[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:06.90,Default,,0000,0000,0000,,Załóżmy, że mamy tutaj trójkąt równoboczny. Chcę na postawie tego trójkąta stworzyć inny kształt.
Dialogue: 0,0:00:06.90,0:00:12.73,Default,,0000,0000,0000,,Uczynię to poprzez podzielenie każdego z boków na trzy równe części.
Dialogue: 0,0:00:13.07,0:00:15.24,Default,,0000,0000,0000,,... trzy równe części...
Dialogue: 0,0:00:15.59,0:00:20.28,Default,,0000,0000,0000,,Mój trójkąt równoboczny nie jest idealny, ale myślę że złapiecie o co mi chodzi.
Dialogue: 0,0:00:20.51,0:00:23.78,Default,,0000,0000,0000,,Na środkowej części chcę skonstruować kolejny trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:24.40,0:00:29.16,Default,,0000,0000,0000,,Na tej środkowej części skonstruuję kolejny trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:29.82,0:00:32.20,Default,,0000,0000,0000,,... będzie wyglądał mniej więcej tak.
Dialogue: 0,0:00:33.07,0:00:34.82,Default,,0000,0000,0000,,... jeszcze tutaj
Dialogue: 0,0:00:35.33,0:00:37.68,Default,,0000,0000,0000,,... dodam kolejny trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:37.80,0:00:43.80,Default,,0000,0000,0000,,Teraz przeszliśmy od trójkąta równobocznego do czegoś co przypomina gwiazdę Dawida,
Dialogue: 0,0:00:43.80,0:00:45.11,Default,,0000,0000,0000,,i teraz zrobię to ponownie!
Dialogue: 0,0:00:45.26,0:00:48.62,Default,,0000,0000,0000,,Każdy z boków podzielę na trzy równe części
Dialogue: 0,0:00:48.91,0:00:52.07,Default,,0000,0000,0000,,i na środkowym segmencie zbuduję trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:52.27,0:00:54.69,Default,,0000,0000,0000,,... zbuduję trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:54.69,0:00:59.57,Default,,0000,0000,0000,,... na środkowym segmencie umieszczę trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:00:59.77,0:01:01.94,Default,,0000,0000,0000,,Zrobię to dla każdego z boków.
Dialogue: 0,0:01:02.40,0:01:07.07,Default,,0000,0000,0000,,Dodamy tutaj i tutaj.
Dialogue: 0,0:01:07.07,0:01:08.67,Default,,0000,0000,0000,,... pewnie już widzicie co chcę zrobić...
Dialogue: 0,0:01:08.87,0:01:11.93,Default,,0000,0000,0000,,... ale dla jasności.
Dialogue: 0,0:01:12.24,0:01:16.47,Default,,0000,0000,0000,,Jeszcze tutaj i tutaj.
Dialogue: 0,0:01:17.16,0:01:21.51,Default,,0000,0000,0000,,... już prawie kończymy dla tej iteracji.
Dialogue: 0,0:01:22.23,0:01:23.42,Default,,0000,0000,0000,,Tej serii.
Dialogue: 0,0:01:23.42,0:01:24.87,Default,,0000,0000,0000,,Teraz mogę to zrobić jeszcze raz!
Dialogue: 0,0:01:24.87,0:01:29.07,Default,,0000,0000,0000,,Każdy z segmentów mogę podzielić na trzy równe części i na środkowej części zbudować trójkąt równoboczny,
Dialogue: 0,0:01:29.07,0:01:31.77,Default,,0000,0000,0000,,tutaj, tutaj, tutaj i tutaj...
Dialogue: 0,0:01:31.77,0:01:33.50,Default,,0000,0000,0000,,... chyba już widzicie dokąd to zdaje się zmierzać.
Dialogue: 0,0:01:33.84,0:01:37.58,Default,,0000,0000,0000,,i mogę powtarzać to w nieskończoność.
Dialogue: 0,0:01:37.80,0:01:41.31,Default,,0000,0000,0000,,W tym filmie chciałbym zastanowić się co tutaj tak naprawdę robimy.
