-
.
-
В
-
В последното видео заявих, че резултата, който получихме за лицето
-
на триъгълник, който имаше страни с дължини а, b, и c
-
е еквивалентен на Хероновата формула.
-
И това, което искам да направя в това видео е да ви покажа, че това е
-
еквивалентно на формулата на Херон, по същество просто с използването на
-
множество алгебрични манипулации.
-
Първото нещо, което искаме да направим - нека просто поставим това
-
1/2c под коренния знак.
-
1/2c, това е същото нещо като корен квадратен
-
от c квадрат върху 4.
-
Взимате корен квадратен от това и получавате 1/2с.
-
Този целият израз е равен на - вместо да чертаем
-
корени, просто ще напиша квадратния корен на това,
-
на c квадрат върху 4, умножено по всичко това.
-
Просто ще го копирам.
-
По всичко това.
-
Копирам и поставям.
-
Така че, умножено по всичко това.
-
И разбира се, трябва да бъдат разделени.
-
с квадрат върху 4, умножено по всичко това.
-
И след това трябва да затворим квадратния корен.
-
И след това, това нещо...
-
Нека само да разделя c квадрат върху 4.
-
Това ще бъде равно на квадратния корен.
-
Това ще бъде сложно, но мисля, че ще го намерите
-
за задоволително, за да видите как това може да се превърне в нещо толкова
-
просто като Хероновата формула.
-
Корен квадратен от c квадрат върху 4, умножено по а квадрат е c
-
на квадрат, а на квадрат върху 4, минус с квадрат върху 4.
-
Просто раздпределям това.
-
Ще го напиша като числителя на квадрат върху
-
знаменателя на квадрат.
-
Умножено по с на квадрат плюс а на квадрат, минус b
-
на квадрат, цялото на квадрат.
-
Върху - ако повдигна на квадрат знаменателя - това е 4c на квадрат.
-
4c на квадрат.
-
И веднага виждаме, че с на квадрат и това с на квадрат
-
ще се анулират.
-
Нека да затворя всичките скоби така.
-
И, разбира се, това 4 по това 4, това ще се
-
отрази в - нека го напиша по този начин.
-
Това е същото нещо като 4 на квадрат.
-
И вместо да пиша 16, ще видите защо
-
пиша това.
-
Сега мога да напиша това отново,
-
като...
-
Това ще бъде равно на корен квадратен -
-
произволно сменям цветовете - от ca върху 2 на квадрат.
-
ca върху 2 на квадрат
-
Това е същото нещо като това.
-
Нали?
-
Просто го пиша като цялото нещо на квадрат.
-
Ако повдигна на квадрат това, това е c на квадрат, а на квадрат върху 2
-
на квадрат върху 4, минус - ще напиша цялото това нещо
-
като израз на квадрат.
-
Това е c на квадрат плюс а на квадрат, минус
-
b на квадрат, върху 4.
-
И ние повдигаме на квадрат и числителя, и знаменателя.
-
Повдигаме на квадрат и числителя, и знаменателя.
-
Сега, това може да ви се стори малко интересно.
-
Нека да направя скобите в малко по-различен цвят.
-
Може би си спомняте от разлагането на полиноми, че ако
-
имам нещо от вида на x на квадрат минус y на квадрат, това
-
се разлага на x плюс y, по x минус y.
-
И ние ще използваме това отново и отново.
-
Сега, ако наречем ca върху 2 - x и наричем това голямо нещо
-
y, тогава имаме x на квадрат минус y на квадрат.
-
Така че, може да го разложим.
-
Цялото това нещо ще бъде равно на квадратния корен от
-
x плюс y, или в този случай е ca върху 2 плюс y, което е
-
c на квадрат плюс а на квадрат, минус b на квадрат върху 4.
-
Умножено по x минус y.
-
Така че, това е нашето x.
-
са върху 2, минус всичките тези неща тук.
-
Или дори по-добре, нека просто кажа плюс и след това
-
просто да напиша отрицателните.
-
И така, плюс минус c на квадрат, минус а на квадрат, плюс b на квадрат.
-
Всичко това върху 4.
-
Всичко, което направих тук е, че казах, че това е същото нещо като това
-
плюс това, това плюс това, умножено по това минус това, това
-
минус - казах просто плюс отрицателното на това.
-
Минус c на квадрат, минус а на квадрат, плюс b на квадрат.
-
Всичко, което направих е това там.
-
Сега да видим дали можем да опростим това, или ако
-
можем да добавим тези дроби.
-
Можем да получим общ знаменател.
-
са върху 2, това е същото като 2ca върху 4.
-
са върху 2, това е същото като 2ca върху 4, просто
-
умножаваме числителя и знаменателя по 2.
-
И сега можем да добавим числителителите.
-
И така, целият наш израз сега, ще бъде равен на квадратния
-
корен от този първия израз, ще стане - и аз ще
-
го напиша по този начин.
-
Ще напиша c на квадрат плюс 2ca, плюс а на квадрат, минус b
-
на квадрат, всичкото това върху 4.
-
Това е нашия първи израз.
-
И след това нашият втори израз ще стане - добре,
-
всичко ще бъде върху 4, просто ще напиша
-
това сега.
-
Всичко върху 4.
-
Можем да напишем това, като b на квадрат.
-
И след това можем да напишем това като b на квадрат, минус с на квадрат,
-
минус 2ca, плюс а на квадрат.
