WEBVTT 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 CAH 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 TOA 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Давайте найдем значения тригонометрических функций 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Какой катет является прилежащим? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Катет, прилежащий к углу в 60° - 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Мы смотрим напротив… Куда угол раскрывается. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Синус 30°- это косинус 60°. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет) 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Тангенс 30°... 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Чему равен тангенс 60°? 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 Это будет равно 4 • 3 + 4. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 или кто-либо ещё спросил бы у вас: 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 квадратные корни обеих сторон, √65. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 на гипотенузу. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 простыми числами, поэтому мы больше не можем 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 прямоугольными треугольниками. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 т. е. разделить на 4. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 то станет понятно, почему. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 то увидим, что прямоугольные треугольники нам все равно тогда нужно будет создавать. 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 хотя я только что это сделал… 99:59:59.999 --> 99:59:59.999 чему равен cos 30°? 00:00:00.800 --> 00:00:03.017 Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что 00:00:03.017 --> 00:00:07.036 мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии. 00:00:07.036 --> 00:00:11.447 Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников. 00:00:11.447 --> 00:00:13.668 Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают 00:00:15.186 --> 00:00:18.042 только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти 00:00:18.042 --> 00:00:23.475 тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, 00:00:25.704 --> 00:00:27.867 Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках. 00:00:27.867 --> 00:00:31.344 Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7. 00:00:33.897 --> 00:00:37.757 И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4. 00:00:39.452 --> 00:00:42.516 И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем... 00:00:42.516 --> 00:00:45.720 давайте назовём гипотенузу h. 00:00:45.720 --> 00:00:52.200 Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем 00:00:52.200 --> 00:00:55.194 из теоремы Пифагора... 00:00:55.194 --> 00:00:57.469 что квадрат гипотенузы равен 00:00:57.469 --> 00:01:01.974 сумме квадратов катетов, 00:01:01.974 --> 00:01:04.533 h² = 7² + 4², 00:01:04.533 --> 00:01:09.776 и это равно 49 плюс 16. 00:01:11.800 --> 00:01:18.553 Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65… 00:01:18.553 --> 00:01:21.107 То есть эта h²... 00:01:21.107 --> 00:01:25.705 давайте я запишу… h²… 00:01:25.705 --> 00:01:28.818 это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65. 00:01:28.818 --> 00:01:33.533 Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 - 00:01:33.533 --> 00:01:37.600 это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь 00:01:39.200 --> 00:01:42.933 Мы никак не можем это упростить. Это то же самое, 00:01:42.933 --> 00:01:44.699 что и 13 умножить на 5; эти числа не являются 00:01:44.699 --> 00:01:47.463 точными квадратами, да и к тому же являются 00:01:50.388 --> 00:01:51.804 это упростить. 00:01:51.804 --> 00:01:55.467 Это равно √65. 00:01:55.467 --> 00:02:02.114 вот этого верхнего угла, назовём его θ. 00:02:05.457 --> 00:02:06.533 Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит 00:02:06.533 --> 00:02:09.467 записать… по крайней мере, мне помогает, 00:02:09.467 --> 00:02:11.714 если перед глазами записано - SOH CAH TOA. 00:02:11.714 --> 00:02:13.120 SOH CAH TOA. 00:02:13.120 --> 00:02:16.464 У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии… 00:02:18.786 --> 00:02:21.293 А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю. 00:02:21.293 --> 00:02:23.867 В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)... 00:02:26.123 --> 00:02:27.564 Но это очень полезный приём для запоминания… 00:02:27.564 --> 00:02:31.046 и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла. 00:02:34.436 --> 00:02:37.965 SOH CAH TOA. Итак, CAH. 00:02:37.965 --> 00:02:40.800 CAH говорит нам о том, как найти косинус. 00:02:40.800 --> 00:02:43.027 CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это 00:02:43.027 --> 00:02:46.371 отношение прилежащего катета к гипотенузе. 00:02:46.371 --> 00:02:51.433 Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному 00:02:51.433 --> 00:02:55.798 Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ? 00:02:55.798 --> 00:02:57.702 Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона. 00:02:57.702 --> 00:03:00.767 00:03:00.767 --> 00:03:04.761 Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая 00:03:04.761 --> 00:03:07.133 прилежит к этому углу, и не является гипотенузой - 00:03:07.133 --> 00:03:10.473 это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь… 00:03:10.473 --> 00:03:14.374 находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол. 00:03:15.754 --> 00:03:17.133 Это 4 разделить на гипотенузу. 