1
00:00:01,010 --> 00:00:04,520
Velkommen til presentasjonen av hvordan man bruker kvadratformelen.

2
00:00:05,335 --> 00:00:07,853
Kvadratformelen høres egentlig veldig komplisert ut.

3
00:00:07,853 --> 00:00:12,622
Og når du får se formelen vil du også kanskje si at ikke bare ser den komplisert ut,

4
00:00:12,622 --> 00:00:13,968
men den er også det.

5
00:00:13,968 --> 00:00:14,930
Men forhåpentligvis vil du oppleve i løpet av denne filmen

6
00:00:14,930 --> 00:00:17,365
at formelen egentlig ikke er vanskelig å bruke.

7
00:00:17,365 --> 00:00:19,763
I en annen film skal jeg vise deg hvordan

8
00:00:19,763 --> 00:00:21,300
man kommer fram til formelen.

9
00:00:21,300 --> 00:00:26,348
Du har allerede lært å faktorisere en andregradslikning.

10
00:00:26,579 --> 00:00:30,910
Du har lært at, la oss si, du har x i andre minus x

11
00:00:30,910 --> 00:00:41,186
minus 6, er lik 0.

12
00:00:41,248 --> 00:00:42,970
Hvis vi hadde denne likningen. x i andre minus x minus 6 er lik

13
00:00:42,970 --> 00:00:48,720
null, kan du faktorisere den og få x minus 3 og

14
00:00:48,720 --> 00:00:52,210
x pluss 2 er lik 0.

15
00:00:52,210 --> 00:00:54,955
Det betyr enten at x minus 3 er lik 0

16
00:00:54,955 --> 00:00:57,073
eller x pluss 2 er lik 0.

17
00:00:57,073 --> 00:01:04,466
x minus 3 er lik 0 eller x pluss 2 er lik 0.

18
00:01:04,574 --> 00:01:09,438
Svaret er at x er lik 3 eller minus 2.

19
00:01:10,054 --> 00:01:17,980
En grafisk fremstililng av dette ville være, hvis vi har

20
00:01:17,980 --> 00:01:26,150
Hvis vi har funksjonen f(x) er lik x i andre minus x minus 6.

21
00:01:26,150 --> 00:01:28,760
Denne aksen er f(x)-aksen.

22
00:01:28,760 --> 00:01:32,670
Du er kanskje mer vant med å kalle den y-aksen.

23
00:01:32,670 --> 00:01:34,780
Det betyr i grunn ingenting her.

24
00:01:34,780 --> 00:01:36,270
Og dette er x-aksen.

25
00:01:36,270 --> 00:01:40,430
Hvis vi skulle tegne denne likningen, x i andre minus x

26
00:01:40,430 --> 00:01:42,380
minus 6, ville den se slik ut.

27
00:01:42,380 --> 00:01:50,130
Litt som -- dette er f(x) er lik minus 6.

28
00:01:50,130 --> 00:01:54,869
Grafen vil omtrent se slik ut.

29
00:02:00,030 --> 00:02:03,150
Og nå går den gjennom -6 fordi når x er lik 0,

30
00:02:03,150 --> 00:02:05,110
er f(x) lik -6.

31
00:02:05,110 --> 00:02:07,800
Så da går den gjennom dette punktet.

32
00:02:07,800 --> 00:02:11,520
Og jeg vet at når f(x) er lik 0... f(x) er lik

33
00:02:11,520 --> 00:02:14,960
null langs x-aksen.

34
00:02:14,960 --> 00:02:16,600
Fordi dette er 1.

35
00:02:16,600 --> 00:02:17,870
Dette er 0.

36
00:02:17,870 --> 00:02:19,160
Dette er minus 1.

37
00:02:19,160 --> 00:02:21,510
Dette er hvor f(x) er lik null, langs

38
00:02:21,510 --> 00:02:23,420
x-aksen, ikke sant.

39
00:02:23,420 --> 00:02:29,210
Og vi vet at f(x) er lik 0 når x er lik 3

40
00:02:29,210 --> 00:02:32,330
og når x er lik -2.

41
00:02:32,330 --> 00:02:34,360
Det er det vi løste her.

42
00:02:34,360 --> 00:02:36,440
Da vi løste faktoriseringsoppgaver tidligere, skjønte vi

43
00:02:36,440 --> 00:02:38,940
kanskje ikke grafisk hva vi gjorde.

44
00:02:38,940 --> 00:02:42,070
Men hvis vi sa at f(x) er lik denne funksjonen,

45
00:02:42,070 --> 00:02:43,270
setter vi den egentlig lik 0.

