WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:02.040
أهلاً بكم مرة أخرى

00:00:02.040 --> 00:00:03.980
في هذه المحاضرة، أريد أن أريكم

00:00:03.980 --> 00:00:06.730
كيفية استخدام الاشتقاق العكسي

00:00:06.730 --> 00:00:08.340
لإيجاد المساحة تحت منحني ما.

00:00:08.340 --> 00:00:09.695
في الواقع أريد أن اركز أكثر على

00:00:09.695 --> 00:00:10.770
ادراك فكرة التكامل.

00:00:10.770 --> 00:00:12.960
لذلك دعونا نستخدم مثالاً من الفيزياء

00:00:12.960 --> 00:00:15.640
سأستخدم المسافة و السرعة

00:00:15.640 --> 00:00:17.550
و بالمناسبة ستكون هذه فرصة مناسبة لمراجعة الاشتقاقات

00:00:17.550 --> 00:00:19.590
أو بالأحرى تطبيق على الاشتقاقات

00:00:19.590 --> 00:00:22.610
لنقل انني أحدد موضع

00:00:22.610 --> 00:00:23.500
جسم متحرك

00:00:23.500 --> 00:00:26.160
و لنسم هذا الموضع s

00:00:26.160 --> 00:00:35.520
لنقل ان s يساوي ، لا أدري، 16t للتربيع.

00:00:35.520 --> 00:00:35.850
حسنا؟

00:00:35.850 --> 00:00:36.880
اذاً S تدل على مسافة

00:00:36.880 --> 00:00:38.120
دعوني أكتب هذا في الزاوية

00:00:38.120 --> 00:00:41.220
لا أدري لماذا جرت العادة على استخدام s

00:00:41.220 --> 00:00:42.250
رمزا للمتحول الدال على المسافة.

00:00:42.250 --> 00:00:45.400
قد يعتقد المرء أنه من الأحرى استخدام الحرف d (من distance)

00:00:45.400 --> 00:00:48.740
ربما لأن الحرف d يستخدم للدلالة على الاشتقاق على ما أظن.

00:00:48.740 --> 00:00:55.800
إذا، s تساوي المسافة، و t تساوي الزمن.

00:00:58.990 --> 00:01:02.580
حسنا، ما هذه إلا معادلة تدلنا على موضع

00:01:02.580 --> 00:01:06.210
أو ما هي المسافة التي قطعها جسم ما

00:01:06.210 --> 00:01:07.140
بعد عدد معين من الثواني صحيح؟

00:01:07.140 --> 00:01:10.620
مثلاً بعد، 4 ثوان، سنكون قد قطعنا

00:01:10.620 --> 00:01:12.750
لنقل المسافة بالقدم و هذه بالثانية

00:01:12.750 --> 00:01:15.690
بعد 4 ثوان، سنكون قد قطعنا 256 قدما (القدم =0.304 متر).

00:01:15.690 --> 00:01:16.660
هذا كل ما تقوله المعادلة

00:01:16.660 --> 00:01:21.250
و دعوني ارسم هذا بيانياً

00:01:21.250 --> 00:01:23.120
لننشئ رسما بيانيا

00:01:23.120 --> 00:01:28.620
هذا خط فظيع

00:01:28.620 --> 00:01:30.430
يجب أن استخدم أداة رسم الخطوط، ربما سيحالفني الحظ

00:01:33.400 --> 00:01:35.730
هذا أفضل قليلاً

00:01:35.730 --> 00:01:38.110
في الحقيقة، دعوني أمحي هذا أيضا، لأنني أريد

00:01:38.110 --> 00:01:40.200
أن أرسم الزمن t بالموجب فقط، صحيح؟

00:01:40.200 --> 00:01:42.480
لأنك لا تستطيع أن تعود بالزمن إلى الخلف.

00:01:42.480 --> 00:01:45.340
لموضوع هذه المحاضرة

00:01:45.340 --> 00:01:47.520
لا يمكنك العودة بالزمن للخلف

00:01:47.520 --> 00:01:51.810
حسنا، هذا جيد.

