1
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
... eine Unbekannte ...

2
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
... und einer Gleichung.

3
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
... viel komplexere Dinge tun -

4
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
... was diese Variable sein kann.

5
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
2.

6
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Das ergit 3.

7
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
Werte von x ausrechnen.

8
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
minus 2

9
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
minus x.

10
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
setzen wir eine 1 ein.

11
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
und das ergibt -2.

12
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
und z gleich 2

13
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
und z gleich 2

14
99:59:59,999 --> 99:59:59,999
welchen Wert diese Variable annimmt.

15
00:00:00,816 --> 00:00:02,341
Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ...

16
00:00:02,341 --> 00:00:04,592
... sehen wir dort konkrete Zahlen.

17
00:00:04,592 --> 00:00:07,514
Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ...

18
00:00:07,514 --> 00:00:08,715
dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ...

19
00:00:08,715 --> 00:00:10,005
... und wir können das ausrechnen.

20
00:00:10,005 --> 00:00:11,661
Das ist 28.

21
00:00:11,661 --> 00:00:13,898
Oder wenn wir 2 mal 7 haben

22
00:00:13,898 --> 00:00:17,476
oder 3 dividiert (geteilt) durch 4...

23
00:00:17,476 --> 00:00:19,059
... und in all diesen Beispielen wissen wir genau

24
00:00:19,059 --> 00:00:20,872
... mit welchen Zahlen wir hier rechnen.

25
00:00:20,872 --> 00:00:23,776
Wenn wir in das Land der Algebra kommen ...

26
00:00:23,776 --> 00:00:25,873
- und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen -

27
00:00:25,873 --> 00:00:30,051
... gibt es das Konzept der "Variablen".

28
00:00:30,051 --> 00:00:31,533
Varialble kann man sich auf ...

29
00:00:31,533 --> 00:00:32,283
... unterschiedliche Weise vorstellen.

30
00:00:32,283 --> 00:00:34,502
Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme)

31
00:00:34,502 --> 00:00:36,252
... die sich ändern können (die "variabel" sind).

32
00:00:36,252 --> 00:00:38,145
Die Werte in diesen Termen können sich ändern.

33
00:00:38,145 --> 00:00:42,201
Ein Beispiel

34
00:00:42,201 --> 00:00:44,781
x plus 5

35
00:00:44,781 --> 00:00:46,647
Das hier ist ein Ausdruck (ein Term)

36
00:00:46,647 --> 00:00:48,305
Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen

37
00:00:48,305 --> 00:00:51,466
je nach dem wie der Wert von x ist.

38
00:00:51,466 --> 00:00:56,656
Wenn also x z.B. den Wert 1 hat,

39
00:00:56,656 --> 00:01:01,723
dann ergibt x plus 5

40
00:01:01,723 --> 00:01:06,049
den Wert 1.

41
00:01:06,049 --> 00:01:07,070
Denn x ist ja gleich 1.

42
00:01:07,070 --> 00:01:08,321
Also haben wir "1 + 5".

43
00:01:08,321 --> 00:01:11,101
x + 5 ergibt also 6.

44
00:01:11,101 --> 00:01:16,821
Wenn x gleich -7 ist

45
00:01:16,821 --> 00:01:22,183
dann ergibt x + 5 ...

46
00:01:22,183 --> 00:01:24,120
x ist nun -7

47
00:01:24,120 --> 00:01:28,842
Dann haben wir -7 +5

48
00:01:28,842 --> 00:01:29,441
Das heißt also

49
00:01:29,441 --> 00:01:34,019
das x hier ist eine Variable

50
00:01:34,019 --> 00:01:37,705
und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern.

51
00:01:37,705 --> 00:01:39,946
Und hier haben wir als Kontext einen Term 
(einen mathematischen Ausdruck)

52
00:01:39,946 --> 00:01:42,174
Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein.

53
00:01:42,174 --> 00:01:44,299
Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ...

54
00:01:44,299 --> 00:01:46,897
zwichen einem Term ....
(einem mathematischen Ausdruck)

55
00:01:46,897 --> 00:01:49,827
Ein Term ist nur ein Ausdruck,

56
00:01:49,827 --> 00:01:51,734
eine Art Zusammenstellung von Werten, 
eine Menge oder Anzahl von etwas.

57
00:01:51,734 --> 00:01:54,327
Das ist ein Term 
("expression".)

58
00:01:54,327 --> 00:01:56,639
Ein Term ist ...

59
00:01:56,639 --> 00:01:57,976
... etwas wie das hier ...

60
00:01:57,976 --> 00:01:59,260
x plus 5.

61
00:01:59,260 --> 00:02:01,052
Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ...

62
00:02:01,052 --> 00:02:05,745
... je nachdem

63
00:02:05,745 --> 00:02:09,058
Und man kann das einfach für verschiedene

64
00:02:09,058 --> 00:02:11,270
Ein Beispiel für einen anderen Term ...

