Area of Diagonal Generated Triangles of Rectangle are Equal
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0:00 - 0:03假设我们有一个长方形
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0:03 - 0:05画出这个长方形
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0:05 - 0:08像这样
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0:08 - 0:12并且我们有两条对角线穿过这个长方形
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0:12 - 0:14这是对角线中的一条
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0:14 - 0:16这是另一条对角线
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0:16 - 0:20长方形的高是h
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0:20 - 0:25这个长度就是高h 它的宽是w
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0:25 - 0:29宽是w
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0:29 - 0:32我们要在这个视频里证明的是
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0:32 - 0:36这四个三角形 面积全相等
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0:36 - 0:39你只是观察这个长方形 这可能很明显
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0:39 - 0:42那个底下的三角形 这个底下的三角形
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0:42 - 0:45底下的三角形
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0:45 - 0:48和上面的三角形面积相等
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0:48 - 0:50它就是上面的三角形 反过来
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0:50 - 0:52这些三角形面积相等
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0:52 - 0:54似乎很明显
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0:54 - 0:57都相等于这个宽 它们的底的长度
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0:57 - 0:59它们的高也一样
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0:59 - 1:02因为这个长度
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1:02 - 1:04正好是长方形高的一半
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1:04 - 1:06它们是对称的
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1:06 - 1:08它们是全等三角形
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1:08 - 1:09它们的比例是一样的
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1:10 - 1:14同样很明显 左边的这个三角形
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1:14 - 1:16左边的这个
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1:16 - 1:21和右边的三角形 面积一样
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1:21 - 1:23这还是很明显的
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1:23 - 1:28不明显的是 这些桔黄色三角形
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1:28 - 1:31和这些绿色和蓝色的三角形 面积一样
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1:31 - 1:33这就是我们 要证明的
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1:33 - 1:35我们要做的就是计算
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1:35 - 1:36这些不同的三角形的面积
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1:36 - 1:38让我们先计算桔黄色三角形
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1:38 - 1:40开始之前 我们要记得
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1:40 - 1:42三角形的面积如何计算
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1:42 - 1:48三角形面积等于二分之一乘以
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1:48 - 1:50底乘以高
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1:50 - 1:52这是基础几何
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1:52 - 1:56记住三角形面积公式 我们来计算桔黄色三角形的面积
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1:56 - 1:58桔黄色三角形的面积
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1:58 - 2:01就是二分之一乘以底
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2:02 - 2:05桔黄色三角形的底就是
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2:05 - 2:06这个长度 w
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2:07 - 2:08是w
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2:08 - 2:10所以就是二分之一乘以 w
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2:10 - 2:12我会这样做
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2:12 - 2:13二分之一乘以 w
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2:13 - 2:16我用不同的颜色标记下 用来写w的颜色
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2:16 - 2:17二分之一乘以 w
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2:18 - 2:21这里的高是什么呢
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2:21 - 2:22长度又是什么呢
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2:22 - 2:24我们已经讨论过了
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2:24 - 2:27它就是长方形的高的一半
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2:27 - 2:33确切地说 乘以长方形高的一半
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2:33 - 2:36乘以长方形高的一半
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2:36 - 2:38结果是什么呢
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2:38 - 2:43二分之一乘以二分之一乘以宽乘以高
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2:43 - 2:46是四分之一乘以宽乘以高
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2:46 - 2:50所以三角形的面积是四分之一宽乘高
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2:50 - 2:51那个也一样
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2:51 - 2:54结论一样 它们的面积相等
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2:54 - 2:57这些绿色或者说绿色和蓝色三角形的面积是什么
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2:57 - 2:59再一次
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2:59 - 3:01我用绿色标记
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3:01 - 3:07面积等于二分之一乘以底
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3:07 - 3:09这些三角形是对称的
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3:09 - 3:12我觉得最适合做底的就是这个边
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3:12 - 3:14这个长度
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3:14 - 3:16或者你看这边的这个三角形 这里的边就是它的底
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3:16 - 3:18它就是长方形的高
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3:18 - 3:21所以我们要处理的底
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3:21 - 3:25在这种情况下 就是长方形的高
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3:25 - 3:27我不想让你们觉得太混乱
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3:27 - 3:29高到底是什么呢
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3:29 - 3:32这些三角形的高
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3:32 - 3:33这些长方形是对称的
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3:33 - 3:34这里的长度是什么呢
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3:34 - 3:36是什么呢
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3:36 - 3:40正好是宽的一半 对不
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3:40 - 3:42这正好是这个 长度的一半
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3:42 - 3:45这个点正好在两条边的中间
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3:45 - 3:47也是这两个边的中间
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3:47 - 3:51这个长度就是宽的一半
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3:51 - 3:56换句话说 这边上的三角形的高就是宽的一半
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3:56 - 3:59因此高等于宽的一半
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3:59 - 4:01有点乱
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4:01 - 4:03底等于长方形的高
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4:03 - 4:06高等于宽的一半
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4:06 - 4:07但你如果算一下
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4:07 - 4:10面积就等于二分之一乘以二分之一
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4:10 - 4:13就是四分之一 高乘以宽
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4:13 - 4:17或者写成四分之一宽乘以高
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4:17 - 4:18面积一样
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4:18 - 4:21这里的面积就是四分之一宽乘以高
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4:21 - 4:24面积是四分之一宽乘以高
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4:24 - 4:28和这些桔黄色三角形面积一样
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4:28 - 4:29这很有道理
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4:29 - 4:33因为它们每个都是长方形面积的四分之一
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4:33 - 4:35但愿你们享受这堂课