CAH
TOA
Давайте найдем значения тригонометрических функций
Какой катет является прилежащим?
Катет, прилежащий к углу в 60° -
Мы смотрим напротив… Куда угол раскрывается.
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65.
Синус 30°- это косинус 60°.
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)
Тангенс 30°...
Чему равен тангенс 60°?
Это будет равно 4 • 3 + 4.
или кто-либо ещё спросил бы у вас:
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить
квадратные корни обеих сторон, √65.
на гипотенузу.
простыми числами, поэтому мы больше не можем
прямоугольными треугольниками.
т. е. разделить на 4.
то станет понятно, почему.
то увидим, что прямоугольные треугольники нам все равно тогда нужно будет создавать.
хотя я только что это сделал…
чему равен cos 30°?
Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что
мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии.
Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников.
Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают
только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника,
Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках.
Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7.
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.
И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем...
давайте назовём гипотенузу h.
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем
из теоремы Пифагора...
что квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов,
h² = 7² + 4²,
и это равно 49 плюс 16.
Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65…
То есть эта h²...
давайте я запишу… h²…
это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65.
Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь
Мы никак не можем это упростить. Это то же самое,
что и 13 умножить на 5; эти числа не являются
точными квадратами, да и к тому же являются
это упростить.
Это равно √65.
вот этого верхнего угла, назовём его θ.
Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит
записать… по крайней мере, мне помогает,
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.
SOH CAH TOA.
У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии…
А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю.
В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)...
Но это очень полезный приём для запоминания…
и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла.
SOH CAH TOA. Итак, CAH.
CAH говорит нам о том, как найти косинус.
CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это
отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая
прилежит к этому углу, и не является гипотенузой -
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.
Это 4 разделить на гипотенузу.
Поэтому это равно 4 разделить на √65.
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.
И если бы вы хотели записать это без иррационального
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель
на √65.
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от
иррациональности в знаменателе.
Числитель становится равен 4√65,
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле
очень много, но они все выведены из основных
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.
Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус.
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?
Он находится напротив стороны 7.
Так, противолежащий катет равен 7.
Это противолежащий катет.
И гипотенуза равна √65.
И опять же, если бы мы хотели избавиться от
это на √65, деленный на √65.
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.
Теперь давайте найдём тангенс.
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.
Она говорит нам, что тангенс равен отношению
противолежащего катета к прилежащему.
Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий.
Какой катет является противолежащим к этому углу?
Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу 7 -
лежит напротив 7.
Поэтому это 7 разделить на...
Это катет длиной 4 - прилежащий.
Прилежащий катет - это 4.
Поэтому это 7 разделить на 4.
Готово!
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.
Давайте сделаем ещё один пример.
Более конкретный пример. До сих пор мы говорили: Чему равен tan x? Чему равен tan θ?
Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем...
И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...
Сейчас мы имеем дело только с
Скажем, длина гипотенузы равна 4.
Скажем, что длина вот этой стороны равна 2.
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.
Мы можем проверить, что это подходит.
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу.
(2√3)² + 2² = равно чему?
Это 2…
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.
А 16 - это действительно 4².
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.
Этот угол - это наш угол в 30°.
И этот угол наверху - это угол в 60°.
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на
другую сторону, не гипотенузу.
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.
Если бы я у вас спросил,
Чему равен sin 30°?
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.
Давайте я запишу это ещё раз. SOH
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
Sin 30° - это противолежащий катет…
это противолежащий катет, который равен 2,
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.
Это 2/4, или 1/2.
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.
Теперь чему равен косинус,
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это прилежащий катет, деленный на гипотенузу.
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.
разделить на гипотенузу,
Или если мы упростим это, разделив числитель и знаменатель на 2,
получится √3/2.
Наконец, давайте найдем тангенс.
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. Противолежащий - это 2.
Тангенс 30°..
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.
Итак, 2√3.
Значит, это равно...
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.
Мы избавились от иррационального знаменателя.
Хорошо.
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,
так как мы его уже нарисовали.
Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать.
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA.
Для угла в 60° какой катет является противолежащим?
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4.
4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2.
Чему равен cos 60°?
cos 60°…
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.
Т. е. это равно 1/2.
И, наконец...
Чему равен тангенс?
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°.
2√3,
а прилежащий катет равен 2.
это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.
2√3 разделить на 2, что просто равно √3.
И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны.
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.
А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике,
Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим
вам возможность попрактиковаться в следующих уроках.