:21.300 --> 00:00:26.348
Du har allerede lært å faktorisere en andregradslikning.

00:00:26.579 --> 00:00:30.910
Du har lært at, la oss si, du har x i andre minus x

00:00:30.910 --> 00:00:41.186
minus 6, er lik 0.

00:00:41.248 --> 00:00:42.970
Hvis vi hadde denne likningen. x i andre minus x minus 6 er lik

00:00:42.970 --> 00:00:48.720
null, kan du faktorisere den og få x minus 3 og

00:00:48.720 --> 00:00:52.210
x pluss 2 er lik 0.

00:00:52.210 --> 00:00:54.955
Det betyr enten at x minus 3 er lik 0

00:00:54.955 --> 00:00:57.073
eller x pluss 2 er lik 0.

00:00:57.073 --> 00:01:04.466
x minus 3 er lik 0 eller x pluss 2 er lik 0.

00:01:04.574 --> 00:01:09.438
Svaret er at x er lik 3 eller minus 2.

00:01:10.054 --> 00:01:17.980
En grafisk fremstililng av dette ville være, hvis vi har

00:01:17.980 --> 00:01:26.150
Hvis vi har funksjonen f(x) er lik x i andre minus x minus 6.

00:01:26.150 --> 00:01:28.760
Denne aksen er f(x)-aksen.

00:01:28.760 --> 00:01:32.670
Du er kanskje mer vant med å kalle den y-aksen.

00:01:32.670 --> 00:01:34.780
Det betyr i grunn ingenting her.

00:01:34.780 --> 00:01:36.270
Og dette er x-aksen.

00:01:36.270 --> 00:01:40.430
Hvis vi skulle tegne denne likningen, x i andre minus x

00:01:40.430 --> 00:01:42.380
minus 6, ville den se slik ut.

00:01:42.380 --> 00:01:50.130
Litt som -- dette er f(x) er lik minus 6.

00:01:50.130 --> 00:01:54.869
Grafen vil omtrent se slik ut.

00:02:00.030 --> 00:02:03.150
Og nå går den gjennom -6 fordi når x er lik 0,

00:02:03.150 --> 00:02:05.110
er f(x) lik -6.

00:02:05.110 --> 00:02:07.800
Så da går den gjennom dette punktet.

00:02:07.800 --> 00:02:11.520
Og jeg vet at når f(x) er lik 0... f(x) er lik

00:02:11.520 --> 00:02:14.960
null langs x-aksen.

00:02:14.960 --> 00:02:16.600
Fordi dette er 1.

00:02:16.600 --> 00:02:17.870
Dette er 0.

00:02:17.870 --> 00:02:19.160
Dette er minus 1.

00:02:19.160 --> 00:02:21.510
Dette er hvor f(x) er lik null, langs

00:02:21.510 --> 00:02:23.420
x-aksen, ikke sant.

00:02:23.420 --> 00:02:29.210
Og vi vet at f(x) er lik 0 når x er lik 3

00:02:29.210 --> 00:02:32.330
og når x er lik -2.

00:02:32.330 --> 00:02:34.360
Det er det vi løste her.

00:02:34.360 --> 00:02:36.440
Da vi løste faktoriseringsoppgaver tidligere, skjønte vi

00:02:36.440 --> 00:02:38.940
kanskje ikke grafisk hva vi gjorde.

00:02:38.940 --> 00:02:42.070
Men hvis vi sa at f(x) er lik denne funksjonen,

00:02:42.070 --> 00:02:43.270
setter vi den egentlig lik 0.

00:02:43.270 --> 00:02:49.020
Vi spør altså når er denne funksjonen lik 0?

00:02:49.390 --> 00:02:51.720
Den er lik 0 i disse punktene, ikke sant?

00:02:51.720 --> 00:02:55.360
Fordi dette er hvor f(x) er lik 0.

00:02:55.360 --> 00:02:57.490
Da vi løste denne ved å

00:02:57.490 --> 00:03:02.924
faktorisere, fant vi x-verdiene som ga f(x) lik 0,

00:03:02.924 --> 00:03:05.345
som er disse x-verdiene.

