9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 9:59:59.000,9:59:59.000 CAH 9:59:59.000,9:59:59.000 TOA 9:59:59.000,9:59:59.000 Давайте найдем значения тригонометрических функций 9:59:59.000,9:59:59.000 Какой катет является прилежащим? 9:59:59.000,9:59:59.000 Катет, прилежащий к углу в 60° - 9:59:59.000,9:59:59.000 Мы смотрим напротив… Куда угол раскрывается. 9:59:59.000,9:59:59.000 Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. 9:59:59.000,9:59:59.000 Синус 30°- это косинус 60°. 9:59:59.000,9:59:59.000 Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет) 9:59:59.000,9:59:59.000 Тангенс 30°... 9:59:59.000,9:59:59.000 Чему равен тангенс 60°? 9:59:59.000,9:59:59.000 Это будет равно 4 • 3 + 4. 9:59:59.000,9:59:59.000 или кто-либо ещё спросил бы у вас: 9:59:59.000,9:59:59.000 иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить 9:59:59.000,9:59:59.000 квадратные корни обеих сторон, √65. 9:59:59.000,9:59:59.000 на гипотенузу. 9:59:59.000,9:59:59.000 простыми числами, поэтому мы больше не можем 9:59:59.000,9:59:59.000 прямоугольными треугольниками. 9:59:59.000,9:59:59.000 т. е. разделить на 4. 9:59:59.000,9:59:59.000 то станет понятно, почему. 9:59:59.000,9:59:59.000 то увидим, что прямоугольные треугольники нам все равно тогда нужно будет создавать. 9:59:59.000,9:59:59.000 хотя я только что это сделал… 9:59:59.000,9:59:59.000 чему равен cos 30°? 0:00:00.800,0:00:03.017 Давайте сделаем ещё кучу примеров, чтобы убедиться, что 0:00:03.017,0:00:07.036 мы хорошо попрактикуемся в тригонометрии. 0:00:07.036,0:00:11.447 Поэтому давайте построим ещё несколько прямоугольных треугольников. 0:00:11.447,0:00:13.668 Я хочу, чтобы вы поняли, что мои определения работают 0:00:15.186,0:00:18.042 только в прямоугольных треугольниках. Если мы хотим найти 0:00:18.042,0:00:23.475 тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, 0:00:25.704,0:00:27.867 Но давайте пока сфокусируемся на прямоугольных треугольниках. 0:00:27.867,0:00:31.344 Допустим, у меня есть треугольник, для которого длина вот этой стороны равна 7. 0:00:33.897,0:00:37.757 И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4. 0:00:39.452,0:00:42.516 И давайте выясним, чему будет равна гипотенуза. Мы знаем... 0:00:42.516,0:00:45.720 давайте назовём гипотенузу h. 0:00:45.720,0:00:52.200 Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы это знаем 0:00:52.200,0:00:55.194 из теоремы Пифагора... 0:00:55.194,0:00:57.469 что квадрат гипотенузы равен 0:00:57.469,0:01:01.974 сумме квадратов катетов, 0:01:01.974,0:01:04.533 h² = 7² + 4², 0:01:04.533,0:01:09.776 и это равно 49 плюс 16. 0:01:11.800,0:01:18.553 Посмотрим... 49 + 10 = 59, и 59 + 6 = 65... 65… 0:01:18.553,0:01:21.107 То есть эта h²... 0:01:21.107,0:01:25.705 давайте я запишу… h²… 0:01:25.705,0:01:28.818 это другой оттенок жёлтого. У нас есть h², равная 65. 0:01:28.818,0:01:33.533 Правильно ли я посчитал? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 - 0:01:33.533,0:01:37.600 это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если извлечь 0:01:39.200,0:01:42.933 Мы никак не можем это упростить. Это то же самое, 0:01:42.933,0:01:44.699 что и 13 умножить на 5; эти числа не являются 0:01:44.699,0:01:47.463 точными квадратами, да и к тому же являются 0:01:50.388,0:01:51.804 это упростить. 0:01:51.804,0:01:55.467 Это равно √65. 0:01:55.467,0:02:02.114 вот этого верхнего угла, назовём его θ. 0:02:05.457,0:02:06.533 Итак, как бы вы это не делали, вам всегда стоит 0:02:06.533,0:02:09.467 записать… по крайней мере, мне помогает, 0:02:09.467,0:02:11.714 если перед глазами записано - SOH CAH TOA. 0:02:11.714,0:02:13.120 SOH CAH TOA. 0:02:13.120,0:02:16.464 У меня сохранились смутные воспоминания о моём учителе по тригонометрии… 0:02:18.786,0:02:21.293 А может, я прочитал это в какой-то книге. Даже не знаю. 0:02:21.293,0:02:23.867 В книге о какой-нибудь индийской принцессе по имени Sohcahtoa (SOH CAH TOA)... 