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Wenn wir mit konkreten Rechnungen zu tun haben ...
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... sehen wir dort konkrete Zahlen.
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Wenn wir zum Beispiel 23 + 5 sehen, ...
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dann wissen wir was diese Zahlen hier bedeuten ...
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... und wir können das ausrechnen.
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Das ist 28.
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Oder wenn wir 2 mal 7 haben
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oder 3 dividiert (geteilt) durch 4...
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... und in all diesen Beispielen wissen wir genau
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... mit welchen Zahlen wir hier rechnen.
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Wenn wir in das Land der Algebra kommen ...
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- und das hast Du vorher sicherlich schon oft gesehen -
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... gibt es das Konzept der "Variablen".
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Varialble kann man sich auf ...
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... unterschiedliche Weise vorstellen.
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Aber letzlich sind es nur Werte oder Ausdrücke (Terme)
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... die sich ändern können (die "variabel" sind).
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Die Werte in diesen Termen können sich ändern.
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Ein Beispiel
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x plus 5
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Das hier ist ein Ausdruck (ein Term)
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Und dieser Term kann unterschiedliche Werte annehmen
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je nach dem wie der Wert von x ist.
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Wenn also x z.B. den Wert 1 hat,
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dann ergibt x plus 5
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den Wert 1.
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Denn x ist ja gleich 1.
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Also haben wir "1 + 5".
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x + 5 ergibt also 6.
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Wenn x gleich -7 ist
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dann ergibt x + 5 ...
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x ist nun -7
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Dann haben wir -7 +5
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Das heißt also
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das x hier ist eine Variable
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und sein Wert kann sich je nach Kontext ändern.
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Und hier haben wir als Kontext einen Term
(einen mathematischen Ausdruck)
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Ein anderer Kontext kann eine Gleichung sein.
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Es ist wichtig den Unterschied zu kennen ...
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zwichen einem Term ....
(einem mathematischen Ausdruck)
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Ein Term ist nur ein Ausdruck,
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eine Art Zusammenstellung von Werten,
eine Menge oder Anzahl von etwas.
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Das ist ein Term
("expression".)
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Ein Term ist ...
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... etwas wie das hier ...
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x plus 5.
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Der Wert dieses Ausdrucks kann sich ändern ...
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... je nachdem
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Und man kann das einfach für verschiedene
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Ein Beispiel für einen anderen Term ...
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... ist y plus z.
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Nun haben wir nur Variable in diesem Ausdruck.
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Wenn y den Wert 1 hat und z den Wert 2 ...
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... dann wird das zu 1 plus 2.
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Wenn y den Wert 0 hat und z den Wert -1 ...
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... dann ergibt das 0 plus -1.
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Diese Ausdrücke kann man alle berechnen...
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... und man erhält ein einen Wert abhängig ...
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... davon welchen Wert jede einzelne Variable hat ...
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... und dadurch diesen Ausdruck festlegt.
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Bei einer Gleichung werden ...
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Terme gleich gesetzt.
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Daher heißt es auch "Gleichung" ("equations".).
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Man setzt zwei Dinge gleich.
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Bei einer Gleichung setzt man einen Ausdruck ...
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dem Ausruck gleich.
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Hier ein Beispiel.
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x plus 3 ergibt gleich 1.
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Und in diesem Fall, wenn eine Gleichung ...
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da steht und es gibt nur ...
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... dann kann man ausrechnen was "x" sein muss.
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In diesem Beispiel ...
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- das ginge sogar im Kopf -
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Irgendetwas plus 3 ergibt 1?
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Das geht im Kopf.
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-2 plus 3 ergibt 1.
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In diesem Zusammenhang
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schränkt eine Gleichung ein, ...
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Aber das muss nicht immer so einschränkend sein.
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Wie in diesem Beispiel
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x plus y plus z ergibt 5.
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Nun ergibt also dieser Ausdruck
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genau das gleiche wie dieser Ausdruck.
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Und 5 ist hier eben auch ein Ausdruck.
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Und es gibt hier ein paar Einschränkungen.