00:03:17.133 --> 00:03:21.108 Поэтому это равно 4 разделить на √65. 00:03:25.380 --> 00:03:29.142 Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно 00:03:29.142 --> 00:03:32.625 иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65. 00:03:35.227 --> 00:03:39.359 И если бы вы хотели записать это без иррационального 00:03:39.359 --> 00:03:41.634 числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель 00:03:41.634 --> 00:03:43.306 на √65. 00:03:43.306 --> 00:03:45.094 Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя, 00:03:48.122 --> 00:03:49.111 т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от 00:03:52.780 --> 00:03:54.127 иррациональности в знаменателе. 00:03:54.127 --> 00:03:57.800 Числитель становится равен 4√65, 00:03:57.800 --> 00:04:03.461 а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65. 00:04:03.461 --> 00:04:07.130 Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе. 00:04:07.130 --> 00:04:09.777 Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции. 00:04:09.777 --> 00:04:12.401 По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле 00:04:14.399 --> 00:04:15.443 очень много, но они все выведены из основных 00:04:15.443 --> 00:04:19.733 функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ. 00:04:19.733 --> 00:04:25.474 Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус. 00:04:25.474 --> 00:04:29.200 Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 00:04:29.200 --> 00:04:31.372 Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу. 00:04:31.372 --> 00:04:34.390 Итак, для этого угла какой катет является противолежащим? 00:04:34.390 --> 00:04:38.430 Он находится напротив стороны 7. 00:04:38.430 --> 00:04:41.200 Так, противолежащий катет равен 7. 00:04:41.200 --> 00:04:44.468 Это противолежащий катет. 00:04:44.468 --> 00:04:47.800 И гипотенуза равна √65. 00:04:47.800 --> 00:04:51.109 И опять же, если бы мы хотели избавиться от 00:04:52.966 --> 00:04:55.133 это на √65, деленный на √65. 00:04:55.133 --> 00:04:59.933 00:04:59.933 --> 00:05:04.298 В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65. 00:05:07.966 --> 00:05:10.474 Теперь давайте найдём тангенс. 00:05:10.474 --> 00:05:12.796 Если бы я спросил вас о тангенсе θ… 00:05:14.793 --> 00:05:17.394 Опять же обратитесь к SOH CAH TOA. 00:05:20.784 --> 00:05:23.106 Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс. 00:05:23.106 --> 00:05:24.800 Она говорит нам, что тангенс равен отношению 00:05:24.800 --> 00:05:27.053 противолежащего катета к прилежащему. 00:05:27.053 --> 00:05:29.867 Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий. 00:05:33.137 --> 00:05:35.867 00:05:35.867 --> 00:05:38.709 Какой катет является противолежащим к этому углу? 00:05:38.709 --> 00:05:41.124 Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу 7 - 00:05:41.124 --> 00:05:42.533 лежит напротив 7. 00:05:42.533 --> 00:05:46.372 Поэтому это 7 разделить на... 00:05:46.372 --> 00:05:48.200 Это катет длиной 4 - прилежащий. 00:05:48.200 --> 00:05:51.295 Прилежащий катет - это 4. 00:05:51.295 --> 00:05:54.330 Поэтому это 7 разделить на 4. 00:05:54.330 --> 00:05:56.133 Готово! 00:05:56.133 --> 00:05:59.375 Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ. 00:06:00.416 --> 00:06:02.719 Давайте сделаем ещё один пример. 00:06:02.719 --> 00:06:06.434 Более конкретный пример. До сих пор мы говорили: Чему равен tan x? Чему равен tan θ? 00:06:06.434 --> 00:06:08.431 Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем... 00:06:08.431 --> 00:06:10.799 И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник. 00:06:10.799 --> 00:06:13.772 Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь... 00:06:13.772 --> 00:06:17.533 Сейчас мы имеем дело только с 00:06:17.533 --> 00:06:21.109 Скажем, длина гипотенузы равна 4. 00:06:21.109 --> 00:06:26.357 Скажем, что длина вот этой стороны равна 2. 00:06:26.357 --> 00:06:31.790 И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3. 00:06:31.790 --> 00:06:33.462 Мы можем проверить, что это подходит. 00:06:33.462 --> 00:06:36.467 Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу. 00:06:36.467 --> 00:06:38.803 (2√3)² + 2² = равно чему? 00:06:38.803 --> 00:06:42.471 Это 2… 00:06:49.763 --> 00:06:53.478 И это будет равно 12 + 4, что равно 16. 00:06:53.478 --> 00:06:57.800 А 16 - это действительно 4². 00:06:57.800 --> 00:07:01.790 Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается. 00:07:01.790 --> 00:07:06.133 И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно, 00:07:07.781 --> 00:07:11.450 прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это 00:07:11.450 --> 00:07:13.133 треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол. 00:07:13.133 --> 00:07:15.867 Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник. 00:07:15.867 --> 00:07:20.366 Этот угол - это наш угол в 30°. 00:07:20.366 --> 00:07:23.385 И этот угол наверху - это угол в 60°. 00:07:23.385 --> 00:07:26.125 00:07:26.125 --> 00:07:27.797 И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что 00:07:27.797 --> 00:07:31.791 катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. 00:07:31.791 --> 00:07:36.800 А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на 00:07:36.800 --> 00:07:38.432 другую сторону, не гипотенузу. 