0:02:26.123,0:02:27.564 Но это очень полезный приём для запоминания… 0:02:27.564,0:02:31.046 и мы можем использовать SOH CAH TOA... давайте найдём... Допустим, мы хотим найти косинус нашего угла. 0:02:34.436,0:02:37.965 SOH CAH TOA. Итак, CAH. 0:02:37.965,0:02:40.800 CAH говорит нам о том, как найти косинус. 0:02:40.800,0:02:43.027 CAH-часть говорит нам о том, что косинус - это 0:02:43.027,0:02:46.371 отношение прилежащего катета к гипотенузе. 0:02:46.371,0:02:51.433 Т.е. косинус равен прилежащему катету, деленному 0:02:51.433,0:02:55.798 Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ? 0:02:55.798,0:02:57.702 Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона. 0:02:57.702,0:03:00.767 0:03:00.767,0:03:04.761 Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая 0:03:04.761,0:03:07.133 прилежит к этому углу, и не является гипотенузой - 0:03:07.133,0:03:10.473 это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь… 0:03:10.473,0:03:14.374 находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол. 0:03:15.754,0:03:17.133 Это 4 разделить на гипотенузу. 0:03:17.133,0:03:21.108 Поэтому это равно 4 разделить на √65. 0:03:25.380,0:03:29.142 Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно 0:03:29.142,0:03:32.625 иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65. 0:03:35.227,0:03:39.359 И если бы вы хотели записать это без иррационального 0:03:39.359,0:03:41.634 числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель 0:03:41.634,0:03:43.306 на √65. 0:03:43.306,0:03:45.094 Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя, 0:03:48.122,0:03:49.111 т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от 0:03:52.780,0:03:54.127 иррациональности в знаменателе. 0:03:54.127,0:03:57.800 Числитель становится равен 4√65, 0:03:57.800,0:04:03.461 а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65. 0:04:03.461,0:04:07.130 Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе. 0:04:07.130,0:04:09.777 Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции. 0:04:09.777,0:04:12.401 По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле 0:04:14.399,0:04:15.443 очень много, но они все выведены из основных 0:04:15.443,0:04:19.733 функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ. 0:04:19.733,0:04:25.474 Опять же, обратитесь к SOH CAH TOA. SOH говорит нам о том, как найти синус. 0:04:25.474,0:04:29.200 Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 0:04:29.200,0:04:31.372 Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу. 0:04:31.372,0:04:34.390 Итак, для этого угла какой катет является противолежащим? 0:04:34.390,0:04:38.430 Он находится напротив стороны 7. 0:04:38.430,0:04:41.200 Так, противолежащий катет равен 7. 0:04:41.200,0:04:44.468 Это противолежащий катет. 0:04:44.468,0:04:47.800 И гипотенуза равна √65. 0:04:47.800,0:04:51.109 И опять же, если бы мы хотели избавиться от 0:04:52.966,0:04:55.133 это на √65, деленный на √65. 0:04:55.133,0:04:59.933 0:04:59.933,0:05:04.298 В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65. 0:05:07.966,0:05:10.474 Теперь давайте найдём тангенс. 0:05:10.474,0:05:12.796 Если бы я спросил вас о тангенсе θ… 0:05:14.793,0:05:17.394 Опять же обратитесь к SOH CAH TOA. 0:05:20.784,0:05:23.106 Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс. 0:05:23.106,0:05:24.800 Она говорит нам, что тангенс равен отношению 0:05:24.800,0:05:27.053 противолежащего катета к прилежащему. 0:05:27.053,0:05:29.867 Т.е. противолежащему катету, деленному на прилежащий. 