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Wenn jemand y und z fest legt.
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dann wird dadurch x festgelegt.
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Wenn x und y festgelegt werden, dann .
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ist auch bereits festgelegt, was z sein muss.
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Aber es hängt davon ab, was diese unterschiedlichen Dinge sind.
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Zum Beispiel
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Wenn y gleich 3 setzen
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was wäre dann in diesem Falle x ?
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wenn also y gleich 3 ist
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dann erhalten wir
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auf der linken Seite
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x plus 3 plus 2
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daraus wird x plus 5
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Dieser Teil hier ergibt 5
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x plus 5 ergibt 5
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Somit: "was" plus 5 ergibt 5 ?
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Nun wird x festgelegt auf
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x muss also 0 sein
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x ist gleich 0
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Der wichtige Punkt an dieser Stelle ist
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-du hast in der Zwischenzeit hoffentlich den Unterschied
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zwischen Term (expression) und Gleichung (equation) festgestellt -
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Bei einer Gleichung werden
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zwei Terme gleich gesetzt.
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Was man sich hier also merken sollte
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ist dass eine Variable verschiedene Werte annehmen kann,
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abhängig vom Kontext der Aufgabe.
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Und damit das wirklich gut sitzt ...
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machen wir noch ein paar weitere Übungen...
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... wo die Variablen verschiedene Werte annehmen.
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Wenn wir zum Beispiel folgenden Ausdruck haben
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Wenn wir folgenden Term haben,
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x hoch ... y
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Wenn x gleich .... 5 ist,
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und y ist gleich 2
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y = 2
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dann ergibt das für unseren Term
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x wird also zu 5
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x wird 5
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y wird zu 2
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Daraus wird also 5 hoch 2
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ausgerechnet ergibt das
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25
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Wenn wir andere Werte einsetzen
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x sei ...
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- ich nehme die gleiche Farbe -
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x sei ...
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und y sei ... 3
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Dann ergibt dieser Ausdruck einen Wert von
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- ich nehme die gleiche Farbe -
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der Ausdruck ergibt also -2
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Das setzen wir nun für x ein
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in diesem Kontext.
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und y ist nun 3
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-2 hoch 3
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das ist (-2) x (-2) x (-2)
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und das ergibt -8
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minus 2 mal minus 2 ergibt plus 4
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mal minus 2 ergibt minus 8
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ergibt minus 8
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Also, abhängig davon, welche Werte
Also abhängig von diesen Werten
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-wir könnten hier noch ...
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Wir könnten einen Term wie diesen haben
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Die Wurzel aus x plus y und dann
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Wenn nun x den Wert ... 1 annimmt
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und y habe den Wert 8
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dann berechnet sich dieser Term zu ...
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Überall wo ein x steht
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also eine 1 hier
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und eine 1 da
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und überall wo ein y steht
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setzen wir eine 8 ein.
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In diesem Kontext setzen wir diese Werte ein.
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Also hier steht eine 8.
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Unter der Wurzel steht also
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1 plus 8, das ergibt also die Quadratwurzel von 9.
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Der ganze Ausdruck vereinfacht sich also in diesem Kontext
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wenn wir diese Variablen auf diese Werte festgelegt haben
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- der ganze Ausdruck vereinfacht sich zu 3
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1 plus 8 ergibt 9
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daraus die Quadratwurzel ergibt 3
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und somit haben wir 3 minus 1
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das ergibt ...
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Not Synced
... eine Unbekannte ...
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Not Synced
... und einer Gleichung.
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Not Synced
... viel komplexere Dinge tun -
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Not Synced
... was diese Variable sein kann.
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Not Synced
2.
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Not Synced
Das ergit 3.
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Not Synced
Werte von x ausrechnen.
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Not Synced
minus 2
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Not Synced
minus x.
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Not Synced
setzen wir eine 1 ein.
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Not Synced
und das ergibt -2.
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Not Synced
und z gleich 2
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Not Synced
und z gleich 2
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Not Synced
welchen Wert diese Variable annimmt.
