-
Vi har en likesidet trekant.
-
Vi bil gjerne lage andre figurer
-
ut av den likesidede trekanten.
-
Det gjør vi ved å ta alle trekantens sider
-
og dele de i 3 like store deler.
-
Selv om trekantene ikke er tegnet helt like,
-
skal vi bare forstå meningen med formelen.
-
I den midterste delen
-
konstruerer vi enda en likesidet trekant.
-
I den midterste delen, som vi har het borte,
-
konstruerer vi en likesidet trekant.
-
Det ser sånn her ut.
-
Nå setter vi inn her borte
-
enda en likesidet trekant.
-
Vi er nå gått fra en likesidet trekant
-
til noe, som ligner en stjerne.
-
Det gjør vi igjen.
-
Alle sidene deler vi altså inn i 3 like store deler.
-
I den midterste linjestykket setter vi inn en likesidet trekant.
-
.
-
Vi setter inn en likesidet trekant her.
-
Det gjør vi på alle trekantens sider.
-
.
-
Nå har vi forstått meningen, og trekanten vil nå
-
så sånn her ut.
-
For å oppsummerer, så forsvinner den her.
-
Nå ser den sånn ut.
-
Så kan vi gjøre det igjen.
-
Alle linjestykkene deler vi opp i 3 like store deler
-
og tegner enda en likesidet trekant.
-
I tillegg til den, den, den, den, den og den.
-
Nå kan vi godt forstå, hva det er, som skjer.
-
Det her kan vi fortsette å gjøre.
-
Det vi skal gjøre i den her videoen er derfor å tenke over,
-
hva det er, som skjer,
-
og hva det er, vi tegner.
-
Vi kan fortsette å gjøre det.
-
Ved hver gjentagelse ser vi på alle sidene
-
og deler de i 3 like store deler,
-
og så vil den neste gjentagelsen være 3 like store deler,
-
og i den neste gjentagelsen
-
gjør vi det igjen det midterste linjestykke til enda en likesidet trekant.
-
Den figuren, vi beskriver her,
-
kaller vi for Kochs Snøfnugg.
-
.
-
Kochs Snøfnugg
-
ble først beskrevet av mannen, vi ser her,
-
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.
-
.
-
Det er en av de første beskrevne fraktaler.
-
Det her er altså en fraktal.
-
Grunnen til, at det er en fraktal,
-
er at den ligner seg selv
-
uansett i hvilken målestokk, vi ser den.
-
Hvis vi ser på den i det her målestokkforholdet,
-
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.
-
Hvis vi zoomer inn,
-
vil vi se det samme mønsteret.
-
Zoomer vi enda lenger inn,
-
ser vi det igjen og igjen.
-
En fraktal er altså noe, som i alle målestokkforhold
-
ser noenlunde likt ut.
-
Det er derfor, at det kalles en fraktal.
-
Det som er interessant
-
og er grunnen til, at den hører under den her kategorien av geometri er,
-
at figuren faktisk har en ubegrenset omkrets.
-
Hvis vi fortsetter å gjøre det,
-
altså hvis vi vil lage Kochs Snøfnugg,
-
skal vi gjøre det uendelig antall ganger
-
på hver enkelt mindre trekant her,
-
vi fortsetter med å tilføye enda en likesidet trekant på dens side.
-
For å vise,
-
at den har en ubegrenset omkrets, ser vi på den siden her borte.
-
.
-
Vi starter her, hvor vi begynte
-
med den originale trekanten. Det er den her siden.
-
Vi sier, at den har lengden S.
-
Vi deler den inn i 3 like store deler.
-
.
-
Vi har S/3, og det kan vi skrive som
-
S/3, S/3 og S/3.
-
I den midterste delen lager vi en likesidet trekant.
-
.
-
Alle de her sidene er lik med S/3.
-
S/3, S/3.
-
Nå har vi lengden av den nye delen.
-
Vi kan ikke kalle det en linje mer, da den har en liten bump her.
-
Lengden av den her delen her borte, den her siden,
-
har nå ikke mer lengden S.
-
Den er nå S/3 ganger 4.
-
Før var den S/3 ganger 3,
-
men nå har vi 1, 2, 3, 4, segmenter, som heter S/3.
-
Etter en enkel gang, etter et skritt,
-
etter vi en enkelt gang har tilføyet trekanter
-
til våre nye sider,
-
etter vi har fått bumpet, har vi nå 4 ganger S/3 eller 4/3s.
-
Hvis den originale omkretsen, når den er en trekant er lik med P minus 0,
-
etter første trinn, etter vi har sett bump,
-
er våre omkrets lik med
-
4/3 ganger den originale omkretsen,
-
da alle sidene nå vil være 4/3 større.
-
Hvis den her er laget av tre sider,
-
er alle sidene nå 4/3 større.
-
Så er den nye omkretsen 4/3 ganger det.
-
Nå skal vi bare gjøre neste skritt.
-
Det er 4/3 ganget det første skrittet.
-
For hvert skritt vi tar, blir den 4/3 større.
