0:00:00.000,0:00:06.898
Załóżmy, że mamy tutaj trójkąt równoboczny. Chcę na postawie tego trójkąta stworzyć inny kształt.

0:00:06.898,0:00:12.729
Uczynię to poprzez podzielenie każdego z boków na trzy równe części.

0:00:13.067,0:00:15.236
... trzy równe części...

0:00:15.590,0:00:20.277
Mój trójkąt równoboczny nie jest idealny, ale myślę że złapiecie o co mi chodzi.

0:00:20.508,0:00:23.785
Na środkowej części chcę skonstruować kolejny trójkąt równoboczny.

0:00:24.400,0:00:29.159
Na tej środkowej części skonstruuję kolejny trójkąt równoboczny.

0:00:29.821,0:00:32.205
... będzie wyglądał mniej więcej tak.

0:00:33.067,0:00:34.825
... jeszcze tutaj

0:00:35.333,0:00:37.677
... dodam kolejny trójkąt równoboczny.

0:00:37.800,0:00:43.800
Teraz przeszliśmy od trójkąta równobocznego do czegoś co przypomina gwiazdę Dawida,

0:00:43.800,0:00:45.108
i teraz zrobię to ponownie!

0:00:45.262,0:00:48.621
Każdy z boków podzielę na trzy równe części

0:00:48.913,0:00:52.067
i na środkowym segmencie zbuduję trójkąt równoboczny.

0:00:52.267,0:00:54.692
... zbuduję trójkąt równoboczny.

0:00:54.692,0:00:59.569
... na środkowym segmencie umieszczę trójkąt równoboczny.

0:00:59.769,0:01:01.938
Zrobię to dla każdego z boków.

0:01:02.400,0:01:07.071
Dodamy tutaj i tutaj.

0:01:07.071,0:01:08.667
... pewnie już widzicie co chcę zrobić...

0:01:08.867,0:01:11.933
... ale dla jasności.

0:01:12.241,0:01:16.467
Jeszcze tutaj i tutaj.

0:01:17.159,0:01:21.508
... już prawie kończymy dla tej iteracji.

0:01:22.231,0:01:23.421
Tej serii.

0:01:23.421,0:01:24.867
Teraz mogę to zrobić jeszcze raz!

0:01:24.867,0:01:29.067
Każdy z segmentów mogę podzielić na trzy równe części i na środkowej części zbudować trójkąt równoboczny,

0:01:29.067,0:01:31.769
tutaj, tutaj, tutaj i tutaj...

0:01:31.769,0:01:33.502
... chyba już widzicie dokąd to zdaje się zmierzać.

0:01:33.841,0:01:37.585
i mogę powtarzać to w nieskończoność.

0:01:37.800,0:01:41.308
W tym filmie chciałbym zastanowić się co tutaj tak naprawdę robimy.

0:01:41.400,0:01:45.800
Gdybyśmy rzeczywiście rysowali w nieskończoność,

0:01:45.800,0:01:56.067
w każdej iteracji bierzemy jeden bok, dzielimy na trzy równe części i w następnej iteracji środkowy segment zamieniamy na kolejny trójkąt równoboczny.

0:01:56.067,0:02:00.313
Kształt, który tutaj opisujemy jest nazywany również gwiazdką lub śnieżynką Kocha.

0:02:00.436,0:02:03.395
(jestem pewien, że nie wymawiam właściwie słowa "Koch").

0:02:03.979,0:02:05.415
... "gwiazdka Kocha".

0:02:05.415,0:02:10.159
Została po raz pierwszy opisana przez tego tutaj pana, szwedzkiego matematyka

0:02:10.159,0:02:12.856
Nielsa Fabiana Helge von Kocha

0:02:12.856,0:02:14.733
(prawie na pewno nie wymówiłem poprawnie...),

0:02:14.733,0:02:17.564
Jest to jeden z najwcześniej opisanych fraktali.

0:02:18.118,0:02:19.825
Jest to fraktal.

0:02:20.133,0:02:22.533
Powodem dla którego jest uważana za fraktal

0:02:22.533,0:02:25.338
jest to, że wygląda tak samo lub bardzo podobnie

0:02:25.338,0:02:27.133
w dowolnej skali.

0:02:27.133,0:02:28.800
Jeżeli patrzymy na gwiazdkę w tej skali

0:02:28.800,0:02:30.600
... jeżeli patrzymy na ten fragment...

0:02:30.600,0:02:35.400
wygląda to jak grupa trójkątów z wypustkami, ale jeżeli powiększylibyśmy ten obszar

0:02:35.400,0:02:38.467
to ciągle obserwowalibyśmy ten sam wzór.

0:02:38.467,0:02:41.800
Jeżeli przybliżalibyśmy coraz bardziej, obserwowalibyśmy powtarzający się wzorzec.

0:02:41.800,0:02:45.200
W dowolnej skali, w dowolnym powiększeniu

0:02:45.200,0:02:47.533
wygląda bardzo podobnie (własność samopodobieństwa).

