Vi har en likesidet trekant.
Vi bil gjerne lage andre figurer
ut av den likesidede trekanten.
Det gjør vi ved å ta alle trekantens sider
og dele de i 3 like store deler.
Selv om trekantene ikke er tegnet helt like,
skal vi bare forstå meningen med formelen.
I den midterste delen
konstruerer vi enda en likesidet trekant.
I den midterste delen, som vi har het borte,
konstruerer vi en likesidet trekant.
Det ser sånn her ut.
Nå setter vi inn her borte
enda en likesidet trekant.
Vi er nå gått fra en likesidet trekant
til noe, som ligner en stjerne.
Det gjør vi igjen.
Alle sidene deler vi altså inn i 3 like store deler.
I den midterste linjestykket setter vi inn en likesidet trekant.
.
Vi setter inn en likesidet trekant her.
Det gjør vi på alle trekantens sider.
.
Nå har vi forstått meningen, og trekanten vil nå
så sånn her ut.
For å oppsummerer, så forsvinner den her.
Nå ser den sånn ut.
Så kan vi gjøre det igjen.
Alle linjestykkene deler vi opp i 3 like store deler
og tegner enda en likesidet trekant.
I tillegg til den, den, den, den, den og den.
Nå kan vi godt forstå, hva det er, som skjer.
Det her kan vi fortsette å gjøre.
Det vi skal gjøre i den her videoen er derfor å tenke over,
hva det er, som skjer,
og hva det er, vi tegner.
Vi kan fortsette å gjøre det.
Ved hver gjentagelse ser vi på alle sidene
og deler de i 3 like store deler,
og så vil den neste gjentagelsen være 3 like store deler,
og i den neste gjentagelsen
gjør vi det igjen det midterste linjestykke til enda en likesidet trekant.
Den figuren, vi beskriver her,
kaller vi for Kochs Snøfnugg.
.
Kochs Snøfnugg
ble først beskrevet av mannen, vi ser her,
som var en svensk matematiker, Niels Fabian Helge von Koch.
.
Det er en av de første beskrevne fraktaler.
Det her er altså en fraktal.
Grunnen til, at det er en fraktal,
er at den ligner seg selv
uansett i hvilken målestokk, vi ser den.
Hvis vi ser på den i det her målestokkforholdet,
ligner det, at vi har en masse trekanter med en masse bump på.
Hvis vi zoomer inn,
vil vi se det samme mønsteret.
Zoomer vi enda lenger inn,
ser vi det igjen og igjen.
En fraktal er altså noe, som i alle målestokkforhold
ser noenlunde likt ut.
Det er derfor, at det kalles en fraktal.
Det som er interessant
og er grunnen til, at den hører under den her kategorien av geometri er,
at figuren faktisk har en ubegrenset omkrets.
Hvis vi fortsetter å gjøre det,
altså hvis vi vil lage Kochs Snøfnugg,
skal vi gjøre det uendelig antall ganger
på hver enkelt mindre trekant her,
vi fortsetter med å tilføye enda en likesidet trekant på dens side.
For å vise,
at den har en ubegrenset omkrets, ser vi på den siden her borte.
.
Vi starter her, hvor vi begynte
med den originale trekanten. Det er den her siden.
Vi sier, at den har lengden S.
Vi deler den inn i 3 like store deler.
.
Vi har S/3, og det kan vi skrive som
S/3, S/3 og S/3.
I den midterste delen lager vi en likesidet trekant.
.
Alle de her sidene er lik med S/3.
S/3, S/3.
Nå har vi lengden av den nye delen.
Vi kan ikke kalle det en linje mer, da den har en liten bump her.
Lengden av den her delen her borte, den her siden,
har nå ikke mer lengden S.
Den er nå S/3 ganger 4.
Før var den S/3 ganger 3,
men nå har vi 1, 2, 3, 4, segmenter, som heter S/3.
Etter en enkel gang, etter et skritt,
etter vi en enkelt gang har tilføyet trekanter
til våre nye sider,
etter vi har fått bumpet, har vi nå 4 ganger S/3 eller 4/3s.
Hvis den originale omkretsen, når den er en trekant er lik med P minus 0,
etter første trinn, etter vi har sett bump,
er våre omkrets lik med
4/3 ganger den originale omkretsen,
da alle sidene nå vil være 4/3 større.
Hvis den her er laget av tre sider,
er alle sidene nå 4/3 større.
Så er den nye omkretsen 4/3 ganger det.
Nå skal vi bare gjøre neste skritt.
Det er 4/3 ganget det første skrittet.
For hvert skritt vi tar, blir den 4/3 større.
