-
Porozmawiajmy o równaniach kwadratowych.
-
Równanie kwadratowe, brzmi jak coś
-
bardzo skomplikowanego.
-
I kiedy pierwszy raz zobaczysz równanie kwadratowej,
-
powiesz, no tak, to nie tylko brzmi jak coś
-
skomplikowanego, ale jest skomplikowane.
-
Mam nadzieję że słuchając przekonasz się
-
że równania kwadratowe wcale nie są takie skomplikowane.
-
W kolejnym wideo pokaże Ci
-
jak to wszystko można obliczyć.
-
Wiemy już jak rozłożyć na czynniki
-
wielomian drugiego stopnia.
-
Nauczyłeś się już, że jeśli mamy, na przykład, x kwadrat minus
-
x minus 6 równa się zero.
-
Jeśli mamy takie równanie, x kwadrat minus x minus 6 równa się
-
zero, można je rozłożyć na dwa czynniki x minus 3 i
-
x plus 2 równa się 0.
-
Co oznacza że albo x minus 3 równa się zero, albo
-
x plus 2 równa się zero.
-
x minus 3 równa się 0 albo x plus 2 równa się 0.
-
Czyli x równa się 3 albo minus 2.
-
Jeśli chciałbym to narysować, jeśli mamy
-
funkcję f od x, która równa się x kwadrat minus x minus 6.
-
To jest oś f(x)
-
Może bardziej przypomina Ci to oś y, ale dla
-
naszych celów to wszystko jedno.
-
A to jest oś x.
-
Teraz, wykres funkcji f(x) = x kwadrat minus x,
-
minus 6 będzie wyglądał mniej więcej tak.
-
Ten punkt to f(x) równa się minus 6.
-
A wykres wygląda mniej więcej tak.
-
To będzie dalej szło do góry.
-
Wykres przechodzi przez minus 6, dlatego że jeśli x równa się zero,
-
f(x) równa się minus 6.
-
Stąd wiem, że wykres funkcji f(x) musi przechodzić przez ten punkt.
-
I wiem także że jeśli f(x) równa się zero, to znaczy f(x) jest równe
-
0 na osi x, tak?
-
Ponieważ tu jest 1.
-
Tu jest zero.
-
Tu jest minus 1.
-
A f(x) równa się zeru wzdłuż
-
osi x, prawda?
-
I wiemy, że f(x) równa się 0 w punktach x równa sie 3 oraz
-
x równa się minus 2.
-
To jest rozwiązanie, jakie otrzymaliśmy.
-
Prawdopodobnie, kiedy rozkładaliśmy to wyrażenie na czynniki,
-
nie bardzo wyobrażaliśmy sobie co właściwie robimy.
-
Kiedy powiedzieliśmy, że f(x) równa się tej funkcji
-
i przyrównaliśmy ją do 0.
-
Postawiliśmy pytanie, dla jakich wartości x
-
ta funkcja równa się 0?
-
Kiedy f(x) równa się 0?
-
No cóż, równa się zeru w tych dwóch punktach, tak?
-
W tych właśnie punktach f(x) równa się 0.
-
A rozkładając f(x) na czynniki
-
mogliśmy wyznaczyć wartości x, dla których f(x)
-
będzie równe 0, dokładnie w tych dwóch punktach.
-
Teraz trochę matematycznej terminologii, te punkty nazywają się
-
miejscami zerowymi albo pierwiastkami f(x).
-
Powtórzmy to jeszcze raz.
-
Jeśli mamy równanie f(x) równa się x kwadrat dodać
-
4x dodać 4 i problem polega na tym, żeby znaleźć miejsca zerowe, albo
-
pierwiastki f(x).
-
Oznacza to dokładnie to samo, gdybyśmy zapytali dla jakich x wykres funkcji f(x)
-
przecina oś x?
-
Wykres f(x) przecina oś x w punktach, w których f(x)
-
równa się 0, nieprawdaż?
-
Spójrzmy na ten wykres.
-
Jeśli f(x) ma być równe zero, to to znaczy że
-
0 równa się x kwadrat plus 4 x plus 4.
-
A to możemy rozłożyć na czynniki, to będzie
-
x plus 2 razy x plus 2.
-
A to równa się zero jeśli x równa się minus 2.
-
x równa się minus 2.
-
Po prostu, x równa się minus 2.
-
Umiemy znaleźć miejsca zerowe, pod warunkiem że
-
łatwo jest rozłożyć wielomian na czynniki.
-
Spróbujmy teraz rozwiązać równanie w przypadku
-
kiedy nie jest wcale łatwo rozłożyć wielomian na czynniki.
