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Bienvenidos a la presentación del uso de la ecuación cuadrática
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La ecuación cuadrática suena como algo
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muy complicado.
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Y cuando observas la ecuación cuadrática por primera vez
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expresarás que no sólo suena como algo
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complicado; es realmente complicado.
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Afortunadamente, observarás a través de esta
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presentación que en realidad no es difícil de utilizar.
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En una presentación posterior te mostraré
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como se llega a esta.
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En genera, haz aprendido como factorizar
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una ecuación de segundo grado.
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Has aprendido que, por ejemplo, si tenemos x al cuadrado
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menos x, menos 6, igual a 0.
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Si tengo esta ecuación. x cuadrada menos x igual
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a cero, puedes factorizarla como x menos 3 y
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x mas 2 igual a cero.
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Lo que significa que tanto x menos 3 es igual a cero o
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x mas 2 es igual a 0.
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Así, x menos 3 igual a cero o x mas 2 igual a cero.
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Por lo que x es igual a 3 o -2.
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Una representación gráfica de esto sería, si tengo
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la función f(x) es igual a x al cuadrado menos x menos 6.
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Éste eje es el eje f(x).
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Estarás mas familiarizado con el eje 'y', y para el propósito
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de este tipo de problemas, no importa.
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Y este es el eje de las x.
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Si yo dibujara la gráfica de esta ecuación, x al cuadrado,
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menos x menos 6, se observaría como esto.
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Un poco como - este es f(x) igual a -6.
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Y la gráfica realizará algo como esto.
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Subirá, se mantendrá subiendo en esta dirección.
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Observa que atraviesa en -6, porque cuabdo x es igual a 0,
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f(x) es igual a -6.
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Por lo que sé que atraviesa por este punto.
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Y yo sé que cuando f(x) es igual a cero, tambien
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f(x) es igual a 0 a lo largo del eje x, ¿cierto?
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Porque este es 1.
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Este es 0.
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Este es -1.
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Así que aquí es donde f(x) es igual a 0,
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a lo largo de del eje x, ¿correcto?
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Sabemos que es igual a 0 en los puntos x igual a 3 y
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x igual a -2.
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Estas son las soluciones.
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Es probable que cuando estabamos en los problemas de factorización no
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teníamos en mente la representación gráfica de lo que estabamos haciendo.
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Pero si decimos que f(x) es igual a esta función,
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la estamos igualando a 0.
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Por lo que estamos diciendo,
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¿en dónde ésta función es igual a 0?
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¿Cuando es igual a 0?
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Bueno, es igual a 0 en estos puntos, ¿correcto?
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Porque aquí es en donde f(x) es igual a 0.
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Y lo que estamos haciendo al resolverla por
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factorización es, ahora sabemos, los valores de x que hacen a
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f(x) igual a 0, que son estos dos puntos.
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Un poco de terminología, tambien se les llama
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los ceros, o las raíces, de f(x).
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Revisemos esto un poco.
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Si tengo algo así como f(x) es igual a x cuadrada mas
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4x mas 4, y les pregunto en dónde están los ceros o
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las raíces de f(x).
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Es lo mismo que decir, ¿en dónde f(x)
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intersecta el eje x?
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E intersecta el eje x cuando f(x) es
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igual a 0, ¿correcto?
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Si piensas en la gráfica que acabo de dibujar.
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Digamos que f(x) es igual a 0, podremos
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decir que 0 es igual a x cuadrada mas 4x mas 4.
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Y sabemos, factorizando, que
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(x + 2)(x + 2).
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Y sabemos que es igual a cerso en x igual a -2.
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x es igual a -2.
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Esto es x igual a -2.
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Así que ahora sabemos como encontrar los ceros
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cuando la ecuación es fácil de factorizar.
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Hagamos ahora una ecuación que
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no sea fácil de factorizar.
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Digamos que tenemos f(x) es igual a
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-10x cuadrada menos 9x mas 1.
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Cuando la observamos, aún si dividieramos entre 10
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tendríamos algunas fracciones aquí.
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Y es difícil imaginar la factorización de ésta cuadrática.
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Y esto es lo que se conoce como una ecuación cuadrática, o
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un polinomio de segundo grado.
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A trabajar - Intentaremos resolverla.
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Queremos encontrar cuando es igual a 0.
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-10x cuadrada -9x mas 1.
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Deseamos encontrar los valores de x que hacen
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esta ecuación igual a cero.
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Y aquí es donde podemos utilizar una herramienta llamada la ecuación cuadrática.
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Ahora les daré una de las pocas cosas en matemáticas
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que es una buena idea memorizar.
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La ecuación cuadrática dice que las raíces de una cuadrática
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son iguales a -- digamos que la ecuación cuadrática es
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a x cuadrada mas b x mas c igual a cero.
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Así, en este ejemplo, a es -10.
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b es -9, y c es 1.
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La fórmula para las raíces es -b mas/menos
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la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 veces a por c,
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todo dividido entre 2a.
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Sé que se ve complicado, pero entre mas la utilices observarás
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que no está tan mal.
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Y esta es una buena idea para memorizar.
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Apliquemos la ecuación cuadrática a esta ecuación
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que acabamos de escribir.
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Como mencioné, basta mirar los coeficientes
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en el término x, ¿correcto?
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a es el coeficiente en el término al cuadrado.
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b es el coeficiente en el término en x, y c es la constante.
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Apliquemos a ésta ecuación.
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¿Cuánto es b?
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Bueno, b es -9.
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Lo podemos observar aquí.
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b es -9, a es -10.
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c es 1.
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¿Correcto?
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Así que si b es -9, esto es -9.
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Mas o menos la raíz cuadrada de -9 al cuadrado.
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Eso es 81.
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Menos 4 veces a.
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a es -10.
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-10 veces c, que es 1.
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Hay un poco de desorden, pero con suerte
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estás comprendiendo.
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Y todo esto dividido por 2 veces a.
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a es -10, así que 2 veces a es -20.
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Simplifiquemos.
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- -9, resulta en 9 positivo.
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Mas o menos la raíz cuadrada de 81.
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Tenemos 4 veces -10.
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Esto es -10.
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Está muy desordenado, una disculpa
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por eso, multiplicado por 1.
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Así que 4 veces -10 es 40, 40 positivo.
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40 positivo.
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Y tenemos todo esto dividido entre -20.
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81 mas 40 es 121.
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Así que esto es 9 mas/menos la raíz cuadrada
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de 121 dividido entre -20.
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La raíz cuadrada de 121 es 11.
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Aquí lo ponemos.
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Con suerte, no te perderás en lo que hago.
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Así que es 9 mas/menos 11 dividido entre -20.
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Si 9 mas 11 dividido entre -20, es 9
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mas 11 resulta en 20, 20 dividido entre -20.
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Que resulta en -1.
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Esta es una de las raíces.
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Esto es 9 mas -- debido a que es mas o menos.
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Y la otra raíz será 9 menos 11 dividido entre -20.
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Que resulta en -2 dividido entre -20.
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Que es igual a 1 sobre 10.
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Esta es la otra raíz.
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Si graficaramos esta ecuación, observaríamos que
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intersecta al eje x.
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O, f(x) es igual a 0 en los puntos
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x es igual a -1 y x igual a 1/10.
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Realizaré mas ejemplos en la segunda parte, porque
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creo haberte confundido un poco
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con este ejemplo.
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Nos veremos en la parte 2 de
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usando la ecuación cuadrática.
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Adios.
