-
Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что
-
мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии.
-
Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников.
-
Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают
-
только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти
-
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника,
-
Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках.
-
Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7.
-
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.
-
И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем...
-
давайте назовём гипотенузу h.
-
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем
-
из теоремы Пифагора...
-
что квадрат гипотенузы равен
-
сумме квадратов катетов,
-
h² = 7² + 4²,
-
и это равно 49 плюс 16.
-
Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65…
-
То есть эта h²...
-
давайте я запишу… h²…
-
это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65.
-
Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -
-
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь
-
Мы никак не можем это упростить. Это то же самое,
-
что и 13 умножить на 5; эти числа не являются
-
точными квадратами, да и к тому же являются
-
это упростить.
-
Это равно √65.
-
вот этого верхнего угла, назовём его θ.
-
Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит
-
записать… по крайней мере, мне помогает,
-
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.
-
SOH CAH TOA.
-
У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии…
-
А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю.
-
В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)...
-
Но это очень полезный приём для запоминания…
-
и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла.
-
SOH CAH TOA. Итак, CAH.
-
CAH говорит нам о том, как найти косинус.
-
CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это
-
отношение прилежащего катета к гипотенузе.
-
Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному
-
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?
-
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.
-
-
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая
-
прилежит к этому углу, и не является гипотенузой -
-
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…
-
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.
-
Это 4 разделить на гипотенузу.
-
Поэтому это равно 4 разделить на √65.
-
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно
-
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.
-
И если бы вы хотели записать это без иррационального
-
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель
-
на √65.
-
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,
-
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от
-
иррациональности в знаменателе.
-
Числитель становится равен 4√65,
-
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.
-
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.
-
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.
-
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле
-
очень много, но они все выведены из основных
-
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.
-
Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус.
-
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
-
Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
-
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?
-
Он находится напротив стороны 7.
-
Так, противолежащий катет равен 7.
-
Это противолежащий катет.
-
И гипотенуза равна √65.
-
И опять же, если бы мы хотели избавиться от
-
это на √65, деленный на √65.
-
-
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.
-
Теперь давайте найдём тангенс.
-
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…
-
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.
-
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.
-
Она говорит нам, что тангенс равен отношению
-
противолежащего катета к прилежащему.
-
Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий.
-
-
Какой катет является противолежащим к этому углу?
-
Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу
7 -
-
лежит напротив 7.
-
Поэтому это 7 разделить на...
-
Это катет длиной 4 - прилежащий.
-
Прилежащий катет - это 4.
-
Поэтому это 7 разделить на 4.
-
Готово!
-
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.
-
Давайте сделаем ещё один пример.
-
Более конкретный пример. До сих пор мы говорили:
Чему равен tan x? Чему равен tan θ?
-
Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем...
-
И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.
-
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...
-
Сейчас мы имеем дело только с
-
Скажем, длина гипотенузы равна 4.
-
Скажем, что длина вот этой стороны равна 2.
-
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.
-
Мы можем проверить, что это подходит.
-
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу.
-
(2√3)² + 2² = равно чему?
-
Это 2…
-
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.
-
А 16 - это действительно 4².
-
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.
-
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с
углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,
-
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это
-
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.
-
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.
-
Этот угол - это наш угол в 30°.
-
И этот угол наверху - это угол в 60°.
-
-
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что
-
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
-
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на
-
другую сторону, не гипотенузу.
-
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,
-
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.
-
Если бы я у вас спросил,
-
Чему равен sin 30°?
-
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°
-
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол
30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.
-
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…
-
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный
-
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.
-
Давайте я запишу это ещё раз. SOH
-
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
-
Sin 30° - это противолежащий катет…
-
это противолежащий катет, который равен 2,
-
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.
-
Это 2/4, или 1/2.
-
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.
-
Теперь чему равен косинус,
-
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:
-
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это
прилежащий катет, деленный на гипотенузу.
-
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,
-
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.
-
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.
-
разделить на гипотенузу,
-
Или если мы упростим это, разделив числитель
и знаменатель на 2,
-
получится √3/2.
-
Наконец, давайте найдем тангенс.
-
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.
-
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.
-
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им.
Противолежащий - это 2.
-
Тангенс 30°..
-
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.
-
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.
-
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.
-
Итак, 2√3.
-
Значит, это равно...
-
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.
-
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..
-
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.
-
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.
-
Мы избавились от иррационального знаменателя.
-
Хорошо.
-
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы
найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,
-
так как мы его уже нарисовали.
-
-
Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать.
-
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA.
-
Для угла в 60° какой катет является противолежащим?
-
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.
-
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,
-
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…
-
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4.
-
4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2.
-
Чему равен cos 60°?
-
cos 60°…
-
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
-
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.
-
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.
-
Т. е. это равно 1/2.
-
И, наконец...
-
Чему равен тангенс?
-
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
-
Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°.
-
2√3,
-
а прилежащий катет равен 2.
-
-
это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.
-
2√3 разделить на 2, что просто равно √3.
-
И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны.
-
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.
-
А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике,
-
Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим
-
вам возможность попрактиковаться в следующих
уроках.
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
-
Not Synced
CAH
-
Not Synced
TOA
-
Not Synced
Давайте найдем значения тригонометрических функций
-
Not Synced
Какой катет является прилежащим?
-
Not Synced
Катет, прилежащий к углу в 60° -
-
Not Synced
Мы смотрим напротив… Куда угол раскрывается.
-
Not Synced
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65.
-
Not Synced
Синус 30°- это косинус 60°.
-
Not Synced
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)
-
Not Synced
Тангенс 30°...
-
Not Synced
Чему равен тангенс 60°?
-
Not Synced
Это будет равно 4 • 3 + 4.
-
Not Synced
или кто-либо ещё спросил бы у вас:
-
Not Synced
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить
-
Not Synced
квадратные корни обеих сторон, √65.
-
Not Synced
на гипотенузу.
-
Not Synced
простыми числами, поэтому мы больше не можем
-
Not Synced
прямоугольными треугольниками.
-
Not Synced
т. е. разделить на 4.
-
Not Synced
то станет понятно, почему.
-
Not Synced
то увидим, что прямоугольные треугольники нам все равно тогда нужно будет создавать.
-
Not Synced
хотя я только что это сделал…
-
Not Synced
чему равен cos 30°?
Volunteer