0:02:47.533,0:02:49.133
Takie właśnie kształty nazywamy fraktalami.

0:02:49.133,0:02:50.533
Szczególnie interesującą cechą,

0:02:50.533,0:02:54.200
powodem dla którego umieszczam ten film w playliście poświęconej geometrii

0:02:54.200,0:02:57.400
jest to, że ten kształt posiada nieskończony obwód.

0:02:57.400,0:03:01.133
Jeżeli kontynuowalibyśmy naszą zabawę jeżeli rysowalibyśmy dalej gwiazdkę kocha,

0:03:01.133,0:03:10.546
i na każdym z tych małych trójkątów dorysowywali na bokach kolejne trójkąty równoboczne.

0:03:10.546,0:03:13.263
By pokazać, że ma nieskończony obwód weźmy pod uwagę tylko tą stronę.

0:03:13.263,0:03:19.189
Załóżmy, że to jest ta strona z oryginalnego trójkąta równobocznego.

0:03:19.189,0:03:21.630
Załóżmy, że ma długość s.

0:03:21.630,0:03:24.088
Następnie dzielimy na 3 równe części.

0:03:24.088,0:03:38.060
To będzie s/3, s/3 i s/3. Na środkowym segmencie tworzymy trójkąt równoboczny.

0:03:38.168,0:03:44.395
Każdy z tych boków będzie równy s/3.

0:03:44.395,0:03:54.874
Teraz długość tej nowej części będzie równa, nie możemy nazywać jej już linią, ponieważ ma wybrzuszenie.

0:03:54.874,0:03:58.831
Długość tej części nie jest już równa s,

0:03:58.831,0:04:01.525
teraz jest równa s/3 razy 4.

0:04:01.525,0:04:03.508
Wcześniej to było s/3 razy 3.

0:04:03.508,0:04:07.346
Teraz mamy 4 segmenty, które mają długość s/3.

0:04:07.346,0:04:12.641
Teraz po jednej rundzie dodawania trójkątów,

0:04:12.641,0:04:20.945
nasz bok będzie równy 4 * s/3 lub inaczej 4/3 * s.

0:04:20.945,0:04:34.247
Jeżeli nasz pierwotny obwód był równy p0, to po pierwszej rundzie dodawania trójkątów

0:04:34.247,0:04:39.275
nasz obwód będzie równy 4/3 p0.

0:04:39.275,0:04:42.214
Ponieważ każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy.

0:04:42.214,0:04:48.630
Obwód składał się z 3 boków, każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy, więc nowy obwód również będzie równy 4/3 starego.

0:04:48.630,0:04:54.623
Następnie, gdy znów zaczynamy dodawać trójkąty, obwód będzie równy 4/3 obwodu po pierwszej rundzie.

0:04:54.623,0:04:57.557
Po każdym obiegu dodawania trójkątów kończymy z 4/3 razy dłuższym obwodem.

0:04:57.557,0:05:02.612
Staje się o 1/3 dłuższy po każdym obiegu.

0:05:02.612,0:05:05.860
Jeżeli będziemy powtarzać tą czynność w nieskończoność.

0:05:05.860,0:05:12.512
Jeżeli przemnażalibyśmy dowolną liczbę w nieskończoność przez 4/3 to dostaniemy nieskończoność.

0:05:12.512,0:05:19.632
Obwód po nieskończonej ilości rund dodawania trójkątów jest nieskończony.

0:05:19.632,0:05:27.934
Samo w sobie jest to całkiem ciekawe, ciekawsze jest jednak to, że ten obiekt posiada skończona powierzchnię.

0:05:27.934,0:05:32.166
Pokrywa ograniczoną powierzchnię.

0:05:32.166,0:05:36.274
Mógłbym narysować wokół tej gwiazdy kształt i ta gwiazda nigdy nie rozrośnie się poza ten kształt.

0:05:36.274,0:05:38.867
Pomyślmy o tym, nie będę tworzył formalnego dowodu.

0:05:38.867,0:05:41.570
Pomyślmy co się dzieje na każdym z tych boków.

0:05:41.570,0:05:45.404
Po pierwszym obiegu wyskakuje trójkąt.

0:05:45.404,0:05:51.442
W następnej iteracji rysujemy te trójkąty.

0:05:51.442,0:05:54.337
W następnej jeszcze iteracji dodajemy kolejne trójkąty w tych miejscach.

0:05:54.337,0:06:06.415
Ale możemy dodawać kolejne trójkąty, w zasadzie możemy dodawać nieskończoną ilość trójkątów ale nigdy nie przekroczymy tej pierwotnej linii.

0:06:06.415,0:06:10.345
To samo będzie prawdziwe dla tego boku.

0:06:10.345,0:06:21.950
Podobnie dla kolejnych boków.

