1
00:00:00,000 --> 00:00:03,090
Vi har en likesidet trekant.

2
00:00:03,090 --> 00:00:05,050
Vi bil gjerne lage andre figurer

3
00:00:05,050 --> 00:00:06,540
ut av den likesidede trekanten.

4
00:00:06,540 --> 00:00:08,980
Det gjør vi ved å ta alle trekantens sider

5
00:00:09,000 --> 00:00:14,540
og dele de i 3 like store deler.

6
00:00:14,540 --> 00:00:18,790
Selv om trekantene ikke er tegnet helt like,

7
00:00:18,790 --> 00:00:20,110
skal vi bare forstå meningen med formelen.

8
00:00:20,110 --> 00:00:21,430
I den midterste delen

9
00:00:21,450 --> 00:00:23,290
konstruerer vi enda en likesidet trekant.

10
00:00:23,290 --> 00:00:25,510
I den midterste delen, som vi har het borte,

11
00:00:25,540 --> 00:00:28,640
konstruerer vi en likesidet trekant.

12
00:00:28,640 --> 00:00:31,550
Det ser sånn her ut.

13
00:00:31,550 --> 00:00:33,860
Nå setter vi inn her borte

14
00:00:33,860 --> 00:00:37,130
enda en likesidet trekant.

15
00:00:37,130 --> 00:00:40,320
Vi er nå gått fra en likesidet trekant

16
00:00:40,340 --> 00:00:43,320
til noe, som ligner en stjerne.

17
00:00:43,370 --> 00:00:45,420
Det gjør vi igjen.

18
00:00:45,420 --> 00:00:48,390
Alle sidene deler vi altså inn i 3 like store deler.

19
00:00:48,390 --> 00:00:51,490
I den midterste linjestykket setter vi inn en likesidet trekant.

20
00:00:51,490 --> 00:00:54,150
.

21
00:00:54,150 --> 00:00:59,280
Vi setter inn en likesidet trekant her.

22
00:00:59,280 --> 00:01:01,660
Det gjør vi på alle trekantens sider.

23
00:01:01,660 --> 00:01:04,560
.

24
00:01:04,560 --> 00:01:10,860
Nå har vi forstått meningen, og trekanten vil nå

25
00:01:10,860 --> 00:01:16,270
så sånn her ut.

26
00:01:16,270 --> 00:01:20,850
For å oppsummerer, så forsvinner den her.

27
00:01:20,850 --> 00:01:22,950
Nå ser den sånn ut.

28
00:01:22,990 --> 00:01:24,210
Så kan vi gjøre det igjen.

29
00:01:24,210 --> 00:01:27,020
Alle linjestykkene deler vi opp i 3 like store deler

30
00:01:27,020 --> 00:01:28,340
og tegner enda en likesidet trekant.

31
00:01:28,340 --> 00:01:32,210
I tillegg til den, den, den, den, den og den.

32
00:01:32,210 --> 00:01:33,270
Nå kan vi godt forstå, hva det er, som skjer.

33
00:01:33,270 --> 00:01:37,020
Det her kan vi fortsette å gjøre.

34
00:01:37,020 --> 00:01:39,710
Det vi skal gjøre i den her videoen er derfor å tenke over,

35
00:01:39,710 --> 00:01:40,860
hva det er, som skjer,

36
00:01:40,860 --> 00:01:42,490
og hva det er, vi tegner.

37
00:01:42,490 --> 00:01:45,090
Vi kan fortsette å gjøre det.

38
00:01:45,090 --> 00:01:48,100
Ved hver gjentagelse ser vi på alle sidene

39
00:01:48,130 --> 00:01:49,520
og deler de i 3 like store deler,

40
00:01:49,520 --> 00:01:52,460
og så vil den neste gjentagelsen være 3 like store deler,

41
00:01:52,460 --> 00:01:53,320
og i den neste gjentagelsen

42
00:01:53,320 --> 00:01:55,480
gjør vi det igjen det midterste linjestykke til enda en likesidet trekant.