0:05:33.137,0:05:35.867 0:05:35.867,0:05:38.709 Какой катет является противолежащим к этому углу? 0:05:38.709,0:05:41.124 Мы уже это выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу[br]7 - 0:05:41.124,0:05:42.533 лежит напротив 7. 0:05:42.533,0:05:46.372 Поэтому это 7 разделить на... 0:05:46.372,0:05:48.200 Это катет длиной 4 - прилежащий. 0:05:48.200,0:05:51.295 Прилежащий катет - это 4. 0:05:51.295,0:05:54.330 Поэтому это 7 разделить на 4. 0:05:54.330,0:05:56.133 Готово! 0:05:56.133,0:05:59.375 Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ. 0:06:00.416,0:06:02.719 Давайте сделаем ещё один пример. 0:06:02.719,0:06:06.434 Более конкретный пример. До сих пор мы говорили:[br]Чему равен tan x? Чему равен tan θ? 0:06:06.434,0:06:08.431 Давайте сделаем более конкретный пример. Скажем... 0:06:08.431,0:06:10.799 И давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник. 0:06:10.799,0:06:13.772 Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь... 0:06:13.772,0:06:17.533 Сейчас мы имеем дело только с 0:06:17.533,0:06:21.109 Скажем, длина гипотенузы равна 4. 0:06:21.109,0:06:26.357 Скажем, что длина вот этой стороны равна 2. 0:06:26.357,0:06:31.790 И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3. 0:06:31.790,0:06:33.462 Мы можем проверить, что это подходит. 0:06:33.462,0:06:36.467 Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я запишу. 0:06:36.467,0:06:38.803 (2√3)² + 2² = равно чему? 0:06:38.803,0:06:42.471 Это 2… 0:06:49.763,0:06:53.478 И это будет равно 12 + 4, что равно 16. 0:06:53.478,0:06:57.800 А 16 - это действительно 4². 0:06:57.800,0:07:01.790 Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается. 0:07:01.790,0:07:06.133 И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с[br]углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно, 0:07:07.781,0:07:11.450 прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это 0:07:11.450,0:07:13.133 треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол. 0:07:13.133,0:07:15.867 Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник. 0:07:15.867,0:07:20.366 Этот угол - это наш угол в 30°. 0:07:20.366,0:07:23.385 И этот угол наверху - это угол в 60°. 0:07:23.385,0:07:26.125 0:07:26.125,0:07:27.797 И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что 0:07:27.797,0:07:31.791 катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. 0:07:31.791,0:07:36.800 А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на 0:07:36.800,0:07:38.432 другую сторону, не гипотенузу. 0:07:38.432,0:07:40.159 Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов, 0:07:43.415,0:07:46.933 Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов. 0:07:46.933,0:07:51.295 Если бы я у вас спросил, 0:07:51.295,0:07:54.639 Чему равен sin 30°? 0:07:54.639,0:07:58.447 И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30° 0:07:58.447,0:08:01.698 подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол [br]30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником. 0:08:01.698,0:08:05.135 В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°… 0:08:05.135,0:08:09.035 Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный 0:08:09.035,0:08:12.133 треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA. 0:08:12.133,0:08:17.116 Давайте я запишу это ещё раз. SOH 0:08:17.116,0:08:22.782 SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. 0:08:22.782,0:08:26.358 Sin 30° - это противолежащий катет… 0:08:26.358,0:08:30.723 это противолежащий катет, который равен 2, 0:08:30.723,0:08:32.395 деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4. 0:08:32.395,0:08:35.646 Это 2/4, или 1/2. 0:08:35.646,0:08:40.800 Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2. 0:08:40.800,0:08:44.144 Теперь чему равен косинус, 0:08:46.867,0:08:50.135 Опять же вернитесь к SOH CAH TOA: 0:08:50.135,0:08:52.643 CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это[br]прилежащий катет, деленный на гипотенузу. 