.
В
В последното видео заявих, че резултата, който получихме за лицето
на триъгълник, който имаше страни с дължини а, b, и c
е еквивалентен на Хероновата формула.
И това, което искам да направя в това видео е да ви покажа, че това е
еквивалентно на формулата на Херон, по същество просто с използването на
множество алгебрични манипулации.
Първото нещо, което искаме да направим - нека просто поставим това
1/2c под коренния знак.
1/2c, това е същото нещо като корен квадратен
от c квадрат върху 4.
Взимате корен квадратен от това и получавате 1/2с.
Този целият израз е равен на - вместо да чертаем
корени, просто ще напиша квадратния корен на това,
на c квадрат върху 4, умножено по всичко това.
Просто ще го копирам.
По всичко това.
Копирам и поставям.
Така че, умножено по всичко това.
И разбира се, трябва да бъдат разделени.
с квадрат върху 4, умножено по всичко това.
И след това трябва да затворим квадратния корен.
И след това, това нещо...
Нека само да разделя c квадрат върху 4.
Това ще бъде равно на квадратния корен.
Това ще бъде сложно, но мисля, че ще го намерите
за задоволително, за да видите как това може да се превърне в нещо толкова
просто като Хероновата формула.
Корен квадратен от c квадрат върху 4, умножено по а квадрат е c
на квадрат, а на квадрат върху 4, минус с квадрат върху 4.
Просто раздпределям това.
Ще го напиша като числителя на квадрат върху
знаменателя на квадрат.
Умножено по с на квадрат плюс а на квадрат, минус b
на квадрат, цялото на квадрат.
Върху - ако повдигна на квадрат знаменателя - това е 4c на квадрат.
4c на квадрат.
И веднага виждаме, че с на квадрат и това с на квадрат
ще се анулират.
Нека да затворя всичките скоби така.
И, разбира се, това 4 по това 4, това ще се
отрази в - нека го напиша по този начин.
Това е същото нещо като 4 на квадрат.
И вместо да пиша 16, ще видите защо
пиша това.
Сега мога да напиша това отново,
като...
Това ще бъде равно на корен квадратен -
произволно сменям цветовете - от ca върху 2 на квадрат.
ca върху 2 на квадрат
Това е същото нещо като това.
Нали?
Просто го пиша като цялото нещо на квадрат.
Ако повдигна на квадрат това, това е c на квадрат, а на квадрат върху 2
на квадрат върху 4, минус - ще напиша цялото това нещо
като израз на квадрат.
Това е c на квадрат плюс а на квадрат, минус
b на квадрат, върху 4.
И ние повдигаме на квадрат и числителя, и знаменателя.
Повдигаме на квадрат и числителя, и знаменателя.
Сега, това може да ви се стори малко интересно.
Нека да направя скобите в малко по-различен цвят.
Може би си спомняте от разлагането на полиноми, че ако
имам нещо от вида на x на квадрат минус y на квадрат, това
се разлага на x плюс y, по x минус y.
И ние ще използваме това отново и отново.
Сега, ако наречем ca върху 2 - x и наричем това голямо нещо
y, тогава имаме x на квадрат минус y на квадрат.
Така че, може да го разложим.
Цялото това нещо ще бъде равно на квадратния корен от
x плюс y, или в този случай е ca върху 2 плюс y, което е
c на квадрат плюс а на квадрат, минус b на квадрат върху 4.
Умножено по x минус y.
Така че, това е нашето x.
са върху 2, минус всичките тези неща тук.
Или дори по-добре, нека просто кажа плюс и след това
просто да напиша отрицателните.
И така, плюс минус c на квадрат, минус а на квадрат, плюс b на квадрат.
Всичко това върху 4.
Всичко, което направих тук е, че казах, че това е същото нещо като това
плюс това, това плюс това, умножено по това минус това, това
минус - казах просто плюс отрицателното на това.
Минус c на квадрат, минус а на квадрат, плюс b на квадрат.
Всичко, което направих е това там.
Сега да видим дали можем да опростим това, или ако
можем да добавим тези дроби.
Можем да получим общ знаменател.
са върху 2, това е същото като 2ca върху 4.
са върху 2, това е същото като 2ca върху 4, просто
умножаваме числителя и знаменателя по 2.
И сега можем да добавим числителителите.
И така, целият наш израз сега, ще бъде равен на квадратния
корен от този първия израз, ще стане - и аз ще
го напиша по този начин.
Ще напиша c на квадрат плюс 2ca, плюс а на квадрат, минус b
на квадрат, всичкото това върху 4.
Това е нашия първи израз.
И след това нашият втори израз ще стане - добре,
всичко ще бъде върху 4, просто ще напиша
това сега.
Всичко върху 4.
Можем да напишем това, като b на квадрат.
И след това можем да напишем това като b на квадрат, минус с на квадрат,
минус 2ca, плюс а на квадрат.