43
00:01:55,480 --> 00:01:58,240
Den figuren, vi beskriver her,

44
00:01:58,240 --> 00:02:00,200
kaller vi for Kochs Snøfnugg.

45
00:02:00,200 --> 00:02:02,890
.

46
00:02:02,890 --> 00:02:05,180
Kochs Snøfnugg

47
00:02:05,230 --> 00:02:07,810
ble først beskrevet av mannen, vi ser her,

48
00:02:07,810 --> 00:02:12,490
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.

49
00:02:12,490 --> 00:02:14,640
.

50
00:02:14,670 --> 00:02:17,250
Det er en av de første beskrevne fraktaler.

51
00:02:17,270 --> 00:02:19,850
Det her er altså en fraktal.

52
00:02:19,850 --> 00:02:22,000
Grunnen til, at det er en fraktal,

53
00:02:22,000 --> 00:02:23,790
er at den ligner seg selv

54
00:02:23,810 --> 00:02:26,340
uansett i hvilken målestokk, vi ser den.

55
00:02:26,340 --> 00:02:29,890
Hvis vi ser på den i det her målestokkforholdet,

56
00:02:29,910 --> 00:02:32,410
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.

57
00:02:32,410 --> 00:02:34,890
Hvis vi zoomer inn,

58
00:02:34,910 --> 00:02:37,860
vil vi se det samme mønsteret.

59
00:02:37,860 --> 00:02:39,840
Zoomer vi enda lenger inn,

60
00:02:39,860 --> 00:02:41,520
ser vi det igjen og igjen.

61
00:02:41,580 --> 00:02:43,470
En fraktal er altså noe, som i alle målestokkforhold

62
00:02:43,470 --> 00:02:46,810
ser noenlunde likt ut.

63
00:02:46,810 --> 00:02:48,700
Det er derfor, at det kalles en fraktal.

64
00:02:48,720 --> 00:02:50,150
Det som er interessant

65
00:02:50,200 --> 00:02:53,530
og er grunnen til, at den hører under den her kategorien av geometri er,

66
00:02:53,530 --> 00:02:56,790
at figuren faktisk har en ubegrenset omkrets.

67
00:02:56,790 --> 00:02:58,330
Hvis vi fortsetter å gjøre det,

68
00:02:58,370 --> 00:02:59,900
altså hvis vi vil lage Kochs Snøfnugg,

69
00:02:59,900 --> 00:03:03,260
skal vi gjøre det uendelig antall ganger

70
00:03:03,280 --> 00:03:05,240
på hver enkelt mindre trekant her,

71
00:03:05,280 --> 00:03:09,910
vi fortsetter med å tilføye enda en likesidet trekant på dens side.

72
00:03:09,930 --> 00:03:11,680
For å vise,

73
00:03:11,680 --> 00:03:13,440
at den har en ubegrenset omkrets, ser vi på den siden her borte.

74
00:03:13,440 --> 00:03:16,000
.

75
00:03:16,000 --> 00:03:18,550
Vi starter her, hvor vi begynte

76
00:03:18,550 --> 00:03:20,050
med den originale trekanten. Det er den her siden.

77
00:03:20,080 --> 00:03:21,480
Vi sier, at den har lengden S.

78
00:03:21,520 --> 00:03:23,930
Vi deler den inn i 3 like store deler.

79
00:03:23,960 --> 00:03:26,290
.

80
00:03:26,310 --> 00:03:30,810
Vi har S/3, og det kan vi skrive som

81
00:03:30,810 --> 00:03:35,940
S/3, S/3 og S/3.

82
00:03:35,940 --> 00:03:38,820
I den midterste delen lager vi en likesidet trekant.

83
00:03:38,820 --> 00:03:41,910
.

84
00:03:41,910 --> 00:03:44,090
Alle de her sidene er lik med S/3.

85
00:03:44,090 --> 00:03:47,000
S/3, S/3.

86
00:03:47,000 --> 00:03:50,700
Nå har vi lengden av den nye delen.