Dialogue: 0,0:01:41.40,0:01:45.80,Default,,0000,0000,0000,,Gdybyśmy rzeczywiście rysowali w nieskończoność,
Dialogue: 0,0:01:45.80,0:01:56.07,Default,,0000,0000,0000,,w każdej iteracji bierzemy jeden bok, dzielimy na trzy równe części i w następnej iteracji środkowy segment zamieniamy na kolejny trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:01:56.07,0:02:00.31,Default,,0000,0000,0000,,Kształt, który tutaj opisujemy jest nazywany również gwiazdką lub śnieżynką Kocha.
Dialogue: 0,0:02:00.44,0:02:03.40,Default,,0000,0000,0000,,(jestem pewien, że nie wymawiam właściwie słowa "Koch").
Dialogue: 0,0:02:03.98,0:02:05.42,Default,,0000,0000,0000,,... "gwiazdka Kocha".
Dialogue: 0,0:02:05.42,0:02:10.16,Default,,0000,0000,0000,,Została po raz pierwszy opisana przez tego tutaj pana, szwedzkiego matematyka
Dialogue: 0,0:02:10.16,0:02:12.86,Default,,0000,0000,0000,,Nielsa Fabiana Helge von Kocha
Dialogue: 0,0:02:12.86,0:02:14.73,Default,,0000,0000,0000,,(prawie na pewno nie wymówiłem poprawnie...),
Dialogue: 0,0:02:14.73,0:02:17.56,Default,,0000,0000,0000,,Jest to jeden z najwcześniej opisanych fraktali.
Dialogue: 0,0:02:18.12,0:02:19.82,Default,,0000,0000,0000,,Jest to fraktal.
Dialogue: 0,0:02:20.13,0:02:22.53,Default,,0000,0000,0000,,Powodem dla którego jest uważana za fraktal
Dialogue: 0,0:02:22.53,0:02:25.34,Default,,0000,0000,0000,,jest to, że wygląda tak samo lub bardzo podobnie
Dialogue: 0,0:02:25.34,0:02:27.13,Default,,0000,0000,0000,,w dowolnej skali.
Dialogue: 0,0:02:27.13,0:02:28.80,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli patrzymy na gwiazdkę w tej skali
Dialogue: 0,0:02:28.80,0:02:30.60,Default,,0000,0000,0000,,... jeżeli patrzymy na ten fragment...
Dialogue: 0,0:02:30.60,0:02:35.40,Default,,0000,0000,0000,,wygląda to jak grupa trójkątów z wypustkami, ale jeżeli powiększylibyśmy ten obszar
Dialogue: 0,0:02:35.40,0:02:38.47,Default,,0000,0000,0000,,to ciągle obserwowalibyśmy ten sam wzór.
Dialogue: 0,0:02:38.47,0:02:41.80,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli przybliżalibyśmy coraz bardziej, obserwowalibyśmy powtarzający się wzorzec.
Dialogue: 0,0:02:41.80,0:02:45.20,Default,,0000,0000,0000,,W dowolnej skali, w dowolnym powiększeniu
Dialogue: 0,0:02:45.20,0:02:47.53,Default,,0000,0000,0000,,wygląda bardzo podobnie (własność samopodobieństwa).
Dialogue: 0,0:02:47.53,0:02:49.13,Default,,0000,0000,0000,,Takie właśnie kształty nazywamy fraktalami.
Dialogue: 0,0:02:49.13,0:02:50.53,Default,,0000,0000,0000,,Szczególnie interesującą cechą,
Dialogue: 0,0:02:50.53,0:02:54.20,Default,,0000,0000,0000,,powodem dla którego umieszczam ten film w playliście poświęconej geometrii
Dialogue: 0,0:02:54.20,0:02:57.40,Default,,0000,0000,0000,,jest to, że ten kształt posiada nieskończony obwód.
Dialogue: 0,0:02:57.40,0:03:01.13,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli kontynuowalibyśmy naszą zabawę jeżeli rysowalibyśmy dalej gwiazdkę kocha,
Dialogue: 0,0:03:01.13,0:03:10.55,Default,,0000,0000,0000,,i na każdym z tych małych trójkątów dorysowywali na bokach kolejne trójkąty równoboczne.
Dialogue: 0,0:03:10.55,0:03:13.26,Default,,0000,0000,0000,,By pokazać, że ma nieskończony obwód weźmy pod uwagę tylko tą stronę.
