Bem-vindos novamente.
Nesta apresentação, eu quero mostrar para você como
nós podemos usar a anti-derivada para encontrar a
área abaixo da curva
Agora eu vou focar um pouco mais
na intuição.
Então, vamos utilizar um exemplo da física.
Eu vou usar distância e velocidade.
E na realidade essa pode ser uma boa revisão para derivadas,
ou a aplicação de derivadas.
Então, vamos dizer que eu descrevi a posição
de algo em movimento
Vamos dizer isto é 's'
Vamos dizer que 's' é igual, eu não sei... 16t ao quadrado
Ok?
Então 's' é a distância.
Deixe-me excrever no canto.
Eu não sei porque se convencionou usar 's' como
a variável para distância.
Alguém deve pensar, bom na verdade, porque eles não usam 'd'?
Porque 'd' é a letra usada para diferencial, eu acho.
Então 's' é igual a distância, e 't' é igual ao tempo.
.
Então esta é a fómula que nos diz a posição
como quão longe algo está, depois x vezes,
vamos dizer segudos, ok?
Então, depois de 4 segundos, nós teríamos ido, vamos dizer...
a distância está em pés, está em segundos
Depois de 4 segundos, nós andamos 256 pés [NT: 3 pés são aproximadamente 1 metro].
Isso é tudo que diz.
E deixe-me colocar no gráfico.
desenhando no gráfico.
Esta é uma linha horrivel.
Tem que usar a ferramenta da linha, talvez agora eu tenha mais sorte...
.
Está um pouco melhor.
Na verdade, deixe-me apagar isso também, porque eu só quero fazer
isso se 't' for positivo, ok?
Porque você não pode voltar no tempo.
Do propósito... nessa palestra, voce não pode
voltar no tempo.
Então isso que devemos fazer.
Então essa curva vai essencialmente ser uma parábola, certo?
Isso vai se parecer como isso
.
Se na verdade, voce olhar para isso, quero dizer
olhe apenas com o globo ocular.
O objeto, todo segundo que você vai, está um pouco
mais, certo?
Então isto está acelerando.
E então nós queremos saber qual a velocidade
do objeto, certo?
Isso é, deixe-me ver, isso é 'd', isso é 't', certo?
E isso é, eu não sei se isso está claro, mas isso é
alguma coisa como meia parábola.
Então esta é a função da distância.
O que a velocidade pode ser?
Bom s velocidade é apenas, o que é velocidade?
É a distância dividida pelo tempo, certo?
E desde que a velocidade está sempre mudando, nós
queremos saber a velocidade instantânea.
E isso é na verdade um inicial uso de como
derivadas são úteis.
Então nós queremos achar a mudança, a mudança instantânea
o que diz respeito ao tempo nessa fórmula, certo?
Porque esta é a fórmula da distância.
Então se nós conhecemos a taxa de mudança da distância em
função do tempo, nós sabemos a velocidade, certo?
Então ds, dt é igual a?
Então qual é a derivada aqui?
é 32t, certo?
e esta é a velocidade.
.
Talvez eu deveria voltar, deixe-me escrever isso,
v é igual a velocidade.
Eu não sei porque eu mudei as cores, mas eu vou
com o amarelo.
Vamos colocar no gráfico essa função.
Isso agora será um gráfico bem simples para desenhar.
.
Uma parábola elegante.
E então nós desenhamos o eixo-x
.
Estou fazendo isso bem bonito...
OK.
.
Então isso, nós iremos desenhar em vermelho... isso é isso se
tornando uma linha, certo?
32t é uma linha com inclinação 32.
Então nós temos uma linha bem inclinada...
Eu não quero desenhar isso tão inclinado, porquê eu irei usar
isso para ilustrar...
Então isso é a velocidade.
.
Esta é a velocidade.
Isso é este gráfico, e isto é a distância, certo?
Então no caso de você ainda não ter aprendido, e talvez eu deva fazer
uma apresentação apenas de uso de cálculo em física e
o uso de derivadas na física.
Mas se você tiver a fórmula do deslocamento, sua derivada
é apenas a velocidade!
E eu penso que se você olhar isso de outra maneira, se você
tiver a velocidade, sua antiderivada é a distância.
E embora você não saiba onde, em qual posição
o objeto iniciou...
Neste caso, este objeto iniciou na posição zero,
mas isso poderia ser, você sabe, em qualquer valor [constante], correto?
Você poderia ter começado aqui e então subir para cima...
Mas de qualquer maneira, vamos assumir que começamos em zero...