65
00:02:11,270 --> 00:02:13,150
... ist y plus z.

66
00:02:13,150 --> 00:02:14,340
Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck.

67
00:02:14,340 --> 00:02:16,554
Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ...

68
00:02:16,554 --> 00:02:18,560
... dann wird das zu 1 plus 2.

69
00:02:18,560 --> 00:02:21,392
Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ...

70
00:02:21,392 --> 00:02:24,068
... dann ergibt das 0 plus -1.

71
00:02:24,068 --> 00:02:25,897
Diese Ausdrücke kann man alle berechnen...

72
00:02:25,897 --> 00:02:27,416
... und man erhält ein einen Wert abhängig ...

73
00:02:27,416 --> 00:02:30,811
... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ...

74
00:02:30,811 --> 00:02:32,327
... und dadurch diesen Ausdruck festlegt.

75
00:02:32,327 --> 00:02:34,285
Bei einer Gleichung werden ...

76
00:02:34,285 --> 00:02:35,472
Terme gleich gesetzt.

77
00:02:35,472 --> 00:02:38,100
Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".).

78
00:02:38,100 --> 00:02:40,122
Man setzt zwei Dinge gleich.

79
00:02:40,122 --> 00:02:42,919
Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ...

80
00:02:42,919 --> 00:02:44,643
dem Ausruck gleich.

81
00:02:44,643 --> 00:02:47,869
Hier ein Beispiel.

82
00:02:47,869 --> 00:02:52,062
x plus 3 ergibt gleich 1.

83
00:02:52,062 --> 00:02:54,459
Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ...

84
00:02:54,459 --> 00:02:57,883
da steht und es gibt nur ...

85
00:02:57,883 --> 00:02:59,273
... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss.

86
00:02:59,273 --> 00:03:01,622
In diesem Beispiel ...

87
00:03:01,622 --> 00:03:03,210
- das ginge sogar im Kopf -

88
00:03:03,210 --> 00:03:05,327
Irgendetwas plus 3 ergibt 1?

89
00:03:05,327 --> 00:03:06,432
Das geht im Kopf.

90
00:03:06,432 --> 00:03:08,871
-2 plus 3 ergibt 1.

91
00:03:08,871 --> 00:03:12,033
In diesem Zusammenhang

92
00:03:12,033 --> 00:03:15,134
schränkt eine Gleichung ein, ...

93
00:03:15,134 --> 00:03:17,411
Aber das muss nicht immer so einschränkend sein.

94
00:03:17,411 --> 00:03:18,932
Wie in diesem Beispiel

95
00:03:18,932 --> 00:03:25,734
x plus y plus z ergibt 5.

96
00:03:25,734 --> 00:03:27,784
Nun ergibt also dieser Ausdruck

97
00:03:27,784 --> 00:03:29,368
genau das gleiche wie dieser Ausdruck.

98
00:03:29,368 --> 00:03:31,645
Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck.

99
00:03:31,645 --> 00:03:32,901
Und es gibt hier ein paar Einschränkungen.

100
00:03:32,901 --> 00:03:35,004
Wenn jemand y und z fest legt.

101
00:03:35,004 --> 00:03:36,314
dann wird dadurch x festgelegt.

102
00:03:36,314 --> 00:03:38,226
Wenn x und y festgelegt werden, dann .

103
00:03:38,226 --> 00:03:39,925
ist auch bereits festgelegt, was z sein muss.

104
00:03:39,925 --> 00:03:42,381
Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind.

105
00:03:42,381 --> 00:03:44,060
Zum Beispiel

106
00:03:44,060 --> 00:03:51,637
Wenn y gleich 3 setzen

107
00:03:51,637 --> 00:03:53,393
was wäre dann in diesem Falle x ?

108
00:03:53,393 --> 00:03:58,102
wenn also y gleich 3 ist

109
00:03:58,102 --> 00:03:58,608
dann erhalten wir

110
00:03:58,608 --> 00:04:00,487
auf der linken Seite

111
00:04:00,487 --> 00:04:02,148
x plus 3 plus 2

112
00:04:02,148 --> 00:04:04,998
daraus wird x plus 5

113
00:04:04,998 --> 00:04:06,813
Dieser Teil hier ergibt 5

114
00:04:06,813 --> 00:04:08,975
x plus 5 ergibt 5

115
00:04:08,975 --> 00:04:11,198
Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ?

116
00:04:11,198 --> 00:04:12,632
Nun wird x festgelegt auf

117
00:04:12,632 --> 00:04:14,378
x muss also 0 sein

118
00:04:14,378 --> 00:04:16,938
x ist gleich 0

119
00:04:16,938 --> 00:04:18,235
Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist

120
00:04:18,235 --> 00:04:19,789
-du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied

121
00:04:19,789 --> 00:04:20,803
zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt -

122
00:04:20,803 --> 00:04:21,850
Bei einer Gleichung werden

123
00:04:21,850 --> 00:04:23,669
zwei Terme gleich gesetzt.