Dialogue: 0,0:03:13.26,0:03:19.19,Default,,0000,0000,0000,,Załóżmy, że to jest ta strona z oryginalnego trójkąta równobocznego.
Dialogue: 0,0:03:19.19,0:03:21.63,Default,,0000,0000,0000,,Załóżmy, że ma długość s.
Dialogue: 0,0:03:21.63,0:03:24.09,Default,,0000,0000,0000,,Następnie dzielimy na 3 równe części.
Dialogue: 0,0:03:24.09,0:03:38.06,Default,,0000,0000,0000,,To będzie s/3, s/3 i s/3. Na środkowym segmencie tworzymy trójkąt równoboczny.
Dialogue: 0,0:03:38.17,0:03:44.40,Default,,0000,0000,0000,,Każdy z tych boków będzie równy s/3.
Dialogue: 0,0:03:44.40,0:03:54.87,Default,,0000,0000,0000,,Teraz długość tej nowej części będzie równa, nie możemy nazywać jej już linią, ponieważ ma wybrzuszenie.
Dialogue: 0,0:03:54.87,0:03:58.83,Default,,0000,0000,0000,,Długość tej części nie jest już równa s,
Dialogue: 0,0:03:58.83,0:04:01.52,Default,,0000,0000,0000,,teraz jest równa s/3 razy 4.
Dialogue: 0,0:04:01.52,0:04:03.51,Default,,0000,0000,0000,,Wcześniej to było s/3 razy 3.
Dialogue: 0,0:04:03.51,0:04:07.35,Default,,0000,0000,0000,,Teraz mamy 4 segmenty, które mają długość s/3.
Dialogue: 0,0:04:07.35,0:04:12.64,Default,,0000,0000,0000,,Teraz po jednej rundzie dodawania trójkątów,
Dialogue: 0,0:04:12.64,0:04:20.94,Default,,0000,0000,0000,,nasz bok będzie równy 4 * s/3 lub inaczej 4/3 * s.
Dialogue: 0,0:04:20.94,0:04:34.25,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli nasz pierwotny obwód był równy p0, to po pierwszej rundzie dodawania trójkątów
Dialogue: 0,0:04:34.25,0:04:39.28,Default,,0000,0000,0000,,nasz obwód będzie równy 4/3 p0.
Dialogue: 0,0:04:39.28,0:04:42.21,Default,,0000,0000,0000,,Ponieważ każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy.
Dialogue: 0,0:04:42.21,0:04:48.63,Default,,0000,0000,0000,,Obwód składał się z 3 boków, każdy z boków jest 4/3 razy dłuższy, więc nowy obwód również będzie równy 4/3 starego.
Dialogue: 0,0:04:48.63,0:04:54.62,Default,,0000,0000,0000,,Następnie, gdy znów zaczynamy dodawać trójkąty, obwód będzie równy 4/3 obwodu po pierwszej rundzie.
Dialogue: 0,0:04:54.62,0:04:57.56,Default,,0000,0000,0000,,Po każdym obiegu dodawania trójkątów kończymy z 4/3 razy dłuższym obwodem.
Dialogue: 0,0:04:57.56,0:05:02.61,Default,,0000,0000,0000,,Staje się o 1/3 dłuższy po każdym obiegu.
Dialogue: 0,0:05:02.61,0:05:05.86,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli będziemy powtarzać tą czynność w nieskończoność.
Dialogue: 0,0:05:05.86,0:05:12.51,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli przemnażalibyśmy dowolną liczbę w nieskończoność przez 4/3 to dostaniemy nieskończoność.
Dialogue: 0,0:05:12.51,0:05:19.63,Default,,0000,0000,0000,,Obwód po nieskończonej ilości rund dodawania trójkątów jest nieskończony.
Dialogue: 0,0:05:19.63,0:05:27.93,Default,,0000,0000,0000,,Samo w sobie jest to całkiem ciekawe, ciekawsze jest jednak to, że ten obiekt posiada skończona powierzchnię.
Dialogue: 0,0:05:27.93,0:05:32.17,Default,,0000,0000,0000,,Pokrywa ograniczoną powierzchnię.
Dialogue: 0,0:05:32.17,0:05:36.27,Default,,0000,0000,0000,,Mógłbym narysować wokół tej gwiazdy kształt i ta gwiazda nigdy nie rozrośnie się poza ten kształt.