E então a derivada da distância é a velocidade, a antiderivada
da velocidade é a distância.
Tenha isso em mente.
Bem, vamos olhar para isso...
Vamos assumir que nós temos como dado apenas este gráfico.
E como dissemos, você sabe... este é o gráfico da
velocidade de algum objeto.
E nós queremos calcular qual é a distância de você
sabe, depois de t segundo, certo?
Então este é o eixo-t... este é o eixo da velocidade, correto?
Então digamos que nos deram apenas isso, e digamos que nós não
sabemos que a antiderivada da função da velocidade é
a função da distância.
Como nós poderíamos calcular isso... como nós poderíamos calcular qual
é a distância depois de certo tempo?
Bem, vamos pensar sobre isso.
Se nós tivermos uma constante... este vermelho se parece com sangue...
Deixe-me trocar para alguma coisa mais aprazível...
Se nós tivermos, depois de qualquer pequeno período de tempo, ou se nós
tivermos uma velocidade constante... e então você tem uma velocidade constante...
a distância é apenas velocidade vezes tempo, certo?
Então digamos que nós tivemos um instante curto
de tempo aqui, correto?
Eu irei desenhar isso grande, mas digamos que o período de tempo
foi realmente pequeno...
E então vamos chamar este pequeno instante... vamos chamar
isso de delta-t, ou agora dt...
A maneira como nós usamos dt é como... é como uma mudança em um período
que é inacreditavelmente pequeno, correto?
Então isso é como que instantaneamente, mas não de fato...
Ou isso poderia mesmo ser visto como instantâneo!
Então isso é quanto tempo se passa.
Você pode tipo ver isso como uma mudança muito pequena no tempo.
Então se nós tivermos um lapso de tempo muito pequeno, e nele
ocorrer uma pequena variação ao longo de tempo, então nós teremos a grosso modo
uma velocidade constante, digamos que grosseiramente uma velocidade constante é isso...
.
Correto, isso é a velocidade, então digamos que nós temos sobre isso nosso lapso
de tempo muito pequeno, nós temos esta velocidade grosseiramente constante
neste gráfico.
E agora vamos fazer isso aqui...
Nós temos esta velocidade aproximadamente constante...
Então a distância em que o objeto viaja neste pequeno lapso
de tempo será o pequeno intervalo vezes a velocidade, certo?
Isso é assim, não importa qual o valor desta linha vermelha... vezes a
espessura desta distância, certo?
Então qual é a outra maneira?
Visualmente, eu poderia tipo fazer isso avançando no tempo, mas
o que está ocorrendo aqui?
Se eu pegar esta mudança no tempo, bem... que é tipo a
base deste retângulo, e eu multiplicá-lo pela velocidade
que é realmente apenas a altura deste retângulo, o que
me resulta?
Quando eu calculei a área deste retângulo, certo?
Correto, a velocidade deste instante... vezes a mudança no
tempo neste instante, é nada menos que a área de
um retângulo muito fino...
Fino e alto, correto?
Isso é próximo de infinitamente delgado, mas isso, nós estamos assumindo apenas
para este propósito de nele exista alguma noção de largura...
E então nós determinamos a área nesta coluna, certo?
Bem, se nós quiséssemos calcular depois a distância que
você navegou, digamos, você sabe... eu não sei... digamos
t... digamos t sob nada, certo
Isso é apenas um t particular...
Depois de t sob nada segundo, certo?
Muito bem, e depois tudo o que nós precisamos fazer é... nós devemos apenas
calcular, nós devemos apenas calcular um bocado de dts, certo?
Você tem mais um aqui, e você irá calcular a área
desta coluna... você irá calcular a área desta coluna, a
área desta coluna, certo?
Porquê cada uma dessas áreas de cada uma dessas colunas
representa a distância que o objeto viaja
sobre esta dt, correto?
Então se você queria saber quão longe você foi depois de t su
zero segundos, você em essência irá ter, ou uma aproximação
seria, a soma de todas estas áreas.
E à medida que você pega mais e mais, conforme você vai tornando dts menor
e menor, mais fino, fino, fino...
E você tem mais e mais e mais e mais destes
retângulos, e então sua aproximação irá ficar bem
próxima de... bem, de duas coisas.
Você irá se aproximar de, se você puder imaginar, a área
sob esta curva, ou neste caso, a linha...
Mas você também pode encontrar a distância exata
que você viajou depois de t sob nada segundo...
E agora eu estou chegando ao meu limite dos 10 minutos e então eu
irei suspender aqui, e eu irei continuar o assunto na
próxima apresentação.