أهلاً بكم مرة أخرى
في هذه المحاضرة، أريد أن أريكم
كيفية استخدام الاشتقاق العكسي
لإيجاد المساحة تحت منحني ما.
في الواقع أريد أن اركز أكثر على
ادراك فكرة التكامل.
لذلك دعونا نستخدم مثالاً من الفيزياء
سأستخدم المسافة و السرعة
و بالمناسبة ستكون هذه فرصة مناسبة لمراجعة الاشتقاقات
أو بالأحرى تطبيق على الاشتقاقات
لنقل انني أحدد موضع
جسم متحرك
و لنسم هذا الموضع s
لنقل ان s يساوي ، لا أدري، 16t للتربيع.
حسنا؟
اذاً S تدل على مسافة
دعوني أكتب هذا في الزاوية
لا أدري لماذا جرت العادة على استخدام s
رمزا للمتحول الدال على المسافة.
قد يعتقد المرء أنه من الأحرى استخدام الحرف d (من distance)
ربما لأن الحرف d يستخدم للدلالة على الاشتقاق على ما أظن.
إذا، s تساوي المسافة، و t تساوي الزمن.
حسنا، ما هذه إلا معادلة تدلنا على موضع
أو ما هي المسافة التي قطعها جسم ما
بعد عدد معين من الثواني صحيح؟
مثلاً بعد، 4 ثوان، سنكون قد قطعنا
لنقل المسافة بالقدم و هذه بالثانية
بعد 4 ثوان، سنكون قد قطعنا 256 قدما (القدم =0.304 متر).
هذا كل ما تقوله المعادلة
و دعوني ارسم هذا بيانياً
لننشئ رسما بيانيا
هذا خط فظيع
يجب أن استخدم أداة رسم الخطوط، ربما سيحالفني الحظ
هذا أفضل قليلاً
في الحقيقة، دعوني أمحي هذا أيضا، لأنني أريد
أن أرسم الزمن t بالموجب فقط، صحيح؟
لأنك لا تستطيع أن تعود بالزمن إلى الخلف.
لموضوع هذه المحاضرة
لا يمكنك العودة بالزمن للخلف
حسنا، هذا جيد.
اذا فالمنحني سيكون قطع مكافئ أليس كذلك؟
سيبدو مشابها لهذا الشكل
فإذا نظرت إليه أعني
أنك اذا فعلا دققت النظر
فإن الجسم، في كل ثانية تمر، يتحرك قليلا
حسناً؟
اذا فالجسم يتسارع.
حسنا، ماذا لو أردنا أن
نحسب سرعة هذا الجسم؟
لنرى، هذه d، و هذه t، صحيح؟
و هذه، لا أدري ان كانت واضحة، هذا
تقريبا نصف قطع مكافئ
اذا فهذه دالة (تابع) المسافة
ما هي قيمة السرعة إذا؟
حسنا، السرعة هي، ما هي السرعة؟
إنها المسافة مقسومة على الزمن، صحيح؟
و بما أن السرعة تتغير دائما، فإننا
نريد أن نعرف قمة السرعة اللحظية
وهذا في الواقع أحد الاستخدامات الاولية التي جعلت
الاشتقاقات مفيدة جدا
إذا نريد أن نجد التغيير، التغيير اللحظي (للمسافة)
تبعا للزمن في هذه المعادلة، صحيح؟
لأن هذه معادلة مسافة.
لذا إذا كنا نعرف معدل تغير المسافة
بالنسبة للزمن، فإننا سنعرف السرعة، صحيح؟
إذا ds، dt، تساوي ماذا؟
ماهو الاشتقاق هنا؟
إنه 32t صحيح؟
و هذه هي السرعة.
ربما يجب أن أعود إلى...، دعوني أكتب هذا،
v تساوي السرعة
لا أدري لماذا بدّلت الألوان، ولكن سأحافظ على
اللون الأصفر
لنرسم هذا التابع
سيكون من السهل رسم هذا التابع
إنه خط مستقيم!
ثم نرسم المحور x.
إنني أقوم بعمل جيد
حسناً
إذا هذا، سأرسم هذا بالأحمر، هذا سيكون
خطا مستقيما، صحيح؟
32t سيكون خطا مستقيما بميل قدره 32
هذا ميل كبير
سأرسمه بهذا الميل الكبير لأنني سأستخدم ذلك
لتوضيح فكرة.
إذا فهذه هي السرعة
هذه هي السرعة...
هذا المنحني و هذه هي المسافة صحيح؟
إذا في حال لم تدرس بعد...، ربما سأقدم محاضرة كاملة
عن استخدام التفاضل و التكامل في الفيزياء.
استخدام الاشتقاقات في الفيزياء.
ولكن لنقل الآن انه اذا كان لديك تابع مسافة، فإن اشتقاقه
ما هو إلا السرعة.
و بالمناسبة إذا نظرت للفكرة من الناحية الأخرى
إذا كان لديك تابع السرعة فإن مشتقه العكسي سيعطيك المسافة
على الرغم من أنك لن تعرف حينها موضع الجسم بالتحديد.
الجسم انطلق
في هذه الحالة، انطلق الجسم من الموضع 0.
ولكن كان الممكن، كما تعرف، أن ينطلق من أي نقطة، صحيح؟
كان من الممكن أن يبدأ هنا، و يسير منحنيا للأعلى.
لكن على كل حال، لنفترض أن الجسم انطلق من الصفر.