00:01:51.810 --> 00:01:55.820
اذا فالمنحني سيكون قطع مكافئ أليس كذلك؟

00:01:55.820 --> 00:01:56.720
سيبدو مشابها لهذا الشكل

00:02:01.700 --> 00:02:02.790
فإذا نظرت إليه أعني

00:02:02.790 --> 00:02:04.100
أنك اذا فعلا دققت النظر

00:02:04.100 --> 00:02:06.590
فإن الجسم، في كل ثانية تمر، يتحرك قليلا

00:02:06.590 --> 00:02:07.410
حسناً؟

00:02:07.410 --> 00:02:08.990
اذا فالجسم يتسارع.

00:02:08.990 --> 00:02:11.880
حسنا، ماذا لو أردنا أن

00:02:11.880 --> 00:02:13.960
نحسب سرعة هذا الجسم؟

00:02:13.960 --> 00:02:18.580
لنرى، هذه d، و هذه t، صحيح؟

00:02:18.580 --> 00:02:20.630
و هذه، لا أدري ان كانت واضحة، هذا

00:02:20.630 --> 00:02:22.780
تقريبا نصف قطع مكافئ

00:02:22.780 --> 00:02:24.900
اذا فهذه دالة (تابع) المسافة

00:02:24.900 --> 00:02:26.330
ما هي قيمة السرعة إذا؟

00:02:26.330 --> 00:02:29.170
حسنا، السرعة هي، ما هي السرعة؟

00:02:29.170 --> 00:02:31.590
إنها المسافة مقسومة على الزمن، صحيح؟

00:02:31.590 --> 00:02:33.490
و بما أن السرعة تتغير دائما، فإننا

00:02:33.490 --> 00:02:35.570
نريد أن نعرف قمة السرعة اللحظية

00:02:35.570 --> 00:02:38.620
وهذا في الواقع أحد الاستخدامات الاولية التي جعلت

00:02:38.620 --> 00:02:39.930
الاشتقاقات مفيدة جدا

00:02:39.930 --> 00:02:43.430
إذا نريد أن نجد التغيير، التغيير اللحظي (للمسافة)

00:02:43.430 --> 00:02:45.450
تبعا للزمن في هذه المعادلة، صحيح؟

00:02:45.450 --> 00:02:47.350
لأن هذه معادلة مسافة.

00:02:47.350 --> 00:02:50.410
لذا إذا كنا نعرف معدل تغير المسافة

00:02:50.410 --> 00:02:53.310
بالنسبة للزمن، فإننا سنعرف السرعة، صحيح؟

00:02:53.310 --> 00:03:02.040
إذا ds، dt، تساوي ماذا؟

00:03:02.040 --> 00:03:03.550
ماهو الاشتقاق هنا؟

00:03:03.550 --> 00:03:09.280
إنه 32t صحيح؟

00:03:09.280 --> 00:03:10.320
و هذه هي السرعة.

00:03:14.060 --> 00:03:16.660
ربما يجب أن أعود إلى...، دعوني أكتب هذا،

00:03:16.660 --> 00:03:20.360
v تساوي السرعة

00:03:20.360 --> 00:03:21.880
لا أدري لماذا بدّلت الألوان، ولكن سأحافظ على

00:03:21.880 --> 00:03:23.250
اللون الأصفر

00:03:23.250 --> 00:03:24.510
لنرسم هذا التابع

00:03:24.510 --> 00:03:28.680
سيكون من السهل رسم هذا التابع

00:03:33.670 --> 00:03:35.270
إنه خط مستقيم!

00:03:35.270 --> 00:03:37.160
ثم نرسم المحور x.