Dialogue: 0,0:05:36.27,0:05:38.87,Default,,0000,0000,0000,,Pomyślmy o tym, nie będę tworzył formalnego dowodu.
Dialogue: 0,0:05:38.87,0:05:41.57,Default,,0000,0000,0000,,Pomyślmy co się dzieje na każdym z tych boków.
Dialogue: 0,0:05:41.57,0:05:45.40,Default,,0000,0000,0000,,Po pierwszym obiegu wyskakuje trójkąt.
Dialogue: 0,0:05:45.40,0:05:51.44,Default,,0000,0000,0000,,W następnej iteracji rysujemy te trójkąty.
Dialogue: 0,0:05:51.44,0:05:54.34,Default,,0000,0000,0000,,W następnej jeszcze iteracji dodajemy kolejne trójkąty w tych miejscach.
Dialogue: 0,0:05:54.34,0:06:06.42,Default,,0000,0000,0000,,Ale możemy dodawać kolejne trójkąty, w zasadzie możemy dodawać nieskończoną ilość trójkątów ale nigdy nie przekroczymy tej pierwotnej linii.
Dialogue: 0,0:06:06.42,0:06:10.34,Default,,0000,0000,0000,,To samo będzie prawdziwe dla tego boku.
Dialogue: 0,0:06:10.34,0:06:21.95,Default,,0000,0000,0000,,Podobnie dla kolejnych boków.
Dialogue: 0,0:06:21.95,0:06:29.81,Default,,0000,0000,0000,,Nawet jeżeli będziemy powtarzać tą procedurę nieskończoną ilość razy, śnieżynka Kocha nie pokryje większej powierzchni niż powierzchnia ograniczającego ją sześciokąta.
Dialogue: 0,0:06:29.81,0:06:34.62,Default,,0000,0000,0000,,Lub nie będzie miała większej powierzchni od takiego kształtu.
Dialogue: 0,0:06:34.62,0:06:40.96,Default,,0000,0000,0000,,Mogę narysować na zewnątrz okrąg.
Dialogue: 0,0:06:40.96,0:06:47.09,Default,,0000,0000,0000,,Ten kształt narysowany na niebiesko lub ten sześciokąt narysowany w kolorze magenty mają z pewnością skończoną powierzchnię.
Dialogue: 0,0:06:47.09,0:06:52.22,Default,,0000,0000,0000,,Gwiazdka Kocha będzie zawsze przez nie ograniczona, nawet pomimo dodawania kolejnych wystających trójkątów nieskończoną ilość razy.
Dialogue: 0,0:06:52.22,0:06:54.92,Default,,0000,0000,0000,,Mamy tutaj całą masę naprawdę interesujących własności.
Dialogue: 0,0:06:54.92,0:06:58.15,Default,,0000,0000,0000,,Jest to fraktal, więc możemy ciągle przybliżać i będzie wyglądał podobnie.
Dialogue: 0,0:06:58.15,0:07:04.59,Default,,0000,0000,0000,,Ponadto posiada nieskończony obwód i skończoną powierzchnię.
Dialogue: 0,0:07:04.59,0:07:10.28,Default,,0000,0000,0000,,Możecie teraz powiedzieć Sal, to jest bardzo abstrakcyjny byt, takie obiekty tak naprawdę nie istnieją rzeczywistym świecie.
Dialogue: 0,0:07:10.28,0:07:15.14,Default,,0000,0000,0000,,Jest ciekawy eksperyment myślowy przytaczany przez ludzi w świecie fraktali.
Dialogue: 0,0:07:15.14,0:07:17.53,Default,,0000,0000,0000,,Chodzi o obliczenie obwodu Anglii.
Dialogue: 0,0:07:17.53,0:07:19.89,Default,,0000,0000,0000,,Można ten eksperyment przeprowadzić z dowolną wyspą.
Dialogue: 0,0:07:19.89,0:07:22.68,Default,,0000,0000,0000,,Anglia wygląda mniej więcej tak, nie jestem ekspertem.
Dialogue: 0,0:07:22.68,0:07:34.58,Default,,0000,0000,0000,,Przybliżając obwód, możemy najpierw obliczyć tą odległość, plus kilka kolejnych.
Dialogue: 0,0:07:34.58,0:07:37.90,Default,,0000,0000,0000,,I możemy powiedzieć, patrzcie! Ma skończony obwód.