00:07:38.432 --> 00:07:40.159 Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов, 00:07:43.415 --> 00:07:46.933 Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов. 00:07:46.933 --> 00:07:51.295 Если бы я у вас спросил, 00:07:51.295 --> 00:07:54.639 Чему равен sin 30°? 00:07:54.639 --> 00:07:58.447 И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30° 00:07:58.447 --> 00:08:01.698 подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником. 00:08:01.698 --> 00:08:05.135 В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°… 00:08:05.135 --> 00:08:09.035 Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный 00:08:09.035 --> 00:08:12.133 треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA. 00:08:12.133 --> 00:08:17.116 Давайте я запишу это ещё раз. SOH 00:08:17.116 --> 00:08:22.782 SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. 00:08:22.782 --> 00:08:26.358 Sin 30° - это противолежащий катет… 00:08:26.358 --> 00:08:30.723 это противолежащий катет, который равен 2, 00:08:30.723 --> 00:08:32.395 деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4. 00:08:32.395 --> 00:08:35.646 Это 2/4, или 1/2. 00:08:35.646 --> 00:08:40.800 Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2. 00:08:40.800 --> 00:08:44.144 Теперь чему равен косинус, 00:08:46.867 --> 00:08:50.135 Опять же вернитесь к SOH CAH TOA: 00:08:50.135 --> 00:08:52.643 CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это прилежащий катет, деленный на гипотенузу. 00:08:56.033 --> 00:08:59.051 Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона, 00:08:59.051 --> 00:09:01.791 прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза. 00:09:05.467 --> 00:09:09.129 Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе. 00:09:09.129 --> 00:09:13.633 разделить на гипотенузу, 00:09:13.633 --> 00:09:16.977 Или если мы упростим это, разделив числитель и знаменатель на 2, 00:09:16.977 --> 00:09:20.646 получится √3/2. 00:09:20.646 --> 00:09:22.782 Наконец, давайте найдем тангенс. 00:09:27.800 --> 00:09:30.305 Мы возвращаемся к SOH CAH TOA. 00:09:31.699 --> 00:09:34.800 SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему. 00:09:34.800 --> 00:09:38.804 Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. Противолежащий - это 2. 00:09:38.804 --> 00:09:42.101 Тангенс 30°.. 00:09:42.101 --> 00:09:46.200 Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3. 00:09:46.200 --> 00:09:48.045 Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет. 00:09:48.045 --> 00:09:49.439 Прилежащий - значит, тот, который находится рядом. 00:09:49.439 --> 00:09:52.039 Итак, 2√3. 00:09:52.039 --> 00:09:54.454 Значит, это равно... 00:09:54.454 --> 00:09:56.776 Двойки сокращаются… 1 разделить на √3. 00:09:56.776 --> 00:10:00.723 Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3.. 00:10:00.723 --> 00:10:05.367 Т.е. умножить на √3, деленный на √3. 00:10:05.367 --> 00:10:08.804 Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3. 00:10:12.473 --> 00:10:15.800 Мы избавились от иррационального знаменателя. 00:10:15.800 --> 00:10:17.442 Хорошо. 00:10:17.442 --> 00:10:20.693 Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы найти тригонометрические соотношения для угла в 60°, 00:10:20.693 --> 00:10:22.457 так как мы его уже нарисовали. 00:10:22.457 --> 00:10:28.328 00:10:28.328 --> 00:10:30.166 Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать. 00:10:30.166 --> 00:10:34.253 Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. 00:10:34.253 --> 00:10:36.668 Для угла в 60° какой катет является противолежащим? 00:10:36.668 --> 00:10:39.315 Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3. 00:10:42.566 --> 00:10:45.306 И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения, 00:10:45.306 --> 00:10:47.999 это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать… 00:10:47.999 --> 00:10:50.507 Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4. 00:10:50.507 --> 00:10:54.315 4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2. 00:10:54.315 --> 00:10:59.981 Чему равен cos 60°? 00:10:59.981 --> 00:11:05.507 cos 60°… 00:11:05.507 --> 00:11:10.244 Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 00:11:10.244 --> 00:11:13.667 Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°. 00:11:13.667 --> 00:11:17.907 Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4. 00:11:17.907 --> 00:11:20.972 Т. е. это равно 1/2. 00:11:20.972 --> 00:11:24.176 И, наконец... 00:11:24.176 --> 00:11:27.984 Чему равен тангенс? 00:11:27.984 --> 00:11:32.349 Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. 00:11:32.349 --> 00:11:34.671 Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°. 00:11:34.671 --> 00:11:36.400 2√3, 00:11:36.400 --> 00:11:38.000 а прилежащий катет равен 2. 00:11:39.919 --> 00:11:42.733 00:11:42.733 --> 00:11:44.800 это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий. 00:11:44.800 --> 00:11:48.650 2√3 разделить на 2, что просто равно √3. 00:11:48.650 --> 00:11:52.644 И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны. 00:11:52.644 --> 00:11:54.641 Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°. 00:12:01.333 --> 00:12:03.966 А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике, 00:12:05.635 --> 00:12:07.105 Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим 00:12:07.105 --> 00:12:08.461 вам возможность попрактиковаться в следующих уроках.