00:03:41.910 --> 00:03:43.390
إنني أقوم بعمل جيد

00:03:43.390 --> 00:03:43.790
حسناً

00:03:48.010 --> 00:03:56.370
إذا هذا، سأرسم هذا بالأحمر، هذا سيكون

00:03:56.370 --> 00:03:57.420
خطا مستقيما، صحيح؟

00:03:57.420 --> 00:03:59.450
32t سيكون خطا مستقيما بميل قدره 32

00:03:59.450 --> 00:04:00.530
هذا ميل كبير

00:04:00.530 --> 00:04:02.640
سأرسمه بهذا الميل الكبير لأنني سأستخدم ذلك

00:04:02.640 --> 00:04:05.880
لتوضيح فكرة.

00:04:05.880 --> 00:04:06.855
إذا فهذه هي السرعة

00:04:09.990 --> 00:04:11.580
هذه هي السرعة...

00:04:11.580 --> 00:04:17.330
هذا المنحني و هذه هي المسافة صحيح؟

00:04:17.330 --> 00:04:19.970
إذا في حال لم تدرس بعد...، ربما سأقدم محاضرة كاملة

00:04:19.970 --> 00:04:22.470
عن استخدام التفاضل و التكامل في الفيزياء.

00:04:22.470 --> 00:04:24.000
استخدام الاشتقاقات في الفيزياء.

00:04:24.000 --> 00:04:27.460
ولكن لنقل الآن انه اذا كان لديك تابع مسافة، فإن اشتقاقه

00:04:27.460 --> 00:04:28.730
ما هو إلا السرعة.

00:04:28.730 --> 00:04:30.830
و بالمناسبة إذا نظرت للفكرة من الناحية الأخرى

00:04:30.830 --> 00:04:33.920
إذا كان لديك تابع السرعة فإن مشتقه العكسي سيعطيك المسافة

00:04:33.920 --> 00:04:37.800
على الرغم من أنك لن تعرف حينها موضع الجسم بالتحديد.

00:04:37.800 --> 00:04:38.770
الجسم انطلق

00:04:38.770 --> 00:04:42.080
في هذه الحالة، انطلق الجسم من الموضع 0.

00:04:42.080 --> 00:04:44.420
ولكن كان الممكن، كما تعرف، أن ينطلق من أي نقطة، صحيح؟

00:04:44.420 --> 00:04:46.210
كان من الممكن أن يبدأ هنا، و يسير منحنيا للأعلى.

00:04:46.210 --> 00:04:48.140
لكن على كل حال، لنفترض أن الجسم انطلق من الصفر.

00:04:48.140 --> 00:04:51.170
لذا فمشتق المسافة هو السرعة، المشتق العكسي

00:04:51.170 --> 00:04:52.350
للسرعة هو المسافة

00:04:52.350 --> 00:04:54.020
تذكر هذا جيداً

00:04:54.020 --> 00:04:56.130
دعونا ننظر إلى هذا

00:04:56.130 --> 00:05:03.880
لنفترض أن المعطى الوحيد لدينا هو
هذا المنحني البياني

00:05:03.880 --> 00:05:05.520
و قد قلنا، كما نعرف، هذا هو منحني السرعة

00:05:05.520 --> 00:05:08.850
لجسم ما.

00:05:08.850 --> 00:05:11.930
و نريد أن نعرف ما هي المسافة المقطوعة

00:05:11.930 --> 00:05:13.220
بعد t ثانية صحيح؟

00:05:13.220 --> 00:05:17.340
إذا هذا هو المحور t (محور الزمن)، وهذا هو محور السرعة، صحيح؟

00:05:17.340 --> 00:05:19.490
لنقل أننا أُعطينا هذا فقط، و لنفترض أننا

00:05:19.490 --> 00:05:22.590
لم نعلم أن المشتق العكسي لتابع السرعة

00:05:22.590 --> 00:05:23.250
هو تابع المسافة.

00:05:23.250 --> 00:05:27.340
كيف لنا أن نعرف

00:05:27.340 --> 00:05:29.360
ما هي المسافة المقطوعة بعد زمن ما؟

00:05:29.360 --> 00:05:31.530
دعونا نفكر بهذا.

00:05:31.530 --> 00:05:34.080
اذا كان لدينا ثابت، هذا اللون الاحمر داكن قليلاً.