Dialogue: 0,0:07:37.90,0:07:40.06,Default,,0000,0000,0000,,Z pewnością ma skończoną powierzchnię.
Dialogue: 0,0:07:40.06,0:07:45.23,Default,,0000,0000,0000,,Możemy stwierdzić, że to przybliżenie nie jest wystarczająco dobre i chcemy obliczyć dokładniej obwód Anglii.
Dialogue: 0,0:07:45.23,0:07:49.02,Default,,0000,0000,0000,,Zamiast robić to tak zgrubnie, może chcemy dopasować większą ilość mniejszych linii.
Dialogue: 0,0:07:49.02,0:07:52.48,Default,,0000,0000,0000,,Tak by otulić dokładniej linię brzegową.
Dialogue: 0,0:07:52.48,0:07:55.21,Default,,0000,0000,0000,,W porządku, widać, że jest to znacznie lepsze przybliżenie.
Dialogue: 0,0:07:55.21,0:08:02.57,Default,,0000,0000,0000,,Załóżmy, jeżeli przybliżymy jakiś fragment wybrzeża.
Dialogue: 0,0:08:02.57,0:08:06.19,Default,,0000,0000,0000,,Jeżeli przybliżymy wystarczająco, właściwa linia brzegowa będzie wyglądała mniej więcej tak.
Dialogue: 0,0:08:06.19,0:08:08.82,Default,,0000,0000,0000,,Będzie miała serię pofałdowań.
Dialogue: 0,0:08:08.82,0:08:11.22,Default,,0000,0000,0000,,Zasadniczo, gdy wcześniej mierzyliśmy długość tego odcinka
Dialogue: 0,0:08:11.22,0:08:13.87,Default,,0000,0000,0000,,mierzyliśmy tą długość.
Dialogue: 0,0:08:13.87,0:08:16.18,Default,,0000,0000,0000,,Możemy się oburzyć, to nie jest przecież obwód linii brzegowej!
Dialogue: 0,0:08:16.18,0:08:18.26,Default,,0000,0000,0000,,Musimy to podzielić na znacznie więcej boków.
Dialogue: 0,0:08:18.26,0:08:26.69,Default,,0000,0000,0000,,Musimy teraz poprowadzić linie, które będą wyglądać mniej więcej tak.
Dialogue: 0,0:08:26.69,0:08:29.08,Default,,0000,0000,0000,,Możemy teraz powiedzieć, że wreszcie mamy sensowne przybliżenie długości linii brzegowej.
Dialogue: 0,0:08:29.08,0:08:34.61,Default,,0000,0000,0000,,Ale jeżeli teraz przybliżylibyśmy ten fragment linii brzegowej okaże się, że nie będzie wyglądał dokładnie tak.
Dialogue: 0,0:08:34.61,0:08:38.36,Default,,0000,0000,0000,,Okaże się, że będzie wyglądał tak.
Dialogue: 0,0:08:38.36,0:08:42.52,Default,,0000,0000,0000,,Zamiast tych zgrubnych linii mierzących długość linii brzegowej w ten sposób
Dialogue: 0,0:08:42.52,0:08:45.21,Default,,0000,0000,0000,,będziemy chcieli dopasować nieco dokładniej i szczelniej otulić linię brzegową.
Dialogue: 0,0:08:45.21,0:08:49.57,Default,,0000,0000,0000,,Możemy kontynuować tą procedurę, aż zejdziemy do poziomu atomów.
Dialogue: 0,0:08:49.57,0:08:57.84,Default,,0000,0000,0000,,Czyli właściwa długość linii brzegowej wyspy, kontynentu czy dowolnej rzeczy jest nieco fraktalna.
Dialogue: 0,0:08:57.84,0:09:03.17,Default,,0000,0000,0000,,Można o niej myśleć niemalże jakby miała nieskończony obwód.
Dialogue: 0,0:09:03.17,0:09:07.96,Default,,0000,0000,0000,,Oczywicie w pewnym momencie zejdziemy do poziomu atomów, więc to nie jest dokładnie to samo ale w pewien sposób jest to podobne zjawisko.
Dialogue: 0,0:09:07.96,9:59:59.99,Default,,0000,0000,0000,,Warto się nad tym zastanowić.