-
Den blir altså 4/3 større
-
i forhold til det siste skrittet.
-
Hvis vi gjør det uendelig antall ganger,
-
hvis vi altså ganget ethvert tall med 4/3 et uendelig antall ganger,
-
får vi et uendelig tall, som beskriver en uendelig lengde.
-
P uendelig
-
er omkretsen, som hvis vi gjør det uendelig antall ganger, er uendelig.
-
I seg selv er det ganske gøy
-
bare å tenke på noe, som har en uendelig omkrets.
-
Hva som er enda bedre er, at den faktisk har et begrenset areal.
-
Når vi sier begrenset areal,
-
dekker det over en avgrenset omfang av plass.
-
Vi kan faktisk tegne en figur rundt om den her,
-
og så vil den aldri utvide seg mer enn figuren.
-
Vi gjør ikke et formelt bevis.
-
Vi tenker bare over, hva som skjer på hvilken som helst av de her sidene.
-
I det første skrittet har vi den her trekanten, som blir delt.
-
Vi tegner likegodt, hva som skjer,
-
så er det neste gjentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter her borte
-
og de her 2 tegn her borte.
-
Så setter vi inn noen trekanter her
-
og her, og her, og her, og her, og så videre.
-
Vi skal legge merke til, at vi kan fortsette med å legge fler og fler til.
-
Vi kan altså legge et uendelig antall av de her bump til,
-
men vi kommer aldri videre enn utgangspunktet.
-
Det samme er gjeldene på den siden rett her.
-
Det gjelder også på den siden her
-
og også på den her
-
og den siden her.
-
Også den siden vi har her.
-
Selv om vi gjør det et uendelig antall ganger,
-
vil den her figuren, Kochs Snøfnugg,
-
aldri ha et større areal enn den avgrensede sekskanten,
-
og den vil heller ikke ha et større areal
-
enn en figur, som ligner noe som den her.
-
Vi tegner en vilkårlig sirkel.
-
Vi vil gjerne tegne den utenfor sekskanten.
-
.
-
Det vi akkurat har tegnet i blå, eller den sekskanten, som er tegnet i lilla,
-
de har tydeligvis et areal.
-
Kochs Snøfnugg vil alltid være avgrenset,
-
også selv om vi kan tilføye de her bumoene et uendelig antall ganget.
-
Vi har altså sett en masse gøye ting.
-
For det første er det en fraktal.
-
Vi kan zoome inn, og den vil fremdeles se ut som det samme.
-
Enda en ting, en ubestemt omkrets og et bestemt areal.
-
Det kan være, at vi tenker, det er meget abstrakt.
-
Ting som de her eksisterer ikke i den virkelige verden.
-
Det er et eksperiment,
-
som folk snakker om i fraktalverden.
-
Det er å finne omkretsen av England
-
eller hvilken som helst ø.
-
England ligner litt,
-
ikke at vi er geografieksperter,
-
men det ligner noe i stil med det her.
-
Først gjetter vi kanskje omkretsen
-
og maler den her avstanden.
-
Vi kan også måle den her avstanden pluss den her avstanden
-
pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden.
-
.
-
Den har en begrenset omkrets.
-
Den har tydeligvis også et begrenset areal.
-
.
-
Det kan godt være vi tenker, at det ikke er like bra,
-
og at vi er nødt til å gjette omkretsen en smule bredere enn det.
-
I stedet for å gjøre det så grovt,
-
er vi nødt til å lage mange små linjer,
-
.
-
så vi kan komme tett på kystlinjen, og så syntes vi,
-
at det er ganske mye bedre gjetting.
-
Men la oss si, at hvis vi zoomer nok inn,
-
.
-
vil kystlinjen ligne noe i stil med det her.
-
Kystlinjen vil altså ha alle de små bulene i den.
-
Da vi tok første skritt,
-
målte vi bare det her.
-
Nå tenker vi, at det jo ikke er omkretsen av kystlinjen.
-
Vi er nødt til å gjøre det på mange flere sider.
-
Vi skal gjøre noe i stil med det her
-
for faktisk å finne omkretsen av kystlinjen.
-
Det kan godt være, at vi tenker, at det var en god gjetting av omkretsen,
-
men hvis vi zoomer enda mer inn på den her delen av kystlinjen,
-
finner vi ut av, at det faktisk ikke helt ser ut som dette.
-
Det vil gå inn og ut sånn her.
-
.
-
I stedet for å ha de grove linjene, som bare måler det sånn her,
-
.
-
er vi nødt til å komme enda tettere på.
-
Det kan vi fortsette med,
-
inntil vi kommer ned på det atomare nivå.
-
Den faktiske omkretsen av øy,
-
eller et kontinent, eller hva som helst, er faktisk litt i samme kategori som fraktaler.
-
Vi kan tenke på det som noe,
-
som har en nesten bestemt omkrets.
-
På et eller annet tidspunkt
-
kommer vi ned på et atomart nivå,
-
og så vil det ikke være helt det samme,
-
men det er litt det samme fenomen.
-
Det er interessant å tenke over.