00:05:34.080 --> 00:05:37.150
لنغير للون أكثر مرحاً.

00:05:37.150 --> 00:05:40.340
إذا كان لدينا، خلال فترة زمنية قصيرة... أو إذا كان

00:05:40.340 --> 00:05:44.090
لدينا سرعة ثابتة، عندما يكون لدينا سرعة ثابتة

00:05:44.090 --> 00:05:46.990
تكون المسافة هي مباشرة السرعة ضرب الزمن، صحيح؟

00:05:46.990 --> 00:05:50.030
لذا لنقل أن لدينا مجالا زمنيا قصيرا جدا

00:05:50.030 --> 00:05:52.090
حسنأ؟

00:05:52.090 --> 00:05:54.190
سأرسمه كبيرا ولكن لنفرض أن هذا عبارة عن مجال زمني صغير

00:05:54.190 --> 00:05:55.640
صغير جدا.

00:05:55.640 --> 00:05:59.330
و لنطلق على هذا المجال الزمني الصغير جداً

00:05:59.330 --> 00:06:02.480
دلتا t أو dt

00:06:02.480 --> 00:06:05.120
الطريقة التي استخدمت فيها dt هي كتغير في الزمن

00:06:05.120 --> 00:06:07.040
تذكر ان هذا التغير لا متناهي في الصغر

00:06:07.040 --> 00:06:09.490
لدرجة أنه يكاد يكون لحظة ولكن ليس تماما.

00:06:09.490 --> 00:06:11.410
أو بإمكاننا حقيقة أن نتخيل هذا التغير كلحظة من الزمن

00:06:11.410 --> 00:06:13.710
فإذن هذا هي مقدار الوقت الذي يمضي خلال هذه اللحظة

00:06:13.710 --> 00:06:16.390
بإمكانك تصور هذا كتغير صغير جدا في الزمن

00:06:16.390 --> 00:06:20.040
إذن إذا كان لدينا تغير صغير جدا في الزمن

00:06:20.040 --> 00:06:22.510
و خلال هذا التغير الصغير جدا في الزمن،
كان لدينا سرعة ثابتة تقريبا

00:06:22.510 --> 00:06:26.500
و لنقل ان السرعة الثابتة تقريبا هي هذه.

00:06:31.250 --> 00:06:34.600
حسناً هذه هي السرعة فلدينا إذن خلال التغير الصغير جدا

00:06:34.600 --> 00:06:37.210
في الزمن، لدينا هذه السرعة الثابتة تقريبا

00:06:37.210 --> 00:06:38.210
على هذا الشكل البياني

00:06:38.210 --> 00:06:41.720
أتدرون، دعوني أفعل ذلك هنا.

00:06:41.720 --> 00:06:43.400
لدينا هذه السرعة الثابتة تقريباً

00:06:43.400 --> 00:06:47.870
إذن فالمسافة التي يقطعها الجسم خلال زمن قليل

00:06:47.870 --> 00:06:50.650
ستكون تساوي الزمن القليل ضرب السرعة، صحيح؟

00:06:50.650 --> 00:06:54.150
ستكون تساوي قيمة هذا الخط الأحمر مضروبة

00:06:54.150 --> 00:06:57.340
ب عرض هذه المسافة، صحيح؟

00:06:57.340 --> 00:06:59.230
لنقل ذلك بطريقة أخرى؟

00:06:59.230 --> 00:07:01.950
لقد قمت بذلك على المخطط بشكل متسرع، ولكن

00:07:01.950 --> 00:07:02.900
ما الذي يحصل هنا؟

00:07:02.900 --> 00:07:08.120
إذا أخذت هذا التغير بالزمن، حسناً، والذي نوعاً ما

00:07:08.120 --> 00:07:12.890
هو قاعدة هذا المستطيل، و قمت بضربه بقيمة السرعة

00:07:12.890 --> 00:07:15.750
و التي هي عبارة عن ارتفاع هذا المستطيل

00:07:15.750 --> 00:07:16.510
ما الذي أحصل عليه؟

00:07:16.510 --> 00:07:20.790
لقد حصلت على مساحة هذا المستطيل، صحيح؟

00:07:20.790 --> 00:07:23.390
صحيح،إن ناتج ضرب السرعة في هذه اللحظة بالتغير في الزمن