00:03:05.422 --> 00:03:11.278
Disse punktene kalles også nullpunktene, eller røttene, til f(x).

00:03:15.056 --> 00:03:23.700
Hvis vi har f(x) lik x i andre

00:03:23.700 --> 00:03:29.550
pluss 4x pluss 4, og jeg spurte om nullpunktene eller

00:03:29.550 --> 00:03:31.770
røttene til f(x).

00:03:31.770 --> 00:03:33.970
Det er det samme som å spørre, hvor

00:03:33.970 --> 00:03:36.300
krysser f(x) x-aksen?

00:03:36.300 --> 00:03:38.210
Og den krysser x-aksen når f(x)

00:03:38.210 --> 00:03:39.440
er lik 0, ikke sant?

00:03:39.440 --> 00:03:42.120
La oss se på grafen jeg nettopp tegnet.

00:03:42.120 --> 00:03:45.720
Hvis f(x) er lik 0, kunne vi

00:03:45.720 --> 00:03:51.860
bare si, 0 er lik x i andre pluss 4x pluss 4.

00:03:51.860 --> 00:03:58.202
Vi kunne bare faktorisere det, det er x pluss 2 ganger x pluss 2.

00:03:58.202 --> 00:04:07.090
Og vi vet den er lik null ved x lik -2.

00:04:18.270 --> 00:04:22.380
Nå vet vi hvordan vi finner nullpunktene når

00:04:22.380 --> 00:04:24.560
likningen er lett å faktorisere.

00:04:24.560 --> 00:04:27.500
Men la oss se på en oppgave hvor likningen

00:04:27.500 --> 00:04:30.281
ikke er så lett å faktorisere.

00:04:32.681 --> 00:04:45.197
La oss si vi har f(x) er lik minus 10 x i andre minus 9x pluss 1.

00:04:47.026 --> 00:04:50.011
Vi ser at ved å dele på 10 vil vi få noen brøker her.

00:04:50.011 --> 00:04:53.130
Det er ikke lett å faktorisere denne likningen rett fram.

00:04:53.130 --> 00:04:57.537
Og det er det som kalles en kvadratisk likning, eller et andregradspolynom.

00:04:58.703 --> 00:05:00.954
Vi skal prøve å løse denne

00:05:00.954 --> 00:05:02.420
fordi vi vil finne når den er lik 0.

00:05:02.420 --> 00:05:07.130
Minus 10x i andre minus 9x pluss 1.

00:05:07.130 --> 00:05:10.967
Vi vil finne hvilke x-verdier som gjør at denne er lik null.

00:05:12.337 --> 00:05:14.638
Her kan vi bruke kvadratformelen (abc-formelen).

00:05:14.776 --> 00:05:17.563
Nå skal du se noe som er greit å kunne utenat.

00:05:19.215 --> 00:05:21.330
Kvadratlikningen sier at røttene til et kvadrat

00:05:21.330 --> 00:05:24.810
er lik -- og la oss si at andregradslikningen er

00:05:24.810 --> 00:05:31.900
a x i andre pluss b x pluss c er lik 0.

00:05:31.900 --> 00:05:35.790
Her er a lik minus 10

00:05:35.790 --> 00:05:39.940
b er -9 og c er 1.

00:05:39.940 --> 00:05:48.040
Formelen sier at x er lik minus b pluss minus

00:05:48.040 --> 00:05:58.060
kvadratroten av b i andre minus 4 ganger a ganger c.

00:05:58.060 --> 00:06:00.230
Delt på 2a.

00:06:00.230 --> 00:06:02.843
Det ser komplisert ut, men blir enklere jo mer du bruker den.

00:06:04.400 --> 00:06:07.720
Dette er lurt å kunne utenat.

00:06:07.720 --> 00:06:10.730
La oss bruke formelen på likningen

00:06:10.730 --> 00:06:12.670
vi nettopp skrev.

