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Bem-vindos novamente.
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Nesta apresentação, eu quero mostrar para você como
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nós podemos usar a anti-derivada para encontrar a
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área abaixo da curva
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Agora eu vou focar um pouco mais
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na intuição.
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Então, vamos utilizar um exemplo da física.
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Eu vou usar distância e velocidade.
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E na realidade essa pode ser uma boa revisão para derivadas,
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ou a aplicação de derivadas.
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Então, vamos dizer que eu descrevi a posição
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de algo em movimento
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Vamos dizer isto é 's'
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Vamos dizer que 's' é igual, eu não sei... 16t ao quadrado
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Ok?
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Então 's' é a distância.
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Deixe-me excrever no canto.
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Eu não sei porque se convencionou usar 's' como
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a variável para distância.
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Alguém deve pensar, bom na verdade, porque eles não usam 'd'?
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Porque 'd' é a letra usada para diferencial, eu acho.
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Então 's' é igual a distância, e 't' é igual ao tempo.
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Então esta é a fómula que nos diz a posição
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como quão longe algo está, depois x vezes,
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vamos dizer segudos, ok?
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Então, depois de 4 segundos, nós teríamos ido, vamos dizer...
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a distância está em pés, está em segundos
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Depois de 4 segundos, nós andamos 256 pés [NT: 3 pés são aproximadamente 1 metro].
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Isso é tudo que diz.
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E deixe-me colocar no gráfico.
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desenhando no gráfico.
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Esta é uma linha horrivel.
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Tem que usar a ferramenta da linha, talvez agora eu tenha mais sorte...
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Está um pouco melhor.
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Na verdade, deixe-me apagar isso também, porque eu só quero fazer
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isso se 't' for positivo, ok?
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Porque você não pode voltar no tempo.
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Do propósito... nessa palestra, voce não pode
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voltar no tempo.
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Então isso que devemos fazer.
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Então essa curva vai essencialmente ser uma parábola, certo?
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Isso vai se parecer como isso
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Se na verdade, voce olhar para isso, quero dizer
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olhe apenas com o globo ocular.
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O objeto, todo segundo que você vai, está um pouco
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mais, certo?
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Então isto está acelerando.
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E então nós queremos saber qual a velocidade
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do objeto, certo?
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Isso é, deixe-me ver, isso é 'd', isso é 't', certo?
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E isso é, eu não sei se isso está claro, mas isso é
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alguma coisa como meia parábola.
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Então esta é a função da distância.
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O que a velocidade pode ser?
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Bom s velocidade é apenas, o que é velocidade?
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É a distância dividida pelo tempo, certo?
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E desde que a velocidade está sempre mudando, nós
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queremos saber a velocidade instantânea.
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E isso é na verdade um inicial uso de como
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derivadas são úteis.
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Então nós queremos achar a mudança, a mudança instantânea
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o que diz respeito ao tempo nessa fórmula, certo?
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Porque esta é a fórmula da distância.
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Então se nós conhecemos a taxa de mudança da distância em
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função do tempo, nós sabemos a velocidade, certo?
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Então ds, dt é igual a?
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Então qual é a derivada aqui?
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é 32t, certo?
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e esta é a velocidade.
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Talvez eu deveria voltar, deixe-me escrever isso,
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v é igual a velocidade.
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Eu não sei porque eu mudei as cores, mas eu vou
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com o amarelo.
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Vamos colocar no gráfico essa função.
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Isso agora será um gráfico bem simples para desenhar.
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Uma parábola elegante.
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E então nós desenhamos o eixo-x
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Estou fazendo isso bem bonito...
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OK.
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.
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Então isso, nós iremos desenhar em vermelho... isso é isso se
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tornando uma linha, certo?
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32t é uma linha com inclinação 32.
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Então nós temos uma linha bem inclinada...
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Eu não quero desenhar isso tão inclinado, porquê eu irei usar
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isso para ilustrar...
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Então isso é a velocidade.
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.
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Esta é a velocidade.
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Isso é este gráfico, e isto é a distância, certo?
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Então no caso de você ainda não ter aprendido, e talvez eu deva fazer
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uma apresentação apenas de uso de cálculo em física e
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o uso de derivadas na física.
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Mas se você tiver a fórmula do deslocamento, sua derivada
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é apenas a velocidade!
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E eu penso que se você olhar isso de outra maneira, se você
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tiver a velocidade, sua antiderivada é a distância.
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E embora você não saiba onde, em qual posição
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o objeto iniciou...
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Neste caso, este objeto iniciou na posição zero,
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mas isso poderia ser, você sabe, em qualquer valor [constante], correto?
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Você poderia ter começado aqui e então subir para cima...
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Mas de qualquer maneira, vamos assumir que começamos em zero...
