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Terme und Gleichungen
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0:01 - 0:02Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ...
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0:02 - 0:05... sehen wir dort konkrete Zahlen.
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0:05 - 0:08Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ...
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0:08 - 0:09dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ...
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0:09 - 0:10... und wir können das ausrechnen.
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0:10 - 0:12Das ist 28.
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0:12 - 0:14Oder wenn wir 2 mal 7 haben
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0:14 - 0:17oder 3 dividiert (geteilt) durch 4...
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0:17 - 0:19... und in all diesen Beispielen wissen wir genau
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0:19 - 0:21... mit welchen Zahlen wir hier rechnen.
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0:21 - 0:24Wenn wir in das Land der Algebra kommen ...
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0:24 - 0:26- und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen -
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0:26 - 0:30... gibt es das Konzept der "Variablen".
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0:30 - 0:32Varialble kann man sich auf ...
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0:32 - 0:32... unterschiedliche Weise vorstellen.
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0:32 - 0:35Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme)
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0:35 - 0:36... die sich ändern können (die "variabel" sind).
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0:36 - 0:38Die Werte in diesen Termen können sich ändern.
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0:38 - 0:42Ein Beispiel
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0:42 - 0:45x plus 5
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0:45 - 0:47Das hier ist ein Ausdruck (ein Term)
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0:47 - 0:48Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen
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0:48 - 0:51je nach dem wie der Wert von x ist.
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0:51 - 0:57Wenn also x z.B. den Wert 1 hat,
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0:57 - 1:02dann ergibt x plus 5
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1:02 - 1:06den Wert 1.
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1:06 - 1:07Denn x ist ja gleich 1.
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1:07 - 1:08Also haben wir "1 + 5".
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1:08 - 1:11x + 5 ergibt also 6.
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1:11 - 1:17Wenn x gleich -7 ist
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1:17 - 1:22dann ergibt x + 5 ...
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1:22 - 1:24x ist nun -7
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1:24 - 1:29Dann haben wir -7 +5
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1:29 - 1:29Das heißt also
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1:29 - 1:34das x hier ist eine Variable
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1:34 - 1:38und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern.
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1:38 - 1:40Und hier haben wir als Kontext einen Term
(einen mathematischen Ausdruck) -
1:40 - 1:42Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein.
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1:42 - 1:44Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ...
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1:44 - 1:47zwichen einem Term ....
(einem mathematischen Ausdruck) -
1:47 - 1:50Ein Term ist nur ein Ausdruck,
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1:50 - 1:52eine Art Zusammenstellung von Werten,
eine Menge oder Anzahl von etwas. -
1:52 - 1:54Das ist ein Term
("expression".) -
1:54 - 1:57Ein Term ist ...
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1:57 - 1:58... etwas wie das hier ...
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1:58 - 1:59x plus 5.
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1:59 - 2:01Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ...
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2:01 - 2:06... je nachdem
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2:06 - 2:09Und man kann das einfach für verschiedene
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2:09 - 2:11Ein Beispiel für einen anderen Term ...
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2:11 - 2:13... ist y plus z.
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2:13 - 2:14Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck.
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2:14 - 2:17Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ...
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2:17 - 2:19... dann wird das zu 1 plus 2.
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2:19 - 2:21Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ...
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2:21 - 2:24... dann ergibt das 0 plus -1.
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2:24 - 2:26Diese Ausdrücke kann man alle berechnen...
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2:26 - 2:27... und man erhält ein einen Wert abhängig ...
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2:27 - 2:31... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ...
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2:31 - 2:32... und dadurch diesen Ausdruck festlegt.
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2:32 - 2:34Bei einer Gleichung werden ...
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2:34 - 2:35Terme gleich gesetzt.
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2:35 - 2:38Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".).
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2:38 - 2:40Man setzt zwei Dinge gleich.
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2:40 - 2:43Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ...
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2:43 - 2:45dem Ausruck gleich.
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2:45 - 2:48Hier ein Beispiel.
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2:48 - 2:52x plus 3 ergibt gleich 1.
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2:52 - 2:54Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ...
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2:54 - 2:58da steht und es gibt nur ...
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2:58 - 2:59... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss.
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2:59 - 3:02In diesem Beispiel ...
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3:02 - 3:03- das ginge sogar im Kopf -
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3:03 - 3:05Irgendetwas plus 3 ergibt 1?
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3:05 - 3:06Das geht im Kopf.
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3:06 - 3:09-2 plus 3 ergibt 1.
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3:09 - 3:12In diesem Zusammenhang
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3:12 - 3:15schränkt eine Gleichung ein, ...
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3:15 - 3:17Aber das muss nicht immer so einschränkend sein.
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3:17 - 3:19Wie in diesem Beispiel
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3:19 - 3:26x plus y plus z ergibt 5.
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3:26 - 3:28Nun ergibt also dieser Ausdruck
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3:28 - 3:29genau das gleiche wie dieser Ausdruck.
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3:29 - 3:32Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck.
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3:32 - 3:33Und es gibt hier ein paar Einschränkungen.