Само за да се уверите, имам минус а на квадрат тук.
Плюс, умножено по минус, все още е минус а на квадрат.
Имам плюс 2ca тук.
Минус умножено по минус, това е плюс 2ca.
Имам минус c на квадрат тук.
Така че, тези две неща са еквивалентни.
Следващото нещо, което трябва да различим, или се надявам, че можем да
различим е, че това тук - може да се получи малко
разхвърляно - това е същото нещо като c плюс а квадрат.
Нека напиша това.
Това е равно на корен квадратен от, отворям скобите, това
тук е c плюс а квадрат, минус b квадрат, върху 4.
Това е този първия член.
И след това втория член.
Това тук е същото като c минус а на квадрат.
Така че, цялото това нещо ще опростим до b на квадрат
минус с, минус а на квадрат, всичкото това върху 4.
Имаме някакъв напредък.
Както ви казах, това е сложна задача.
Но виждаме някои чисти приложения на разлагане на
полиноми и виждаме, как доста странно изглеждащо
уравнение, може да бъде превърнато в просто.
Сега можем да използваме точно същия начин - имаме този
модел - нещо на квадрат минус нещо друго на квадрат.
Нещо на квадрат минус нещо друго на квадрат.
Така че, можем да го разложим.
Ще го направя в същия ред.
Това ще бъде равно на - ще го напиша
малко по-малко, за да не остана без място -
корен квадратен.
Това ще се разложи на това плюс това.
Така че, с плюс а, плюс b, умножено по c, плюс а, минус b.
Нали?
Това е точно същия модел, който направих тук.
Това е х на квадрат, това е y на квадрат.
Умножено по c плюс а, минус b, всичкото това върху 4.
И тогава получаваме това.
Това ще бъде b плюс с, минус а.
Ще имаме b плюс с, минус а.
Нека превъртя малко надясно.
По b плюс c минус а - това е x плюс y - умножено по
b минус с, минус а.
Или това е същото нещо като b минус с, плюс а.
Това е същото нещо като b минус с, минус а.
Нали?
Добре.
И всичкото това върху 4.
Сега мога да пренапиша целия този израз.
Не искам да остана без място.
Мога да пренапиша целия този израз като - 4 е
произведението на 2 по 2.
4 е произведението на 2 по 2.
Целият наш израз е безспорно опростен
до това, че е равен на корен квадратен - и това е наистина последния
етап - на това тук, което може просто да напиша като
а плюс b, плюс c върху 2.
Това е този член там.
Умножен по този член.
Умножени по този член.
Нека напиша опростяването тук. c плюс а,
минус b, това е същото нещо като a плюс b, плюс c, минус 2b.
Тези две неща са еквивалентни.
Нали?
Имате а, имате c, и след това b, минус 2b, ще бъде
равно на минус b.
Нали? b минус 2b, това е минус b.
Така че, този следващ член ще бъде а плюс b, плюс
c минус 2b, върху 2.
Или вместо да го пишем по този начин, нека да напиша това
върху 2, минус това върху 2.
И след това нашият следващ член тук.
Точно същата логика.
Това е същото нещо като а плюс b, плюс c, минус 2а,
всичкото това върху 2.
Нали?
Ако добавим минус 2а към а, получаваме минус а.
Така че, получаваме b плюс с, минус а.
Това са еднакви неща.
Всичко това върху 2 или можем да разделим знаменателите,
точно като това върху 2.
И след това един последен член.
Може би вече разпознахте правилото на
Хероновата формула, което се показва.
Нямах предвид правилото на Херон - на Хероновата формула.
Този член там е точно същото нещо като
а плюс b, плюс c, минус 2c.
Нали?
Изваждате 2c от c, получавате минус c и след това
все още имате а и b.
И тогава всичко това върху 2.
Можете да напишете това върху 2, минус това върху 2.
И разбира се вземаме квадратния корен
от всичките тези неща.
Ако определим, че S е равно на а плюс b, плюс с върху
2, след това, това уравнение се опростява доста.
Това тук е S.
Това е S.
Това там е S.
И това там е S.
И това също се опростява доста.
Минус 2b върху 2, това е точно същото нещо като минус b.
Минус 2а върху 2, това е същото нещо като минус а.
Минус 2с върху 2, това е същото нещо като минус c.
Така че, това цялото уравнение за нашето лице сега е равно на - ще
напиша отново квадратния корен.
Квадрата, корен квадратен от S - това е точно това там.
От S по
Ще го направя в същите цветове.
Умножено по S минус b, по това е S минус а, по - и сме
на последното - S минус c.
S минус c.
Доказахме, че Хероновата формула е точно същото нещо
като това, което се оказа в края на последното видео.
Това беше доста ясно.
И ние просто трябваше да използваме малко сложна алгебра,
за да го докажем в действителност.