-
Само за да се уверите, имам минус а на квадрат тук.
-
Плюс, умножено по минус, все още е минус а на квадрат.
-
Имам плюс 2ca тук.
-
Минус умножено по минус, това е плюс 2ca.
-
Имам минус c на квадрат тук.
-
Имам минус c на квадрат тук.
-
Така че, тези две неща са еквивалентни.
-
Следващото нещо, което трябва да различим, или се надявам, че можем да
-
различим е, че това тук - може да се получи малко
-
разхвърляно - това е същото нещо като c плюс а квадрат.
-
Нека напиша това.
-
Това е равно на корен квадратен от, отворям скобите, това
-
тук е c плюс а квадрат, минус b квадрат, върху 4.
-
Това е този първия член.
-
И след това втория член.
-
Това тук е същото като c минус а на квадрат.
-
Така че, цялото това нещо ще опростим до b на квадрат
-
минус с, минус а на квадрат, всичкото това върху 4.
-
Имаме някакъв напредък.
-
Както ви казах, това е сложна задача.
-
Но виждаме някои чисти приложения на разлагане на
-
полиноми и виждаме, как доста странно изглеждащо
-
уравнение, може да бъде превърнато в просто.
-
Сега можем да използваме точно същия начин - имаме този
-
модел - нещо на квадрат минус нещо друго на квадрат.
-
Нещо на квадрат минус нещо друго на квадрат.
-
Така че, можем да го разложим.
-
Ще го направя в същия ред.
-
Това ще бъде равно на - ще го напиша
-
малко по-малко, за да не остана без място -
-
корен квадратен.
-
Това ще се разложи на това плюс това.
-
Така че, с плюс а, плюс b, умножено по c, плюс а, минус b.
-
Нали?
-
Това е точно същия модел, който направих тук.
-
Това е х на квадрат, това е y на квадрат.
-
Умножено по c плюс а, минус b, всичкото това върху 4.
-
И тогава получаваме това.
-
Това ще бъде b плюс с, минус а.
-
Ще имаме b плюс с, минус а.
-
Нека превъртя малко надясно.
-
По b плюс c минус а - това е x плюс y - умножено по
-
b минус с, минус а.
-
Или това е същото нещо като b минус с, плюс а.
-
Това е същото нещо като b минус с, минус а.
-
Нали?
-
Добре.
-
И всичкото това върху 4.
-
Сега мога да пренапиша целия този израз.
-
Не искам да остана без място.
-
Мога да пренапиша целия този израз като - 4 е
-
произведението на 2 по 2.
-
4 е произведението на 2 по 2.
-
Целият наш израз е безспорно опростен
-
до това, че е равен на корен квадратен - и това е наистина последния
-
етап - на това тук, което може просто да напиша като
-
а плюс b, плюс c върху 2.
-
Това е този член там.
-
Умножен по този член.
-
Умножени по този член.
-
Нека напиша опростяването тук. c плюс а,
-
минус b, това е същото нещо като a плюс b, плюс c, минус 2b.
-
Тези две неща са еквивалентни.
-
Нали?
-
Имате а, имате c, и след това b, минус 2b, ще бъде
-
равно на минус b.
-
Нали? b минус 2b, това е минус b.
-
Така че, този следващ член ще бъде а плюс b, плюс
-
c минус 2b, върху 2.
-
Или вместо да го пишем по този начин, нека да напиша това
-
върху 2, минус това върху 2.
-
И след това нашият следващ член тук.
-
Точно същата логика.
-
Това е същото нещо като а плюс b, плюс c, минус 2а,
-
всичкото това върху 2.
-
Нали?
-
Ако добавим минус 2а към а, получаваме минус а.
-
Така че, получаваме b плюс с, минус а.
-
Това са еднакви неща.
-
Всичко това върху 2 или можем да разделим знаменателите,
-
точно като това върху 2.
-
И след това един последен член.
-
Може би вече разпознахте правилото на
-
Хероновата формула, което се показва.
-
Нямах предвид правилото на Херон - на Хероновата формула.
-
Този член там е точно същото нещо като
-
а плюс b, плюс c, минус 2c.
-
Нали?
-
Изваждате 2c от c, получавате минус c и след това
-
все още имате а и b.
-
И тогава всичко това върху 2.
-
Можете да напишете това върху 2, минус това върху 2.
-
И разбира се вземаме квадратния корен
-
от всичките тези неща.
-
Ако определим, че S е равно на а плюс b, плюс с върху
-
2, след това, това уравнение се опростява доста.
-
Това тук е S.
-
Това е S.
-
Това там е S.
-
И това там е S.
-
И това също се опростява доста.
-
Минус 2b върху 2, това е точно същото нещо като минус b.
-
Минус 2а върху 2, това е същото нещо като минус а.
-
Минус 2с върху 2, това е същото нещо като минус c.
-
Така че, това цялото уравнение за нашето лице сега е равно на - ще
-
напиша отново квадратния корен.
-
Квадрата, корен квадратен от S - това е точно това там.
-
От S по
-
Ще го направя в същите цветове.
-
Умножено по S минус b, по това е S минус а, по - и сме
-
на последното - S минус c.
-
S минус c.
-
Доказахме, че Хероновата формула е точно същото нещо
-
като това, което се оказа в края на последното видео.
-
Това беше доста ясно.
-
И ние просто трябваше да използваме малко сложна алгебра,
-
за да го докажем в действителност.