87
00:03:50,700 --> 00:03:53,270
Vi kan ikke kalle det en linje mer, da den har en liten bump her.

88
00:03:53,290 --> 00:03:56,880
Lengden av den her delen her borte, den her siden,

89
00:03:56,880 --> 00:03:59,110
har nå ikke mer lengden S.

90
00:03:59,150 --> 00:04:01,620
Den er nå S/3 ganger 4.

91
00:04:01,620 --> 00:04:03,360
Før var den S/3 ganger 3,

92
00:04:03,360 --> 00:04:07,550
men nå har vi 1, 2, 3, 4, segmenter, som heter S/3.

93
00:04:07,550 --> 00:04:10,500
Etter en enkel gang, etter et skritt,

94
00:04:10,500 --> 00:04:14,930
etter vi en enkelt gang har tilføyet trekanter

95
00:04:14,930 --> 00:04:16,300
til våre nye sider,

96
00:04:16,340 --> 00:04:23,560
etter vi har fått bumpet, har vi nå 4 ganger S/3 eller 4/3s.

97
00:04:23,560 --> 00:04:30,950
Hvis den originale omkretsen, når den er en trekant er lik med P minus 0,

98
00:04:30,950 --> 00:04:34,230
etter første trinn, etter vi har sett bump,

99
00:04:34,230 --> 00:04:35,670
er våre omkrets lik med

100
00:04:35,710 --> 00:04:39,880
4/3 ganger den originale omkretsen,

101
00:04:39,880 --> 00:04:42,660
da alle sidene nå vil være 4/3 større.

102
00:04:42,660 --> 00:04:44,270
Hvis den her er laget av tre sider,

103
00:04:44,290 --> 00:04:46,690
er alle sidene nå 4/3 større.

104
00:04:46,690 --> 00:04:48,950
Så er den nye omkretsen 4/3 ganger det.

105
00:04:48,950 --> 00:04:51,980
Nå skal vi bare gjøre neste skritt.

106
00:04:51,980 --> 00:04:54,470
Det er 4/3 ganget det første skrittet.

107
00:04:54,470 --> 00:04:57,740
For hvert skritt vi tar, blir den 4/3 større.

108
00:04:57,790 --> 00:05:00,190
Den blir altså 4/3 større

109
00:05:00,190 --> 00:05:03,550
i forhold til det siste skrittet.

110
00:05:03,610 --> 00:05:05,590
Hvis vi gjør det uendelig antall ganger,

111
00:05:05,590 --> 00:05:10,740
hvis vi altså ganget ethvert tall med 4/3 et uendelig antall ganger,

112
00:05:10,740 --> 00:05:13,760
får vi et uendelig tall, som beskriver en uendelig lengde.

113
00:05:13,760 --> 00:05:16,340
P uendelig

114
00:05:16,360 --> 00:05:19,910
er omkretsen, som hvis vi gjør det uendelig antall ganger, er uendelig.

115
00:05:19,940 --> 00:05:22,140
I seg selv er det ganske gøy

116
00:05:22,190 --> 00:05:24,300
bare å tenke på noe, som har en uendelig omkrets.

117
00:05:24,300 --> 00:05:28,260
Hva som er enda bedre er, at den faktisk har et begrenset areal.

118
00:05:28,260 --> 00:05:30,120
Når vi sier begrenset areal,

119
00:05:30,120 --> 00:05:32,480
dekker det over en avgrenset omfang av plass.

120
00:05:32,480 --> 00:05:34,490
Vi kan faktisk tegne en figur rundt om den her,

121
00:05:34,490 --> 00:05:36,340
og så vil den aldri utvide seg mer enn figuren.

122
00:05:36,340 --> 00:05:38,960
Vi gjør ikke et formelt bevis.

123
00:05:38,960 --> 00:05:41,600
Vi tenker bare over, hva som skjer på hvilken som helst av de her sidene.

124
00:05:41,600 --> 00:05:45,550
I det første skrittet har vi den her trekanten, som blir delt.

