-
Załóżmy, że mamy tutaj trójkąt równoboczny. Chcę na postawie tego trójkąta stworzyć inny kształt.
-
Uczynię to poprzez podzielenie każdego z boków na trzy równe części.
-
... trzy równe części...
-
Mój trójkąt równoboczny nie jest idealny, ale myślę że złapiecie o co mi chodzi.
-
Na środkowej części chcę skonstruować kolejny trójkąt równoboczny.
-
Na tej środkowej części skonstruuję kolejny trójkąt równoboczny.
-
... będzie wyglądał mniej więcej tak.
-
... jeszcze tutaj
-
... dodam kolejny trójkąt równoboczny.
-
Teraz przeszliśmy od trójkąta równobocznego do czegoś co przypomina gwiazdę Dawida,
-
i teraz zrobię to ponownie!
-
Każdy z boków podzielę na trzy równe części
-
i na środkowym segmencie zbuduję trójkąt równoboczny.
-
... zbuduję trójkąt równoboczny.
-
... na środkowym segmencie umieszczę trójkąt równoboczny.
-
Zrobię to dla każdego z boków.
-
Dodamy tutaj i tutaj.
-
... pewnie już widzicie co chcę zrobić...
-
... ale dla jasności.
-
Jeszcze tutaj i tutaj.
-
... już prawie kończymy dla tej iteracji.
-
Tej serii.
-
Teraz mogę to zrobić jeszcze raz!
-
Każdy z segmentów mogę podzielić na trzy równe części i na środkowej części zbudować trójkąt równoboczny,
-
tutaj, tutaj, tutaj i tutaj...
-
... chyba już widzicie dokąd to zdaje się zmierzać.
-
i mogę powtarzać to w nieskończoność.
-
W tym filmie chciałbym zastanowić się co tutaj tak naprawdę robimy.
-
Gdybyśmy rzeczywiście rysowali w nieskończoność,
-
w każdej iteracji bierzemy jeden bok, dzielimy na trzy równe części i w następnej iteracji środkowy segment zamieniamy na kolejny trójkąt równoboczny.
-
Kształt, który tutaj opisujemy jest nazywany również gwiazdką lub śnieżynką Kocha.
-
(jestem pewien, że nie wymawiam właściwie słowa "Koch").
-
... "gwiazdka Kocha".
-
Została po raz pierwszy opisana przez tego tutaj pana, szwedzkiego matematyka
-
Nielsa Fabiana Helge von Kocha
-
(prawie na pewno nie wymówiłem poprawnie...),
-
Jest to jeden z najwcześniej opisanych fraktali.
-
Jest to fraktal.
-
Powodem dla którego jest uważana za fraktal
-
jest to, że wygląda tak samo lub bardzo podobnie
-
w dowolnej skali.
-
Jeżeli patrzymy na gwiazdkę w tej skali
-
... jeżeli patrzymy na ten fragment...
-
wygląda to jak grupa trójkątów z wypustkami, ale jeżeli powiększylibyśmy ten obszar
-
to ciągle obserwowalibyśmy ten sam wzór.
-
Jeżeli przybliżalibyśmy coraz bardziej, obserwowalibyśmy powtarzający się wzorzec.
-
W dowolnej skali, w dowolnym powiększeniu
-
wygląda bardzo podobnie (własność samopodobieństwa).
-
Takie właśnie kształty nazywamy fraktalami.
-
Szczególnie interesującą cechą,
-
powodem dla którego umieszczam ten film w playliście poświęconej geometrii
-
jest to, że ten kształt posiada nieskończony obwód.
-
Jeżeli kontynuowalibyśmy naszą zabawę jeżeli rysowalibyśmy dalej gwiazdkę kocha,
-
i na każdym z tych małych trójkątów dorysowywali na bokach kolejne trójkąty równoboczne.
-
By pokazać, że ma nieskończony obwód weźmy pod uwagę tylko tą stronę.
-
Załóżmy, że to jest ta strona z oryginalnego trójkąta równobocznego.
-
Załóżmy, że ma długość s.
-
Następnie dzielimy na 3 równe części.
-
To będzie s/3, s/3 i s/3. Na środkowym segmencie tworzymy trójkąt równoboczny.
-
Każdy z tych boków będzie równy s/3.
-
Teraz długość tej nowej części będzie równa, nie możemy nazywać jej już linią, ponieważ ma wybrzuszenie.
-
Długość tej części nie jest już równa s,
-
teraz jest równa s/3 razy 4.
-
Wcześniej to było s/3 razy 3.
-
Teraz mamy 4 segmenty, które mają długość s/3.
-
Teraz po jednej rundzie dodawania trójkątów,
-
nasz bok będzie równy 4 * s/3 lub inaczej 4/3 * s.
-
Jeżeli nasz pierwotny obwód był równy p0, to po pierwszej rundzie dodawania trójkątów
-
nasz obwód będzie równy 4/3 p0.
-
Ponieważ każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy.
-
Obwód składał się z 3 boków, każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy, więc nowy obwód również będzie równy 4/3 starego.
-
Następnie, gdy znów zaczynamy dodawać trójkąty, obwód będzie równy 4/3 obwodu po pierwszej rundzie.