0:06:21.950,0:06:29.809
Nawet jeżeli będziemy powtarzać tą procedurę nieskończoną ilość razy, śnieżynka Kocha nie pokryje większej powierzchni niż powierzchnia ograniczającego ją sześciokąta.

0:06:29.809,0:06:34.622
Lub nie będzie miała większej powierzchni od takiego kształtu.

0:06:34.622,0:06:40.963
Mogę narysować na zewnątrz okrąg.

0:06:40.963,0:06:47.090
Ten kształt narysowany na niebiesko lub ten sześciokąt narysowany w kolorze magenty mają z pewnością skończoną powierzchnię.

0:06:47.090,0:06:52.220
Gwiazdka Kocha będzie zawsze przez nie ograniczona, nawet pomimo dodawania kolejnych wystających trójkątów nieskończoną ilość razy.

0:06:52.220,0:06:54.924
Mamy tutaj całą masę naprawdę interesujących własności.

0:06:54.924,0:06:58.146
Jest to fraktal, więc możemy ciągle przybliżać i będzie wyglądał podobnie.

0:06:58.146,0:07:04.590
Ponadto posiada nieskończony obwód i skończoną powierzchnię.

0:07:04.590,0:07:10.285
Możecie teraz powiedzieć Sal, to jest bardzo abstrakcyjny byt, takie obiekty tak naprawdę nie istnieją rzeczywistym świecie.

0:07:10.285,0:07:15.140
Jest ciekawy eksperyment myślowy przytaczany przez ludzi w świecie fraktali.

0:07:15.140,0:07:17.528
Chodzi o obliczenie obwodu Anglii.

0:07:17.528,0:07:19.888
Można ten eksperyment przeprowadzić z dowolną wyspą.

0:07:19.888,0:07:22.676
Anglia wygląda mniej więcej tak, nie jestem ekspertem.

0:07:22.676,0:07:34.576
Przybliżając obwód, możemy najpierw obliczyć tą odległość, plus kilka kolejnych.

0:07:34.576,0:07:37.895
I możemy powiedzieć, patrzcie! Ma skończony obwód.

0:07:37.895,0:07:40.061
Z pewnością ma skończoną powierzchnię.

0:07:40.061,0:07:45.228
Możemy stwierdzić, że to przybliżenie nie jest wystarczająco dobre i chcemy obliczyć dokładniej obwód Anglii.

0:07:45.228,0:07:49.019
Zamiast robić to tak zgrubnie, może chcemy dopasować większą ilość mniejszych linii.

0:07:49.019,0:07:52.478
Tak by otulić dokładniej linię brzegową.

0:07:52.478,0:07:55.207
W porządku, widać, że jest to znacznie lepsze przybliżenie.

0:07:55.207,0:08:02.571
Załóżmy, jeżeli przybliżymy jakiś fragment wybrzeża.

0:08:02.571,0:08:06.189
Jeżeli przybliżymy wystarczająco, właściwa linia brzegowa będzie wyglądała mniej więcej tak.

0:08:06.189,0:08:08.817
Będzie miała serię pofałdowań.

0:08:08.817,0:08:11.217
Zasadniczo, gdy wcześniej mierzyliśmy długość tego odcinka

0:08:11.217,0:08:13.872
mierzyliśmy tą długość.

0:08:13.872,0:08:16.179
Możemy się oburzyć, to nie jest przecież obwód linii brzegowej!

0:08:16.179,0:08:18.255
Musimy to podzielić na znacznie więcej boków.

0:08:18.255,0:08:26.690
Musimy teraz poprowadzić linie, które będą wyglądać mniej więcej tak.

0:08:26.690,0:08:29.080
Możemy teraz powiedzieć, że wreszcie mamy sensowne przybliżenie długości linii brzegowej.

0:08:29.080,0:08:34.608
Ale jeżeli teraz przybliżylibyśmy ten fragment linii brzegowej okaże się, że nie będzie wyglądał dokładnie tak.

0:08:34.608,0:08:38.360
Okaże się, że będzie wyglądał tak.

0:08:38.360,0:08:42.516
Zamiast tych zgrubnych linii mierzących długość linii brzegowej w ten sposób

0:08:42.516,0:08:45.207
będziemy chcieli dopasować nieco dokładniej i szczelniej otulić linię brzegową.

0:08:45.207,0:08:49.571
Możemy kontynuować tą procedurę, aż zejdziemy do poziomu atomów.

0:08:49.571,0:08:57.840
Czyli właściwa długość linii brzegowej wyspy, kontynentu czy dowolnej rzeczy jest nieco fraktalna.

0:08:57.840,0:09:03.170
Można o niej myśleć niemalże jakby miała nieskończony obwód.

0:09:03.170,0:09:07.956
Oczywicie w pewnym momencie zejdziemy do poziomu atomów, więc to nie jest dokładnie to samo ale w pewien sposób jest to podobne zjawisko.

0:09:07.956,9:59:59.000
Warto się nad tym zastanowić.