125
00:05:45,550 --> 00:05:49,540
Vi tegner likegodt, hva som skjer,

126
00:05:49,540 --> 00:05:52,280
så er det neste gjentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter her borte

127
00:05:52,310 --> 00:05:53,940
og de her 2 tegn her borte.

128
00:05:53,940 --> 00:05:56,230
Så setter vi inn noen trekanter her

129
00:05:56,260 --> 00:05:59,600
og her, og her, og her, og her, og så videre.

130
00:05:59,630 --> 00:06:02,520
Vi skal legge merke til, at vi kan fortsette med å legge fler og fler til.

131
00:06:02,520 --> 00:06:04,980
Vi kan altså legge et uendelig antall av de her bump til,

132
00:06:05,020 --> 00:06:07,070
men vi kommer aldri videre enn utgangspunktet.

133
00:06:07,070 --> 00:06:11,220
Det samme er gjeldene på den siden rett her.

134
00:06:11,220 --> 00:06:13,840
Det gjelder også på den siden her

135
00:06:13,870 --> 00:06:17,540
og også på den her

136
00:06:17,540 --> 00:06:19,550
og den siden her.

137
00:06:19,550 --> 00:06:22,330
Også den siden vi har her.

138
00:06:22,350 --> 00:06:24,590
Selv om vi gjør det et uendelig antall ganger,

139
00:06:24,590 --> 00:06:27,120
vil den her figuren, Kochs Snøfnugg,

140
00:06:27,160 --> 00:06:30,130
aldri ha et større areal enn den avgrensede sekskanten,

141
00:06:30,130 --> 00:06:32,070
og den vil heller ikke ha et større areal

142
00:06:32,070 --> 00:06:34,530
enn en figur, som ligner noe som den her.

143
00:06:34,530 --> 00:06:36,450
Vi tegner en vilkårlig sirkel.

144
00:06:36,450 --> 00:06:38,200
Vi vil gjerne tegne den utenfor sekskanten.

145
00:06:38,200 --> 00:06:39,780
.

146
00:06:39,780 --> 00:06:44,630
Det vi akkurat har tegnet i blå, eller den sekskanten, som er tegnet i lilla,

147
00:06:44,630 --> 00:06:46,820
de har tydeligvis et areal.

148
00:06:46,820 --> 00:06:49,480
Kochs Snøfnugg vil alltid være avgrenset,

149
00:06:49,480 --> 00:06:52,450
også selv om vi kan tilføye de her bumoene et uendelig antall ganget.

150
00:06:52,450 --> 00:06:55,380
Vi har altså sett en masse gøye ting.

151
00:06:55,420 --> 00:06:56,330
For det første er det en fraktal.

152
00:06:56,330 --> 00:06:58,760
Vi kan zoome inn, og den vil fremdeles se ut som det samme.

153
00:06:58,780 --> 00:07:04,950
Enda en ting, en ubestemt omkrets og et bestemt areal.

154
00:07:04,950 --> 00:07:07,830
Det kan være, at vi tenker, det er meget abstrakt.

155
00:07:07,830 --> 00:07:10,120
Ting som de her eksisterer ikke i den virkelige verden.

156
00:07:10,120 --> 00:07:13,240
Det er et eksperiment,

157
00:07:13,240 --> 00:07:14,820
som folk snakker om i fraktalverden.

158
00:07:14,870 --> 00:07:17,770
Det er å finne omkretsen av England

159
00:07:17,820 --> 00:07:19,200
eller hvilken som helst ø.

160
00:07:19,200 --> 00:07:21,170
England ligner litt,

161
00:07:21,170 --> 00:07:22,730
ikke at vi er geografieksperter,

162
00:07:22,730 --> 00:07:24,230
men det ligner noe i stil med det her.

163
00:07:24,230 --> 00:07:26,230
Først gjetter vi kanskje omkretsen

164
00:07:26,230 --> 00:07:27,480
og maler den her avstanden.