00:07:23.390 --> 00:07:26.040
في تلك اللحظة ما هو إلا مساحة

00:07:26.040 --> 00:07:28.130
هذا المستطيل النحيل

00:07:28.130 --> 00:07:29.210
نحيل و طويل، صحيح؟

00:07:29.210 --> 00:07:33.080
هذا المستطيل نحيل بشكل لا نهائي ولكننا

00:07:33.080 --> 00:07:37.040
لغرض دراستنا فإننا نفترض أن له عرضا معتبراً.

00:07:37.040 --> 00:07:39.990
اذا فهنا استنتجنا مساحة هذا العمود، صحيح؟

00:07:39.990 --> 00:07:44.510
حسنا، إذا أردنا أن نحسب المسافة التي

00:07:44.510 --> 00:07:50.960
يقطعها الجسم بعد... لا أدري، لنقل

00:07:50.960 --> 00:07:54.010
t، و لنسمها t0 حسنا؟

00:07:54.010 --> 00:07:55.710
هذا فقط تمييز لهذا المقدار من الزمن

00:07:55.710 --> 00:07:57.980
إذن فبعد t0 من الزمن نريد حساب المسافة صحيح؟

00:07:57.980 --> 00:08:00.840
إذن، كل ما علينا فعله هو فقط

00:08:00.840 --> 00:08:04.010
ايجاد...، ما علينا إلا رسم مجموعة من ال dt أليس كذلك؟

00:08:04.010 --> 00:08:08.900
سترسم واحدة أخرى هنا، ستحسب المساحة

00:08:08.900 --> 00:08:12.630
لهذا العمود، ستحسب المساحة لهذا العمود،

00:08:12.630 --> 00:08:15.490
مساحة هذا العمود، أليس كذلك؟

00:08:15.490 --> 00:08:18.970
لأن كل من هذه المساحات لكل من هذه الأعمدة

00:08:18.970 --> 00:08:21.690
يمثل المسافة التي قطعها الجسم

00:08:21.690 --> 00:08:24.610
خلال الفترة dt أليس كذلك؟

00:08:24.610 --> 00:08:28.506
إذن إذا أردت أن تعرف المسافة التي قطعها الجسم بعد t0 من الزمن

00:08:28.506 --> 00:08:33.340
ستحصل على، أو بالتقريب

00:08:33.340 --> 00:08:36.210
ستكون المسافة عبارة عن مجموع كل هذه المساحات.

00:08:36.210 --> 00:08:40.110
و كلما جعلت مقدار ال dt أصغر

00:08:40.110 --> 00:08:41.430
فأصغر فأصغر، انحف فأنحف فأنحف،

00:08:41.430 --> 00:08:43.810
و أضفت أكثر فأكثر من هذه

00:08:43.810 --> 00:08:47.930
المستطيلات، عندها سيكون التقريب

00:08:47.930 --> 00:08:50.700
أكثر قربا من...، حسنا هنالك شيئان هنا

00:08:50.700 --> 00:08:53.320
ستقترب النتيجة كما يمكنك أن تتخيل إلى
المساحة الواقعة

00:08:53.320 --> 00:08:56.230
تحت المنحني أو في حالتنا هذه الخط المستقيم

00:08:56.230 --> 00:09:01.870
و لكنها أيضا ستعطيك أيضا إلى حد بعيد

00:09:01.870 --> 00:09:06.720
المسافة التي قطعها الجسم خلال t0 ثانية

00:09:06.720 --> 00:09:12.410
أعتقد أنني وصلت إلى حاجز العشر دقائق لهذه المحاضرة لذلك

00:09:12.410 --> 00:09:15.600
سأقوم التوقف هنا، و سأتابع هذا الموضوع

00:09:15.600 --> 00:09:17.280
في المحاضرة التالية.