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3:33 - 3:35Wenn jemand y und z fest legt.
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3:35 - 3:36dann wird dadurch x festgelegt.
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3:36 - 3:38Wenn x und y festgelegt werden, dann .
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3:38 - 3:40ist auch bereits festgelegt, was z sein muss.
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3:40 - 3:42Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind.
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3:42 - 3:44Zum Beispiel
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3:44 - 3:52Wenn y gleich 3 setzen
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3:52 - 3:53was wäre dann in diesem Falle x ?
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3:53 - 3:58wenn also y gleich 3 ist
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3:58 - 3:59dann erhalten wir
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3:59 - 4:00auf der linken Seite
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4:00 - 4:02x plus 3 plus 2
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4:02 - 4:05daraus wird x plus 5
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4:05 - 4:07Dieser Teil hier ergibt 5
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4:07 - 4:09x plus 5 ergibt 5
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4:09 - 4:11Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ?
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4:11 - 4:13Nun wird x festgelegt auf
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4:13 - 4:14x muss also 0 sein
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4:14 - 4:17x ist gleich 0
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4:17 - 4:18Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist
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4:18 - 4:20-du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied
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4:20 - 4:21zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt -
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4:21 - 4:22Bei einer Gleichung werden
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4:22 - 4:24zwei Terme gleich gesetzt.
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4:24 - 4:25Was man sich hier also merken sollte
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4:25 - 4:28ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann,
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4:28 - 4:31abhängig vom Kontext der Aufgabe.
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4:31 - 4:33Und damit das wirklich gut sitzt ...
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4:33 - 4:35machen wir noch ein paar weitere Übungen...
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4:35 - 4:38... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen.
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4:38 - 4:42Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben
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4:42 - 4:43Wenn wir folgenden Term haben,
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4:43 - 4:48x hoch ... y
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4:48 - 4:52Wenn x gleich .... 5 ist,
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4:52 - 4:54und y ist gleich 2
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4:54 - 4:56y = 2
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4:56 - 4:59dann ergibt das für unseren Term
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4:59 - 5:02x wird also zu 5
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5:02 - 5:03x wird 5
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5:03 - 5:04y wird zu 2
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5:04 - 5:07Daraus wird also 5 hoch 2
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5:07 - 5:08ausgerechnet ergibt das
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5:08 - 5:1025
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5:10 - 5:12Wenn wir andere Werte einsetzen
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5:12 - 5:14x sei ...
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5:14 - 5:16- ich nehme die gleiche Farbe -
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5:16 - 5:21x sei ...
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5:21 - 5:25und y sei ... 3
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5:25 - 5:28Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von
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5:28 - 5:30- ich nehme die gleiche Farbe -
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5:30 - 5:32der Ausdruck ergibt also -2
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5:32 - 5:35Das setzen wir nun für x ein
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5:35 - 5:37in diesem Kontext.
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5:37 - 5:38und y ist nun 3
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5:38 - 5:42-2 hoch 3
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5:42 - 5:45das ist (-2) x (-2) x (-2)
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5:45 - 5:47und das ergibt -8
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5:47 - 5:49minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4
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5:49 - 5:52mal minus 2 ergibt minus 8
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5:52 - 5:53ergibt minus 8
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5:53 - 5:56Also, abhängig davon, welche Werte
Also abhängig von diesen Werten -
5:56 - 5:58-wir könnten hier noch ...
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5:58 - 6:00Wir könnten einen Term wie diesen haben
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6:00 - 6:07Die Wurzel aus x plus y und dann
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6:07 - 6:12Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt
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6:12 - 6:16und y habe den Wert 8
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6:16 - 6:19dann berechnet sich dieser Term zu ...
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6:19 - 6:21Überall wo ein x steht
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6:21 - 6:23also eine 1 hier
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6:23 - 6:25und eine 1 da
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6:25 - 6:27und überall wo ein y steht
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6:27 - 6:28setzen wir eine 8 ein.
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6:28 - 6:31In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein.
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6:31 - 6:32Also hier steht eine 8.
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6:32 - 6:35Unter der Wurzel steht also
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6:35 - 6:381 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9.
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6:38 - 6:41Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext
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6:41 - 6:43wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben
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6:43 - 6:46- der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3
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6:46 - 6:471 plus 8 ergibt 9
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6:47 - 6:49daraus die Quadratwurzel ergibt 3
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6:49 - 6:51und somit haben wir 3 minus 1
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6:51 -das ergibt ...
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Not Synced... eine Unbekannte ...
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Not Synced... und einer Gleichung.
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Not Synced... viel komplexere Dinge tun -
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Not Synced... was diese Variable sein kann.
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Not Synced2.
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Not SyncedDas ergit 3.
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Not SyncedWerte von x ausrechnen.
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Not Syncedminus 2
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Not Syncedminus x.
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Not Syncedsetzen wir eine 1 ein.
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Not Syncedund das ergibt -2.
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Not Syncedund z gleich 2
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Not Syncedund z gleich 2
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Not Syncedwelchen Wert diese Variable annimmt.
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