46
00:02:43,270 --> 00:02:49,020
Vi spør altså når er denne funksjonen lik 0?

47
00:02:49,390 --> 00:02:51,720
Den er lik 0 i disse punktene, ikke sant?

48
00:02:51,720 --> 00:02:55,360
Fordi dette er hvor f(x) er lik 0.

49
00:02:55,360 --> 00:02:57,490
Da vi løste denne ved å

50
00:02:57,490 --> 00:03:02,924
faktorisere, fant vi x-verdiene som ga f(x) lik 0,

51
00:03:02,924 --> 00:03:05,345
som er disse x-verdiene.

52
00:03:05,422 --> 00:03:11,278
Disse punktene kalles også nullpunktene, eller røttene, til f(x).

53
00:03:15,056 --> 00:03:23,700
Hvis vi har f(x) lik x i andre

54
00:03:23,700 --> 00:03:29,550
pluss 4x pluss 4, og jeg spurte om nullpunktene eller

55
00:03:29,550 --> 00:03:31,770
røttene til f(x).

56
00:03:31,770 --> 00:03:33,970
Det er det samme som å spørre, hvor

57
00:03:33,970 --> 00:03:36,300
krysser f(x) x-aksen?

58
00:03:36,300 --> 00:03:38,210
Og den krysser x-aksen når f(x)

59
00:03:38,210 --> 00:03:39,440
er lik 0, ikke sant?

60
00:03:39,440 --> 00:03:42,120
La oss se på grafen jeg nettopp tegnet.

61
00:03:42,120 --> 00:03:45,720
Hvis f(x) er lik 0, kunne vi

62
00:03:45,720 --> 00:03:51,860
bare si, 0 er lik x i andre pluss 4x pluss 4.

63
00:03:51,860 --> 00:03:58,202
Vi kunne bare faktorisere det, det er x pluss 2 ganger x pluss 2.

64
00:03:58,202 --> 00:04:07,090
Og vi vet den er lik null ved x lik -2.

65
00:04:18,270 --> 00:04:22,380
Nå vet vi hvordan vi finner nullpunktene når

66
00:04:22,380 --> 00:04:24,560
likningen er lett å faktorisere.

67
00:04:24,560 --> 00:04:27,500
Men la oss se på en oppgave hvor likningen

68
00:04:27,500 --> 00:04:30,281
ikke er så lett å faktorisere.

69
00:04:32,681 --> 00:04:45,197
La oss si vi har f(x) er lik minus 10 x i andre minus 9x pluss 1.

70
00:04:47,026 --> 00:04:50,011
Vi ser at ved å dele på 10 vil vi få noen brøker her.

71
00:04:50,011 --> 00:04:53,130
Det er ikke lett å faktorisere denne likningen rett fram.

72
00:04:53,130 --> 00:04:57,537
Og det er det som kalles en kvadratisk likning, eller et andregradspolynom.

73
00:04:58,703 --> 00:05:00,954
Vi skal prøve å løse denne

74
00:05:00,954 --> 00:05:02,420
fordi vi vil finne når den er lik 0.

75
00:05:02,420 --> 00:05:07,130
Minus 10x i andre minus 9x pluss 1.

76
00:05:07,130 --> 00:05:10,967
Vi vil finne hvilke x-verdier som gjør at denne er lik null.

77
00:05:12,337 --> 00:05:14,638
Her kan vi bruke kvadratformelen (abc-formelen).

78
00:05:14,776 --> 00:05:17,563
Nå skal du se noe som er greit å kunne utenat.

79
00:05:19,215 --> 00:05:21,330
Kvadratlikningen sier at røttene til et kvadrat

80
00:05:21,330 --> 00:05:24,810
er lik -- og la oss si at andregradslikningen er

81
00:05:24,810 --> 00:05:31,900
a x i andre pluss b x pluss c er lik 0.

82
00:05:31,900 --> 00:05:35,790
Her er a lik minus 10

83
00:05:35,790 --> 00:05:39,940
b er -9 og c er 1.

84
00:05:39,940 --> 00:05:48,040
Formelen sier at x er lik minus b pluss minus

85
00:05:48,040 --> 00:05:58,060
kvadratroten av b i andre minus 4 ganger a ganger c.

86
00:05:58,060 --> 00:06:00,230
Delt på 2a.

87
00:06:00,230 --> 00:06:02,843
Det ser komplisert ut, men blir enklere jo mer du bruker den.