-
Niech f(x) równa się minus 10 x kwadrat
-
minus 9 x plus .
-
Nawet jeśli podzielimy to przez 10,
-
dostaniemy tutaj ułamki.
-
Więc dość trudno się domyśleć jak rozłożyć na czynniki to kwadratowe wyrażenie.
-
Coś takiego nazywa się "równanie kwadratowe",
-
albo "wielomian drugiego stopnia", albo "trójmian kwadratowy".
-
I teraz chcemy rozwiązać to równanie.
-
Czyli znaleźć, kiedy równa się 0.
-
Minus 10 x kwadrat mius 9 x plus 1.
-
Chcemy znaleźć takie wartości x, dla których
-
to wyrażenie równa się zeru.
-
Do tego można użyć gotowego narzędzia, które nazywa się wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
-
To jest jeden z niewielu wzorów w matematyce
-
których warto nauczyć się na pamięć.
-
Wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego mówi,
-
że równają się one - powiedzmy, że równanie zapiszemy ogólnie jako
-
A razy x kwadrat plus B razy x pluc C równa się 0.
-
W naszym przykładzie, A równa się minus 10.
-
B równa się minus 9, a C równa się 1.
-
Wzór na pierwiastki wygląda tak: x równa się minus B plus lub minus
-
pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 razy A razy C,
-
i to wszystko trzeba podzielić jeszcze przez 2 A.
-
To wygląda skomplikowanie, ale jeśli trochę poćwiczycie, przekonacie się że
-
nie jest tak źle.
-
Więc warto te wzory zapamiętać.
-
To teraz zastosujmy je do naszego przykładu
-
tutaj na tablicy.
-
Tak jak powiedziałem, A jest współczynnikiem
-
przy x kwadrat, tak?
-
A jest współczynnikiem przy wyrazie kwadratowym.
-
B jest współczynnikiem przy x, przy wyrazie liniowym, a C jest wyrazem stałym.
-
Zastosujmy to do naszego równania.
-
Ile wynosi B?
-
B równa się minus 9.
-
Widać to stąd.
-
B równa się minus 9, a równa się minus 10.
-
C równa się 1.
-
Prawda?
-
Jeśli B równa się minus 9, mamy minus (minus 9).
-
Plus albo minus pierwiastek kwadratowy z minus 9 do kwadratu.
-
To będzie 81.
-
Minus 4 razy A.
-
A równa się minus 10.
-
Czyli minus 10 razy C, ktore jest równe 1.
-
Wygląda to trochę skomplikowanie, ale mam nadzieje
-
że zrozumieliście o co chodzi.
-
I to wszystko jeszcze trzeba podzielić przez 2 A.
-
A równa się minus 10, a 2 razy A równa się minus 20.
-
Teraz uprościmy to trochę.
-
Minus razy minus 9 to będzie plus 9.
-
Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81.
-
Minus 4 razy minus 10.
-
Tu jest minus 10.
-
Przepraszam za ten bałagan...
-
i jeszcze razy 1.
-
Razem may minus 4 razy minus 10, czyli 40, plus 40.
-
Plus 40.
-
I to wszystko podzielić przez minus 20.
-
No tak, 81 dodać 20 równa się 121.
-
Czyli tutaj mamy 9 plus lub minus pierwiastek kwadratowy
-
z 121, podzielić przez minus 20.
-
Pierwiastek kwadratowy z 121 równa się 11.
-
Zapiszmy to tutaj.
-
Mam nadzieję, że się nie zgubiliście.
-
Teraz mamy 9 plus lub minus 11, i wszystko podzielić przez 20.
-
Weźmy 9 plus 11 podzielić przez minus 20,
-
9 plus 11 równa się 20, 20 podzielić przez minus 20.
-
Równa się minus 1.
-
To jest jeden z pierwiastków.
-
Ten z plusem, ponieważ tutaj mamy plus lub minus.
-
A drugi pierwiastek równa się 9 minus 11, podzielić przez minus 20.
-
A to się równa minus 2 podzielić przez minus 20.
-
Czyli 1/10.
-
To jest drugi pierwiastek.
-
Gdybyśmy chcieli to narysować, to wykres funkcji f(x)
-
przecina oś x.
-
W punktach, w których f(x) równa się 0, czyli tam, gdzie x równa się
-
minus 1 lub x równa się 1/10.
-
W kolejnej części zrobimy więcej przykładów.
-
Boję się że póki co, możecie być trochę skonfundowani
-
tym przykładem :).
-
Do zobaczenia więc w kolejnym wideo
-
o równaniu kwadratowym!