124
00:04:23,669 --> 00:04:25,370
Was man sich hier also merken sollte

125
00:04:25,370 --> 00:04:27,994
ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann,

126
00:04:27,994 --> 00:04:31,365
abhängig vom Kontext der Aufgabe.

127
00:04:31,365 --> 00:04:32,778
Und damit das wirklich gut sitzt ...

128
00:04:32,778 --> 00:04:35,218
machen wir noch ein paar weitere Übungen...

129
00:04:35,218 --> 00:04:38,056
... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen.

130
00:04:38,056 --> 00:04:41,595
Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben

131
00:04:41,595 --> 00:04:43,309
Wenn wir folgenden Term haben,

132
00:04:43,309 --> 00:04:47,799
x hoch ... y

133
00:04:47,799 --> 00:04:51,955
Wenn x gleich .... 5 ist,

134
00:04:51,955 --> 00:04:54,311
und y ist gleich 2

135
00:04:54,311 --> 00:04:55,791
y = 2

136
00:04:55,791 --> 00:04:58,908
dann ergibt das für unseren Term

137
00:04:58,908 --> 00:05:01,506
x wird also zu 5

138
00:05:01,506 --> 00:05:02,888
x wird 5

139
00:05:02,888 --> 00:05:04,363
y wird zu 2

140
00:05:04,363 --> 00:05:06,612
Daraus wird also 5 hoch 2

141
00:05:06,612 --> 00:05:08,154
ausgerechnet ergibt das

142
00:05:08,154 --> 00:05:09,785
25

143
00:05:09,785 --> 00:05:11,633
Wenn wir andere Werte einsetzen

144
00:05:11,633 --> 00:05:14,360
x sei ...

145
00:05:14,360 --> 00:05:16,292
- ich nehme die gleiche Farbe -

146
00:05:16,292 --> 00:05:20,965
x sei ...

147
00:05:20,965 --> 00:05:24,772
und y sei ... 3

148
00:05:24,772 --> 00:05:27,839
Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von

149
00:05:27,839 --> 00:05:30,469
- ich nehme die gleiche Farbe -

150
00:05:30,469 --> 00:05:32,386
der Ausdruck ergibt also -2

151
00:05:32,386 --> 00:05:35,376
Das setzen wir nun für x ein

152
00:05:35,376 --> 00:05:36,705
in diesem Kontext.

153
00:05:36,705 --> 00:05:38,172
und y ist nun 3

154
00:05:38,172 --> 00:05:42,080
-2 hoch 3

155
00:05:42,080 --> 00:05:44,577
das ist (-2) x (-2) x (-2)

156
00:05:44,577 --> 00:05:46,895
und das ergibt -8

157
00:05:46,895 --> 00:05:48,567
minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4

158
00:05:48,567 --> 00:05:52,154
mal minus 2 ergibt minus 8

159
00:05:52,154 --> 00:05:53,367
ergibt minus 8

160
00:05:53,367 --> 00:05:55,713
Also, abhängig davon, welche Werte 











Also abhängig von diesen Werten

161
00:05:55,713 --> 00:05:58,280
-wir könnten hier noch ...

162
00:05:58,280 --> 00:05:59,681
Wir könnten einen Term wie diesen haben

163
00:05:59,681 --> 00:06:06,609
Die Wurzel aus x plus y und dann

164
00:06:06,609 --> 00:06:11,878
Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt

165
00:06:11,878 --> 00:06:16,013
und y habe den Wert 8

166
00:06:16,013 --> 00:06:18,571
dann berechnet sich dieser Term zu ...

167
00:06:18,571 --> 00:06:21,422
Überall wo ein x steht

168
00:06:21,422 --> 00:06:23,008
also eine 1 hier

169
00:06:23,008 --> 00:06:24,812
und eine 1 da

170
00:06:24,812 --> 00:06:26,746
und überall wo ein y steht

171
00:06:26,746 --> 00:06:28,413
setzen wir eine 8 ein.

172
00:06:28,413 --> 00:06:30,819
In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein.

173
00:06:30,819 --> 00:06:32,087
Also hier steht eine 8.

174
00:06:32,087 --> 00:06:34,611
Unter der Wurzel steht also

175
00:06:34,611 --> 00:06:37,821
1 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9.

176
00:06:37,821 --> 00:06:40,974
Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext

177
00:06:40,974 --> 00:06:43,119
wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben

178
00:06:43,119 --> 00:06:45,586
- der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3

179
00:06:45,586 --> 00:06:46,503
1 plus 8 ergibt 9

180
00:06:46,503 --> 00:06:48,685
daraus die Quadratwurzel ergibt 3

181
00:06:48,685 --> 00:06:50,769
und somit haben wir 3 minus 1

182
00:06:50,769 --> 99:59:59,999
das ergibt ...