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E então a derivada da distância é a velocidade, a antiderivada
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da velocidade é a distância.
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Tenha isso em mente.
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Bem, vamos olhar para isso...
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Vamos assumir que nós temos como dado apenas este gráfico.
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E como dissemos, você sabe... este é o gráfico da
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velocidade de algum objeto.
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E nós queremos calcular qual é a distância de você
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sabe, depois de t segundo, certo?
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Então este é o eixo-t... este é o eixo da velocidade, correto?
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Então digamos que nos deram apenas isso, e digamos que nós não
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sabemos que a antiderivada da função da velocidade é
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a função da distância.
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Como nós poderíamos calcular isso... como nós poderíamos calcular qual
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é a distância depois de certo tempo?
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Bem, vamos pensar sobre isso.
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Se nós tivermos uma constante... este vermelho se parece com sangue...
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Deixe-me trocar para alguma coisa mais aprazível...
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Se nós tivermos, depois de qualquer pequeno período de tempo, ou se nós
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tivermos uma velocidade constante... e então você tem uma velocidade constante...
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a distância é apenas velocidade vezes tempo, certo?
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Então digamos que nós tivemos um instante curto
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de tempo aqui, correto?
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Eu irei desenhar isso grande, mas digamos que o período de tempo
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foi realmente pequeno...
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E então vamos chamar este pequeno instante... vamos chamar
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isso de delta-t, ou agora dt...
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A maneira como nós usamos dt é como... é como uma mudança em um período
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que é inacreditavelmente pequeno, correto?
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Então isso é como que instantaneamente, mas não de fato...
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Ou isso poderia mesmo ser visto como instantâneo!
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Então isso é quanto tempo se passa.
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Você pode tipo ver isso como uma mudança muito pequena no tempo.
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Então se nós tivermos um lapso de tempo muito pequeno, e nele
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ocorrer uma pequena variação ao longo de tempo, então nós teremos a grosso modo
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uma velocidade constante, digamos que grosseiramente uma velocidade constante é isso...
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Correto, isso é a velocidade, então digamos que nós temos sobre isso nosso lapso
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de tempo muito pequeno, nós temos esta velocidade grosseiramente constante
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neste gráfico.
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E agora vamos fazer isso aqui...
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Nós temos esta velocidade aproximadamente constante...
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Então a distância em que o objeto viaja neste pequeno lapso
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de tempo será o pequeno intervalo vezes a velocidade, certo?
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Isso é assim, não importa qual o valor desta linha vermelha... vezes a
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espessura desta distância, certo?
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Então qual é a outra maneira?
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Visualmente, eu poderia tipo fazer isso avançando no tempo, mas
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o que está ocorrendo aqui?
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Se eu pegar esta mudança no tempo, bem... que é tipo a
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base deste retângulo, e eu multiplicá-lo pela velocidade
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que é realmente apenas a altura deste retângulo, o que
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me resulta?
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Quando eu calculei a área deste retângulo, certo?
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Correto, a velocidade deste instante... vezes a mudança no
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tempo neste instante, é nada menos que a área de
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um retângulo muito fino...
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Fino e alto, correto?
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Isso é próximo de infinitamente delgado, mas isso, nós estamos assumindo apenas
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para este propósito de nele exista alguma noção de largura...
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E então nós determinamos a área nesta coluna, certo?
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Bem, se nós quiséssemos calcular depois a distância que
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você navegou, digamos, você sabe... eu não sei... digamos
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t... digamos t sob nada, certo
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Isso é apenas um t particular...
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Depois de t sob nada segundo, certo?
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Muito bem, e depois tudo o que nós precisamos fazer é... nós devemos apenas
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calcular, nós devemos apenas calcular um bocado de dts, certo?
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Você tem mais um aqui, e você irá calcular a área
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desta coluna... você irá calcular a área desta coluna, a
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área desta coluna, certo?
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Porquê cada uma dessas áreas de cada uma dessas colunas
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representa a distância que o objeto viaja
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sobre esta dt, correto?
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Então se você queria saber quão longe você foi depois de t su
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zero segundos, você em essência irá ter, ou uma aproximação
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seria, a soma de todas estas áreas.
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E à medida que você pega mais e mais, conforme você vai tornando dts menor
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e menor, mais fino, fino, fino...
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E você tem mais e mais e mais e mais destes
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retângulos, e então sua aproximação irá ficar bem
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próxima de... bem, de duas coisas.
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Você irá se aproximar de, se você puder imaginar, a área
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sob esta curva, ou neste caso, a linha...
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Mas você também pode encontrar a distância exata
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que você viajou depois de t sob nada segundo...
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E agora eu estou chegando ao meu limite dos 10 minutos e então eu
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irei suspender aqui, e eu irei continuar o assunto na
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próxima apresentação.
