-
أهلاً بكم مرة أخرى
-
في هذه المحاضرة، أريد أن أريكم
-
كيفية استخدام الاشتقاق العكسي
-
لإيجاد المساحة تحت منحني ما.
-
في الواقع أريد أن اركز أكثر على
-
ادراك فكرة التكامل.
-
لذلك دعونا نستخدم مثالاً من الفيزياء
-
سأستخدم المسافة و السرعة
-
و بالمناسبة ستكون هذه فرصة مناسبة لمراجعة الاشتقاقات
-
أو بالأحرى تطبيق على الاشتقاقات
-
لنقل انني أحدد موضع
-
جسم متحرك
-
و لنسم هذا الموضع s
-
لنقل ان s يساوي ، لا أدري، 16t للتربيع.
-
حسنا؟
-
اذاً S تدل على مسافة
-
دعوني أكتب هذا في الزاوية
-
لا أدري لماذا جرت العادة على استخدام s
-
رمزا للمتحول الدال على المسافة.
-
قد يعتقد المرء أنه من الأحرى استخدام الحرف d (من distance)
-
ربما لأن الحرف d يستخدم للدلالة على الاشتقاق على ما أظن.
-
إذا، s تساوي المسافة، و t تساوي الزمن.
-
حسنا، ما هذه إلا معادلة تدلنا على موضع
-
أو ما هي المسافة التي قطعها جسم ما
-
بعد عدد معين من الثواني صحيح؟
-
مثلاً بعد، 4 ثوان، سنكون قد قطعنا
-
لنقل المسافة بالقدم و هذه بالثانية
-
بعد 4 ثوان، سنكون قد قطعنا 256 قدما (القدم =0.304 متر).
-
هذا كل ما تقوله المعادلة
-
و دعوني ارسم هذا بيانياً
-
لننشئ رسما بيانيا
-
هذا خط فظيع
-
يجب أن استخدم أداة رسم الخطوط، ربما سيحالفني الحظ
-
هذا أفضل قليلاً
-
في الحقيقة، دعوني أمحي هذا أيضا، لأنني أريد
-
أن أرسم الزمن t بالموجب فقط، صحيح؟
-
لأنك لا تستطيع أن تعود بالزمن إلى الخلف.
-
لموضوع هذه المحاضرة
-
لا يمكنك العودة بالزمن للخلف
-
حسنا، هذا جيد.
-
اذا فالمنحني سيكون قطع مكافئ أليس كذلك؟
-
سيبدو مشابها لهذا الشكل
-
فإذا نظرت إليه أعني
-
أنك اذا فعلا دققت النظر
-
فإن الجسم، في كل ثانية تمر، يتحرك قليلا
-
حسناً؟
-
اذا فالجسم يتسارع.
-
حسنا، ماذا لو أردنا أن
-
نحسب سرعة هذا الجسم؟
-
لنرى، هذه d، و هذه t، صحيح؟
-
و هذه، لا أدري ان كانت واضحة، هذا
-
تقريبا نصف قطع مكافئ
-
اذا فهذه دالة (تابع) المسافة
-
ما هي قيمة السرعة إذا؟
-
حسنا، السرعة هي، ما هي السرعة؟
-
إنها المسافة مقسومة على الزمن، صحيح؟
-
و بما أن السرعة تتغير دائما، فإننا
-
نريد أن نعرف قمة السرعة اللحظية
-
وهذا في الواقع أحد الاستخدامات الاولية التي جعلت
-
الاشتقاقات مفيدة جدا
-
إذا نريد أن نجد التغيير، التغيير اللحظي (للمسافة)
-
تبعا للزمن في هذه المعادلة، صحيح؟
-
لأن هذه معادلة مسافة.
-
لذا إذا كنا نعرف معدل تغير المسافة
-
بالنسبة للزمن، فإننا سنعرف السرعة، صحيح؟
-
إذا ds، dt، تساوي ماذا؟
-
ماهو الاشتقاق هنا؟
-
إنه 32t صحيح؟
-
و هذه هي السرعة.