165
00:07:27,550 --> 00:07:32,350
Vi kan også måle den her avstanden pluss den her avstanden

166
00:07:32,350 --> 00:07:36,070
pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden.

167
00:07:36,070 --> 00:07:37,660
.

168
00:07:37,660 --> 00:07:38,590
Den har en begrenset omkrets.

169
00:07:38,620 --> 00:07:40,300
Den har tydeligvis også et begrenset areal.

170
00:07:40,300 --> 00:07:42,300
.

171
00:07:42,340 --> 00:07:43,720
Det kan godt være vi tenker, at det ikke er like bra,

172
00:07:43,750 --> 00:07:45,380
og at vi er nødt til å gjette omkretsen en smule bredere enn det.

173
00:07:45,400 --> 00:07:46,960
I stedet for å gjøre det så grovt,

174
00:07:46,980 --> 00:07:48,680
er vi nødt til å lage mange små linjer,

175
00:07:48,680 --> 00:07:50,740
.

176
00:07:50,770 --> 00:07:52,570
så vi kan komme tett på kystlinjen, og så syntes vi,

177
00:07:52,620 --> 00:07:55,010
at det er ganske mye bedre gjetting.

178
00:07:55,010 --> 00:07:58,730
Men la oss si, at hvis vi zoomer nok inn,

179
00:07:58,760 --> 00:08:01,780
.

180
00:08:01,780 --> 00:08:03,980
vil kystlinjen ligne noe i stil med det her.

181
00:08:04,020 --> 00:08:08,190
Kystlinjen vil altså ha alle de små bulene i den.

182
00:08:08,260 --> 00:08:11,150
Da vi tok første skritt,

183
00:08:11,150 --> 00:08:13,580
målte vi bare det her.

184
00:08:13,580 --> 00:08:15,740
Nå tenker vi, at det jo ikke er omkretsen av kystlinjen.

185
00:08:15,740 --> 00:08:17,620
Vi er nødt til å gjøre det på mange flere sider.

186
00:08:17,650 --> 00:08:18,850
Vi skal gjøre noe i stil med det her

187
00:08:18,900 --> 00:08:25,660
for faktisk å finne omkretsen av kystlinjen.

188
00:08:25,660 --> 00:08:29,150
Det kan godt være, at vi tenker, at det var en god gjetting av omkretsen,

189
00:08:29,150 --> 00:08:32,190
men hvis vi zoomer enda mer inn på den her delen av kystlinjen,

190
00:08:32,190 --> 00:08:35,050
finner vi ut av, at det faktisk ikke helt ser ut som dette.

191
00:08:35,050 --> 00:08:37,330
Det vil gå inn og ut sånn her.

192
00:08:37,360 --> 00:08:39,450
.

193
00:08:39,450 --> 00:08:42,810
I stedet for å ha de grove linjene, som bare måler det sånn her,

194
00:08:42,890 --> 00:08:43,850
.

195
00:08:43,900 --> 00:08:46,170
er vi nødt til å komme enda tettere på.

196
00:08:46,220 --> 00:08:48,270
Det kan vi fortsette med,

197
00:08:48,310 --> 00:08:50,150
inntil vi kommer ned på det atomare nivå.

198
00:08:50,150 --> 00:08:54,730
Den faktiske omkretsen av øy,

199
00:08:54,770 --> 00:08:58,790
eller et kontinent, eller hva som helst, er faktisk litt i samme kategori som fraktaler.

200
00:08:58,840 --> 00:09:01,210
Vi kan tenke på det som noe,

201
00:09:01,210 --> 00:09:03,130
som har en nesten bestemt omkrets.

202
00:09:03,180 --> 00:09:04,150
På et eller annet tidspunkt

203
00:09:04,220 --> 00:09:05,480
kommer vi ned på et atomart nivå,

204
00:09:05,520 --> 00:09:06,610
og så vil det ikke være helt det samme,

205
00:09:06,660 --> 00:09:08,510
men det er litt det samme fenomen.

206
00:09:08,540 --> 00:09:10,390
Det er interessant å tenke over.