لذا فمشتق المسافة هو السرعة، المشتق العكسي
للسرعة هو المسافة
تذكر هذا جيداً
دعونا ننظر إلى هذا
لنفترض أن المعطى الوحيد لدينا هو هذا المنحني البياني
و قد قلنا، كما نعرف، هذا هو منحني السرعة
لجسم ما.
و نريد أن نعرف ما هي المسافة المقطوعة
بعد t ثانية صحيح؟
إذا هذا هو المحور t (محور الزمن)، وهذا هو محور السرعة، صحيح؟
لنقل أننا أُعطينا هذا فقط، و لنفترض أننا
لم نعلم أن المشتق العكسي لتابع السرعة
هو تابع المسافة.
كيف لنا أن نعرف
ما هي المسافة المقطوعة بعد زمن ما؟
دعونا نفكر بهذا.
اذا كان لدينا ثابت، هذا اللون الاحمر داكن قليلاً.
لنغير للون أكثر مرحاً.
إذا كان لدينا، خلال فترة زمنية قصيرة... أو إذا كان
لدينا سرعة ثابتة، عندما يكون لدينا سرعة ثابتة
تكون المسافة هي مباشرة السرعة ضرب الزمن، صحيح؟
لذا لنقل أن لدينا مجالا زمنيا قصيرا جدا
حسنأ؟
سأرسمه كبيرا ولكن لنفرض أن هذا عبارة عن مجال زمني صغير
صغير جدا.
و لنطلق على هذا المجال الزمني الصغير جداً
دلتا t أو dt
الطريقة التي استخدمت فيها dt هي كتغير في الزمن
تذكر ان هذا التغير لا متناهي في الصغر
لدرجة أنه يكاد يكون لحظة ولكن ليس تماما.
أو بإمكاننا حقيقة أن نتخيل هذا التغير كلحظة من الزمن
فإذن هذا هي مقدار الوقت الذي يمضي خلال هذه اللحظة
بإمكانك تصور هذا كتغير صغير جدا في الزمن
إذن إذا كان لدينا تغير صغير جدا في الزمن
و خلال هذا التغير الصغير جدا في الزمن، كان لدينا سرعة ثابتة تقريبا
و لنقل ان السرعة الثابتة تقريبا هي هذه.
حسناً هذه هي السرعة فلدينا إذن خلال التغير الصغير جدا
في الزمن، لدينا هذه السرعة الثابتة تقريبا
على هذا الشكل البياني
أتدرون، دعوني أفعل ذلك هنا.
لدينا هذه السرعة الثابتة تقريباً
إذن فالمسافة التي يقطعها الجسم خلال زمن قليل
ستكون تساوي الزمن القليل ضرب السرعة، صحيح؟
ستكون تساوي قيمة هذا الخط الأحمر مضروبة
ب عرض هذه المسافة، صحيح؟
لنقل ذلك بطريقة أخرى؟
لقد قمت بذلك على المخطط بشكل متسرع، ولكن
ما الذي يحصل هنا؟
إذا أخذت هذا التغير بالزمن، حسناً، والذي نوعاً ما
هو قاعدة هذا المستطيل، و قمت بضربه بقيمة السرعة
و التي هي عبارة عن ارتفاع هذا المستطيل
ما الذي أحصل عليه؟
لقد حصلت على مساحة هذا المستطيل، صحيح؟
صحيح،إن ناتج ضرب السرعة في هذه اللحظة بالتغير في الزمن
في تلك اللحظة ما هو إلا مساحة
هذا المستطيل النحيل
نحيل و طويل، صحيح؟
هذا المستطيل نحيل بشكل لا نهائي ولكننا
لغرض دراستنا فإننا نفترض أن له عرضا معتبراً.
اذا فهنا استنتجنا مساحة هذا العمود، صحيح؟
حسنا، إذا أردنا أن نحسب المسافة التي
يقطعها الجسم بعد... لا أدري، لنقل
t، و لنسمها t0 حسنا؟
هذا فقط تمييز لهذا المقدار من الزمن
إذن فبعد t0 من الزمن نريد حساب المسافة صحيح؟
إذن، كل ما علينا فعله هو فقط
ايجاد...، ما علينا إلا رسم مجموعة من ال dt أليس كذلك؟
سترسم واحدة أخرى هنا، ستحسب المساحة
لهذا العمود، ستحسب المساحة لهذا العمود،
مساحة هذا العمود، أليس كذلك؟
لأن كل من هذه المساحات لكل من هذه الأعمدة
يمثل المسافة التي قطعها الجسم
خلال الفترة dt أليس كذلك؟
إذن إذا أردت أن تعرف المسافة التي قطعها الجسم بعد t0 من الزمن
ستحصل على، أو بالتقريب
ستكون المسافة عبارة عن مجموع كل هذه المساحات.
و كلما جعلت مقدار ال dt أصغر
فأصغر فأصغر، انحف فأنحف فأنحف،
و أضفت أكثر فأكثر من هذه
المستطيلات، عندها سيكون التقريب
أكثر قربا من...، حسنا هنالك شيئان هنا
ستقترب النتيجة كما يمكنك أن تتخيل إلى المساحة الواقعة
تحت المنحني أو في حالتنا هذه الخط المستقيم
و لكنها أيضا ستعطيك أيضا إلى حد بعيد
المسافة التي قطعها الجسم خلال t0 ثانية
أعتقد أنني وصلت إلى حاجز العشر دقائق لهذه المحاضرة لذلك
سأقوم التوقف هنا، و سأتابع هذا الموضوع
في المحاضرة التالية.