-
ربما يجب أن أعود إلى...، دعوني أكتب هذا،
-
v تساوي السرعة
-
لا أدري لماذا بدّلت الألوان، ولكن سأحافظ على
-
اللون الأصفر
-
لنرسم هذا التابع
-
سيكون من السهل رسم هذا التابع
-
إنه خط مستقيم!
-
ثم نرسم المحور x.
-
إنني أقوم بعمل جيد
-
حسناً
-
إذا هذا، سأرسم هذا بالأحمر، هذا سيكون
-
خطا مستقيما، صحيح؟
-
32t سيكون خطا مستقيما بميل قدره 32
-
هذا ميل كبير
-
سأرسمه بهذا الميل الكبير لأنني سأستخدم ذلك
-
لتوضيح فكرة.
-
إذا فهذه هي السرعة
-
هذه هي السرعة...
-
هذا المنحني و هذه هي المسافة صحيح؟
-
إذا في حال لم تدرس بعد...، ربما سأقدم محاضرة كاملة
-
عن استخدام التفاضل و التكامل في الفيزياء.
-
استخدام الاشتقاقات في الفيزياء.
-
ولكن لنقل الآن انه اذا كان لديك تابع مسافة، فإن اشتقاقه
-
ما هو إلا السرعة.
-
و بالمناسبة إذا نظرت للفكرة من الناحية الأخرى
-
إذا كان لديك تابع السرعة فإن مشتقه العكسي سيعطيك المسافة
-
على الرغم من أنك لن تعرف حينها موضع الجسم بالتحديد.
-
الجسم انطلق
-
في هذه الحالة، انطلق الجسم من الموضع 0.
-
ولكن كان الممكن، كما تعرف، أن ينطلق من أي نقطة، صحيح؟
-
كان من الممكن أن يبدأ هنا، و يسير منحنيا للأعلى.
-
لكن على كل حال، لنفترض أن الجسم انطلق من الصفر.
-
لذا فمشتق المسافة هو السرعة، المشتق العكسي
-
للسرعة هو المسافة
-
تذكر هذا جيداً
-
دعونا ننظر إلى هذا
-
لنفترض أن المعطى الوحيد لدينا هو
هذا المنحني البياني
-
و قد قلنا، كما نعرف، هذا هو منحني السرعة
-
لجسم ما.
-
و نريد أن نعرف ما هي المسافة المقطوعة
-
بعد t ثانية صحيح؟
-
إذا هذا هو المحور t (محور الزمن)، وهذا هو محور السرعة، صحيح؟
-
لنقل أننا أُعطينا هذا فقط، و لنفترض أننا
-
لم نعلم أن المشتق العكسي لتابع السرعة
-
هو تابع المسافة.
-
كيف لنا أن نعرف
-
ما هي المسافة المقطوعة بعد زمن ما؟
-
دعونا نفكر بهذا.
-
اذا كان لدينا ثابت، هذا اللون الاحمر داكن قليلاً.
-
لنغير للون أكثر مرحاً.
-
إذا كان لدينا، خلال فترة زمنية قصيرة... أو إذا كان
-
لدينا سرعة ثابتة، عندما يكون لدينا سرعة ثابتة
-
تكون المسافة هي مباشرة السرعة ضرب الزمن، صحيح؟
-
لذا لنقل أن لدينا مجالا زمنيا قصيرا جدا
-
حسنأ؟
-
سأرسمه كبيرا ولكن لنفرض أن هذا عبارة عن مجال زمني صغير
-
صغير جدا.
-
و لنطلق على هذا المجال الزمني الصغير جداً
-
دلتا t أو dt
-
الطريقة التي استخدمت فيها dt هي كتغير في الزمن
-
تذكر ان هذا التغير لا متناهي في الصغر
-
لدرجة أنه يكاد يكون لحظة ولكن ليس تماما.