88
00:06:04,400 --> 00:06:07,720
Dette er lurt å kunne utenat.

89
00:06:07,720 --> 00:06:10,730
La oss bruke formelen på likningen

90
00:06:10,730 --> 00:06:12,670
vi nettopp skrev.

91
00:06:12,670 --> 00:06:15,260
A er bare koeffisienten til

92
00:06:15,260 --> 00:06:18,610
andregradsleddet.

93
00:06:18,610 --> 00:06:20,300
A er koeffisienten til andregradsleddet.

94
00:06:20,300 --> 00:06:23,570
b er koeffisienten til førstegradsleddet og c er en konstant.

95
00:06:23,570 --> 00:06:25,100
La oss bruke dette på likningen.

96
00:06:25,100 --> 00:06:28,988
Hva er b? b er minus 9

97
00:06:29,970 --> 00:06:33,980
b er minus 9, a er minus 10

98
00:06:33,980 --> 00:06:34,970
c er 1.

99
00:06:36,090 --> 00:06:42,350
Hvis b er minus 9

100
00:06:42,350 --> 00:06:51,214
Pluss minus roten av minus 9 i andre. Det er 81.

101
00:06:53,302 --> 00:06:57,371
Minus 4 ganger a

102
00:06:57,678 --> 00:06:59,760
a er -10

103
00:06:59,760 --> 00:07:03,240
-10 ganger c som er 1.

104
00:07:03,240 --> 00:07:05,110
Det er rotete, men du vil forhåpentligvis

105
00:07:05,110 --> 00:07:06,470
forstå det.

106
00:07:06,470 --> 00:07:09,560
Alt det over 2 ganger a.

107
00:07:09,560 --> 00:07:14,050
a er -10, så 2 ganger a er -20.

108
00:07:14,990 --> 00:07:19,410
Minus minus 9 er 9

109
00:07:19,410 --> 00:07:26,460
Pluss minus kvadratroten av 81.

110
00:07:26,460 --> 00:07:30,660
Vi har minus 4 ganger minus 10

111
00:07:30,660 --> 00:07:35,270
Dette er a minus 10 ganger 1.

112
00:07:35,270 --> 00:07:39,410
Så minus 4 ganger minus 10 er 40

113
00:07:41,040 --> 00:07:46,070
Så har vi alt det over minus 20.

114
00:07:46,070 --> 00:07:48,300
81 pluss 40 er 121.

115
00:07:48,300 --> 00:07:52,330
Så dette er 9 pluss minus kvadratroten

116
00:07:52,330 --> 00:07:58,290
av 121 over minus 20

117
00:07:58,290 --> 00:08:01,620
Kvadratroten av 121 er 11.

118
00:08:03,170 --> 00:08:06,184
Du mister ikke tråden nå?

119
00:08:06,184 --> 00:08:13,720
Dette er 9 pluss minus 11, over minus 20

120
00:08:13,720 --> 00:08:19,090
Hvis vi sier 9 pluss 11 over minus 20, så har vi

121
00:08:19,090 --> 00:08:22,540
9 pluss 11 er 20, så dette er 20 over minus 20.

122
00:08:22,540 --> 00:08:23,730
Det er lik minus 1.

123
00:08:23,730 --> 00:08:24,900
Det er en av røttene.

124
00:08:24,900 --> 00:08:28,260
Dette er 9 pluss -- fordi dette er pluss ELLER minus

125
00:08:28,260 --> 00:08:33,790
Den andre roten vil være 9 minus 11 over minus 20.

126
00:08:33,790 --> 00:08:37,720
Det er lik minus 2 over minus 20.

127
00:08:37,720 --> 00:08:40,700
Som er lik 1 over 10.

128
00:08:40,700 --> 00:08:42,690
Det er den andre roten.

129
00:08:42,690 --> 00:08:48,950
Hvis vi skulle tegne grafen til denne funksjonen,

130
00:08:48,950 --> 00:08:52,640
ville vi se at den krysser x-aksen.

131
00:08:52,640 --> 00:08:59,232
Eller f(x) er lik null hvor x er lik minus 1

132
00:08:59,570 --> 00:09:01,690
og x er lik 1/10.

133
00:09:02,136 --> 00:09:05,218
Jeg skal ta flere eksempler i del 2 fordi jeg

134
00:09:05,357 --> 00:09:07,669
tror jeg har forvirret deg med denne.

135
00:09:08,120 --> 00:09:11,680
Vi ses i del 2 hvor vi bruker kvadratformelen.