00:06:12.670 --> 00:06:15.260
A er bare koeffisienten til

00:06:15.260 --> 00:06:18.610
andregradsleddet.

00:06:18.610 --> 00:06:20.300
A er koeffisienten til andregradsleddet.

00:06:20.300 --> 00:06:23.570
b er koeffisienten til førstegradsleddet og c er en konstant.

00:06:23.570 --> 00:06:25.100
La oss bruke dette på likningen.

00:06:25.100 --> 00:06:28.988
Hva er b? b er minus 9

00:06:29.970 --> 00:06:33.980
b er minus 9, a er minus 10

00:06:33.980 --> 00:06:34.970
c er 1.

00:06:36.090 --> 00:06:42.350
Hvis b er minus 9

00:06:42.350 --> 00:06:51.214
Pluss minus roten av minus 9 i andre. Det er 81.

00:06:53.302 --> 00:06:57.371
Minus 4 ganger a

00:06:57.678 --> 00:06:59.760
a er -10

00:06:59.760 --> 00:07:03.240
-10 ganger c som er 1.

00:07:03.240 --> 00:07:05.110
Det er rotete, men du vil forhåpentligvis

00:07:05.110 --> 00:07:06.470
forstå det.

00:07:06.470 --> 00:07:09.560
Alt det over 2 ganger a.

00:07:09.560 --> 00:07:14.050
a er -10, så 2 ganger a er -20.

00:07:14.990 --> 00:07:19.410
Minus minus 9 er 9

00:07:19.410 --> 00:07:26.460
Pluss minus kvadratroten av 81.

00:07:26.460 --> 00:07:30.660
Vi har minus 4 ganger minus 10

00:07:30.660 --> 00:07:35.270
Dette er a minus 10 ganger 1.

00:07:35.270 --> 00:07:39.410
Så minus 4 ganger minus 10 er 40

00:07:41.040 --> 00:07:46.070
Så har vi alt det over minus 20.

00:07:46.070 --> 00:07:48.300
81 pluss 40 er 121.

00:07:48.300 --> 00:07:52.330
Så dette er 9 pluss minus kvadratroten

00:07:52.330 --> 00:07:58.290
av 121 over minus 20

00:07:58.290 --> 00:08:01.620
Kvadratroten av 121 er 11.

00:08:03.170 --> 00:08:06.184
Du mister ikke tråden nå?

00:08:06.184 --> 00:08:13.720
Dette er 9 pluss minus 11, over minus 20

00:08:13.720 --> 00:08:19.090
Hvis vi sier 9 pluss 11 over minus 20, så har vi

00:08:19.090 --> 00:08:22.540
9 pluss 11 er 20, så dette er 20 over minus 20.

00:08:22.540 --> 00:08:23.730
Det er lik minus 1.

00:08:23.730 --> 00:08:24.900
Det er en av røttene.

00:08:24.900 --> 00:08:28.260
Dette er 9 pluss -- fordi dette er pluss ELLER minus

00:08:28.260 --> 00:08:33.790
Den andre roten vil være 9 minus 11 over minus 20.

00:08:33.790 --> 00:08:37.720
Det er lik minus 2 over minus 20.

00:08:37.720 --> 00:08:40.700
Som er lik 1 over 10.

00:08:40.700 --> 00:08:42.690
Det er den andre roten.

00:08:42.690 --> 00:08:48.950
Hvis vi skulle tegne grafen til denne funksjonen,

00:08:48.950 --> 00:08:52.640
ville vi se at den krysser x-aksen.

00:08:52.640 --> 00:08:59.232
Eller f(x) er lik null hvor x er lik minus 1

00:08:59.570 --> 00:09:01.690
og x er lik 1/10.

00:09:02.136 --> 00:09:05.218
Jeg skal ta flere eksempler i del 2 fordi jeg

00:09:05.357 --> 00:09:07.669
tror jeg har forvirret deg med denne.

00:09:08.120 --> 00:09:11.680
Vi ses i del 2 hvor vi bruker kvadratformelen.