-
أو بإمكاننا حقيقة أن نتخيل هذا التغير كلحظة من الزمن
-
فإذن هذا هي مقدار الوقت الذي يمضي خلال هذه اللحظة
-
بإمكانك تصور هذا كتغير صغير جدا في الزمن
-
إذن إذا كان لدينا تغير صغير جدا في الزمن
-
و خلال هذا التغير الصغير جدا في الزمن،
كان لدينا سرعة ثابتة تقريبا
-
و لنقل ان السرعة الثابتة تقريبا هي هذه.
-
حسناً هذه هي السرعة فلدينا إذن خلال التغير الصغير جدا
-
في الزمن، لدينا هذه السرعة الثابتة تقريبا
-
على هذا الشكل البياني
-
أتدرون، دعوني أفعل ذلك هنا.
-
لدينا هذه السرعة الثابتة تقريباً
-
إذن فالمسافة التي يقطعها الجسم خلال زمن قليل
-
ستكون تساوي الزمن القليل ضرب السرعة، صحيح؟
-
ستكون تساوي قيمة هذا الخط الأحمر مضروبة
-
ب عرض هذه المسافة، صحيح؟
-
لنقل ذلك بطريقة أخرى؟
-
لقد قمت بذلك على المخطط بشكل متسرع، ولكن
-
ما الذي يحصل هنا؟
-
إذا أخذت هذا التغير بالزمن، حسناً، والذي نوعاً ما
-
هو قاعدة هذا المستطيل، و قمت بضربه بقيمة السرعة
-
و التي هي عبارة عن ارتفاع هذا المستطيل
-
ما الذي أحصل عليه؟
-
لقد حصلت على مساحة هذا المستطيل، صحيح؟
-
صحيح،إن ناتج ضرب السرعة في هذه اللحظة بالتغير في الزمن
-
في تلك اللحظة ما هو إلا مساحة
-
هذا المستطيل النحيل
-
نحيل و طويل، صحيح؟
-
هذا المستطيل نحيل بشكل لا نهائي ولكننا
-
لغرض دراستنا فإننا نفترض أن له عرضا معتبراً.
-
اذا فهنا استنتجنا مساحة هذا العمود، صحيح؟
-
حسنا، إذا أردنا أن نحسب المسافة التي
-
يقطعها الجسم بعد... لا أدري، لنقل
-
t، و لنسمها t0 حسنا؟
-
هذا فقط تمييز لهذا المقدار من الزمن
-
إذن فبعد t0 من الزمن نريد حساب المسافة صحيح؟
-
إذن، كل ما علينا فعله هو فقط
-
ايجاد...، ما علينا إلا رسم مجموعة من ال dt أليس كذلك؟
-
سترسم واحدة أخرى هنا، ستحسب المساحة
-
لهذا العمود، ستحسب المساحة لهذا العمود،
-
مساحة هذا العمود، أليس كذلك؟
-
لأن كل من هذه المساحات لكل من هذه الأعمدة
-
يمثل المسافة التي قطعها الجسم
-
خلال الفترة dt أليس كذلك؟
-
إذن إذا أردت أن تعرف المسافة التي قطعها الجسم بعد t0 من الزمن
-
ستحصل على، أو بالتقريب
-
ستكون المسافة عبارة عن مجموع كل هذه المساحات.
-
و كلما جعلت مقدار ال dt أصغر
-
فأصغر فأصغر، انحف فأنحف فأنحف،
-
و أضفت أكثر فأكثر من هذه
-
المستطيلات، عندها سيكون التقريب
-
أكثر قربا من...، حسنا هنالك شيئان هنا
-
ستقترب النتيجة كما يمكنك أن تتخيل إلى
المساحة الواقعة
-
تحت المنحني أو في حالتنا هذه الخط المستقيم
-
و لكنها أيضا ستعطيك أيضا إلى حد بعيد
-
المسافة التي قطعها الجسم خلال t0 ثانية
-
أعتقد أنني وصلت إلى حاجز العشر دقائق لهذه المحاضرة لذلك
-
سأقوم التوقف هنا، و سأتابع هذا الموضوع
-
في المحاضرة التالية.