-
Po każdym obiegu dodawania trójkątów kończymy z 4/3 razy dłuższym obwodem.
-
Staje się o 1/3 dłuższy po każdym obiegu.
-
Jeżeli będziemy powtarzać tą czynność w nieskończoność.
-
Jeżeli przemnażalibyśmy dowolną liczbę w nieskończoność przez 4/3 to dostaniemy nieskończoność.
-
Obwód po nieskończonej ilości rund dodawania trójkątów jest nieskończony.
-
Samo w sobie jest to całkiem ciekawe, ciekawsze jest jednak to, że ten obiekt posiada skończona powierzchnię.
-
Pokrywa ograniczoną powierzchnię.
-
Mógłbym narysować wokół tej gwiazdy kształt i ta gwiazda nigdy nie rozrośnie się poza ten kształt.
-
Pomyślmy o tym, nie będę tworzył formalnego dowodu.
-
Pomyślmy co się dzieje na każdym z tych boków.
-
Po pierwszym obiegu wyskakuje trójkąt.
-
W następnej iteracji rysujemy te trójkąty.
-
W następnej jeszcze iteracji dodajemy kolejne trójkąty w tych miejscach.
-
Ale możemy dodawać kolejne trójkąty, w zasadzie możemy dodawać nieskończoną ilość trójkątów ale nigdy nie przekroczymy tej pierwotnej linii.
-
To samo będzie prawdziwe dla tego boku.
-
Podobnie dla kolejnych boków.
-
Nawet jeżeli będziemy powtarzać tą procedurę nieskończoną ilość razy, śnieżynka Kocha nie pokryje większej powierzchni niż powierzchnia ograniczającego ją sześciokąta.
-
Lub nie będzie miała większej powierzchni od takiego kształtu.
-
Mogę narysować na zewnątrz okrąg.
-
Ten kształt narysowany na niebiesko lub ten sześciokąt narysowany w kolorze magenty mają z pewnością skończoną powierzchnię.
-
Gwiazdka Kocha będzie zawsze przez nie ograniczona, nawet pomimo dodawania kolejnych wystających trójkątów nieskończoną ilość razy.
-
Mamy tutaj całą masę naprawdę interesujących własności.
-
Jest to fraktal, więc możemy ciągle przybliżać i będzie wyglądał podobnie.
-
Ponadto posiada nieskończony obwód i skończoną powierzchnię.
-
Możecie teraz powiedzieć Sal, to jest bardzo abstrakcyjny byt, takie obiekty tak naprawdę nie istnieją rzeczywistym świecie.
-
Jest ciekawy eksperyment myślowy przytaczany przez ludzi w świecie fraktali.
-
Chodzi o obliczenie obwodu Anglii.
-
Można ten eksperyment przeprowadzić z dowolną wyspą.
-
Anglia wygląda mniej więcej tak, nie jestem ekspertem.
-
Przybliżając obwód, możemy najpierw obliczyć tą odległość, plus kilka kolejnych.
-
I możemy powiedzieć, patrzcie! Ma skończony obwód.
-
Z pewnością ma skończoną powierzchnię.
-
Możemy stwierdzić, że to przybliżenie nie jest wystarczająco dobre i chcemy obliczyć dokładniej obwód Anglii.
-
Zamiast robić to tak zgrubnie, może chcemy dopasować większą ilość mniejszych linii.
-
Tak by otulić dokładniej linię brzegową.
-
W porządku, widać, że jest to znacznie lepsze przybliżenie.
-
Załóżmy, jeżeli przybliżymy jakiś fragment wybrzeża.
-
Jeżeli przybliżymy wystarczająco, właściwa linia brzegowa będzie wyglądała mniej więcej tak.
-
Będzie miała serię pofałdowań.
-
Zasadniczo, gdy wcześniej mierzyliśmy długość tego odcinka
-
mierzyliśmy tą długość.
-
Możemy się oburzyć, to nie jest przecież obwód linii brzegowej!
-
Musimy to podzielić na znacznie więcej boków.
-
Musimy teraz poprowadzić linie, które będą wyglądać mniej więcej tak.
-
Możemy teraz powiedzieć, że wreszcie mamy sensowne przybliżenie długości linii brzegowej.
-
Ale jeżeli teraz przybliżylibyśmy ten fragment linii brzegowej okaże się, że nie będzie wyglądał dokładnie tak.
-
Okaże się, że będzie wyglądał tak.
-
Zamiast tych zgrubnych linii mierzących długość linii brzegowej w ten sposób
-
będziemy chcieli dopasować nieco dokładniej i szczelniej otulić linię brzegową.
-
Możemy kontynuować tą procedurę, aż zejdziemy do poziomu atomów.
-
Czyli właściwa długość linii brzegowej wyspy, kontynentu czy dowolnej rzeczy jest nieco fraktalna.
-
Można o niej myśleć niemalże jakby miała nieskończony obwód.
-
Oczywicie w pewnym momencie zejdziemy do poziomu atomów, więc to nie jest dokładnie to samo ale w pewien sposób jest to podobne zjawisko.
-
Warto się nad tym zastanowić.