Den blir altså 4/3 større
i forhold til det siste skrittet.
Hvis vi gjør det uendelig antall ganger,
hvis vi altså ganget ethvert tall med 4/3 et uendelig antall ganger,
får vi et uendelig tall, som beskriver en uendelig lengde.
P uendelig
er omkretsen, som hvis vi gjør det uendelig antall ganger, er uendelig.
I seg selv er det ganske gøy
bare å tenke på noe, som har en uendelig omkrets.
Hva som er enda bedre er, at den faktisk har et begrenset areal.
Når vi sier begrenset areal,
dekker det over en avgrenset omfang av plass.
Vi kan faktisk tegne en figur rundt om den her,
og så vil den aldri utvide seg mer enn figuren.
Vi gjør ikke et formelt bevis.
Vi tenker bare over, hva som skjer på hvilken som helst av de her sidene.
I det første skrittet har vi den her trekanten, som blir delt.
Vi tegner likegodt, hva som skjer,
så er det neste gjentagelse, at vi tegner de her 2 trekanter her borte
og de her 2 tegn her borte.
Så setter vi inn noen trekanter her
og her, og her, og her, og her, og så videre.
Vi skal legge merke til, at vi kan fortsette med å legge fler og fler til.
Vi kan altså legge et uendelig antall av de her bump til,
men vi kommer aldri videre enn utgangspunktet.
Det samme er gjeldene på den siden rett her.
Det gjelder også på den siden her
og også på den her
og den siden her.
Også den siden vi har her.
Selv om vi gjør det et uendelig antall ganger,
vil den her figuren, Kochs Snøfnugg,
aldri ha et større areal enn den avgrensede sekskanten,
og den vil heller ikke ha et større areal
enn en figur, som ligner noe som den her.
Vi tegner en vilkårlig sirkel.
Vi vil gjerne tegne den utenfor sekskanten.
.
Det vi akkurat har tegnet i blå, eller den sekskanten, som er tegnet i lilla,
de har tydeligvis et areal.
Kochs Snøfnugg vil alltid være avgrenset,
også selv om vi kan tilføye de her bumoene et uendelig antall ganget.
Vi har altså sett en masse gøye ting.
For det første er det en fraktal.
Vi kan zoome inn, og den vil fremdeles se ut som det samme.
Enda en ting, en ubestemt omkrets og et bestemt areal.
Det kan være, at vi tenker, det er meget abstrakt.
Ting som de her eksisterer ikke i den virkelige verden.
Det er et eksperiment,
som folk snakker om i fraktalverden.
Det er å finne omkretsen av England
eller hvilken som helst ø.
England ligner litt,
ikke at vi er geografieksperter,
men det ligner noe i stil med det her.
Først gjetter vi kanskje omkretsen
og maler den her avstanden.
Vi kan også måle den her avstanden pluss den her avstanden
pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden pluss den her avstanden.
.
Den har en begrenset omkrets.
Den har tydeligvis også et begrenset areal.
.
Det kan godt være vi tenker, at det ikke er like bra,
og at vi er nødt til å gjette omkretsen en smule bredere enn det.
I stedet for å gjøre det så grovt,
er vi nødt til å lage mange små linjer,
.
så vi kan komme tett på kystlinjen, og så syntes vi,
at det er ganske mye bedre gjetting.
Men la oss si, at hvis vi zoomer nok inn,
.
vil kystlinjen ligne noe i stil med det her.
Kystlinjen vil altså ha alle de små bulene i den.
Da vi tok første skritt,
målte vi bare det her.
Nå tenker vi, at det jo ikke er omkretsen av kystlinjen.
Vi er nødt til å gjøre det på mange flere sider.
Vi skal gjøre noe i stil med det her
for faktisk å finne omkretsen av kystlinjen.
Det kan godt være, at vi tenker, at det var en god gjetting av omkretsen,
men hvis vi zoomer enda mer inn på den her delen av kystlinjen,
finner vi ut av, at det faktisk ikke helt ser ut som dette.
Det vil gå inn og ut sånn her.
.
I stedet for å ha de grove linjene, som bare måler det sånn her,
.
er vi nødt til å komme enda tettere på.
Det kan vi fortsette med,
inntil vi kommer ned på det atomare nivå.
Den faktiske omkretsen av øy,
eller et kontinent, eller hva som helst, er faktisk litt i samme kategori som fraktaler.
Vi kan tenke på det som noe,
som har en nesten bestemt omkrets.
På et eller annet tidspunkt
kommer vi ned på et atomart nivå,
og så vil det ikke være helt det samme,
men det er litt det samme fenomen.
Det er interessant å tenke over.