0:08:56.033,0:08:59.051 Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона, 0:08:59.051,0:09:01.791 прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза. 0:09:05.467,0:09:09.129 Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе. 0:09:09.129,0:09:13.633 разделить на гипотенузу, 0:09:13.633,0:09:16.977 Или если мы упростим это, разделив числитель[br]и знаменатель на 2, 0:09:16.977,0:09:20.646 получится √3/2. 0:09:20.646,0:09:22.782 Наконец, давайте найдем тангенс. 0:09:27.800,0:09:30.305 Мы возвращаемся к SOH CAH TOA. 0:09:31.699,0:09:34.800 SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему. 0:09:34.800,0:09:38.804 Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. [br]Противолежащий - это 2. 0:09:38.804,0:09:42.101 Тангенс 30°.. 0:09:42.101,0:09:46.200 Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3. 0:09:46.200,0:09:48.045 Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет. 0:09:48.045,0:09:49.439 Прилежащий - значит, тот, который находится рядом. 0:09:49.439,0:09:52.039 Итак, 2√3. 0:09:52.039,0:09:54.454 Значит, это равно... 0:09:54.454,0:09:56.776 Двойки сокращаются… 1 разделить на √3. 0:09:56.776,0:10:00.723 Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3.. 0:10:00.723,0:10:05.367 Т.е. умножить на √3, деленный на √3. 0:10:05.367,0:10:08.804 Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3. 0:10:12.473,0:10:15.800 Мы избавились от иррационального знаменателя. 0:10:15.800,0:10:17.442 Хорошо. 0:10:17.442,0:10:20.693 Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы[br]найти тригонометрические соотношения для угла в 60°, 0:10:20.693,0:10:22.457 так как мы его уже нарисовали. 0:10:22.457,0:10:28.328 0:10:28.328,0:10:30.166 Итак, чему равен sin 60°? Я думаю, вы начинаете понимать. 0:10:30.166,0:10:34.253 Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. 0:10:34.253,0:10:36.668 Для угла в 60° какой катет является противолежащим? 0:10:36.668,0:10:39.315 Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3. 0:10:42.566,0:10:45.306 И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения, 0:10:45.306,0:10:47.999 это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать… 0:10:47.999,0:10:50.507 Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу. Или 2√3 разделить на 4. 0:10:50.507,0:10:54.315 4 - это гипотенуза. И это равно, если сократить, √3/2. 0:10:54.315,0:10:59.981 Чему равен cos 60°? 0:10:59.981,0:11:05.507 cos 60°… 0:11:05.507,0:11:10.244 Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 0:11:10.244,0:11:13.667 Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°. 0:11:13.667,0:11:17.907 Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4. 0:11:17.907,0:11:20.972 Т. е. это равно 1/2. 0:11:20.972,0:11:24.176 И, наконец... 0:11:24.176,0:11:27.984 Чему равен тангенс? 0:11:27.984,0:11:32.349 Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему. 0:11:32.349,0:11:34.671 Катет, равный 2√3, противолежит углу в 60°. 0:11:34.671,0:11:36.400 2√3, 0:11:36.400,0:11:38.000 а прилежащий катет равен 2. 0:11:39.919,0:11:42.733 0:11:42.733,0:11:44.800 это 2. Это противолежащий катет, деленный на прилежащий. 0:11:44.800,0:11:48.650 2√3 разделить на 2, что просто равно √3. 0:11:48.650,0:11:52.644 И я только хочу… Посмотрите, как все эти функции связаны. 0:11:52.644,0:11:54.641 Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°. 0:12:01.333,0:12:03.966 А вот эти два (тангенсы) - взаимно обратны. Если вы подумаете немного об этом треугольнике, 0:12:05.635,0:12:07.105 Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим 0:12:07.105,0:12:08.461 вам возможность попрактиковаться в следующих[br]уроках.