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Agora vamos generalizar um pouco o que nós aprendemos
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na última apresentação.
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Vamos dizer que eu esteja pegando emprestado P dólares.
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P dólares, isso é o que eu estou pegando emprestando, então isso é
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o meu capital inicial.
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Então esse é o meu capital.
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r é igual à taxa, a taxa de juros a que
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eu estou pegando o empréstimo.
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Nós também podemos escrever isso como 100r%, certo?
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E eu vou pegar emprestado por— bem, eu
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não sei— t anos.
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Vamos ver se nós podemos encontrar algumas equações para descobrir
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quanto eu vou dever ao fim de t anos usando
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tanto juros simples quanto compostos.
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Então vamos fazer juros simples primeiro porque é fácil.
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Então no tempo 0— vamos fazer esse eixo do tempo—
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quanto eu vou dever?
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Bem, isso é bem quando eu peguei emprestado, então se eu tivesse
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pago de volta imediatamente, eu só deveria P, certo?
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No tempo 1, eu devo P mais os juros, mais o que você pode meio
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que ver como o aluguel por esse dinheiro, e isso é r vezes P.
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E anteriormente, no exemplo anterior, no
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vídeo anterior, era 10%.
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P era 100, então eu tinha que pagar $10 para pegar esse dinheiro emprestado por
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um ano, e eu tinha que pagar de volta $110.
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E isso é o mesmo que P vezes 1+r, certo?
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Porque você poderia usar simplesmente 1P+rP.
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E então, depois de dois anos, quanto nós deveríamos?
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Bem, todo ano nós simplesmente pagamos mais um rP, certo?
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No exemplo anterior, isso era mais $10.
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Então se isso é 10%, todo ano nós pagamos 10%
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do nosso capital original.
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Então no ano 2, nós devemos P + rP— isso é o que nós devíamos
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no ano 1— e mais um rP, então isso é igual
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a P mais 1+2r.
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E você só coloca o P para fora, e você tem 1+r
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mais r, então 1+2r.
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E então no ano 3, nós deveríamos o que nós devíamos no ano 2.
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Então P+rP+rP, e então nós pagaríamos outro rP,
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outro, diga, sabe, se r é 10%, ou 50% do nosso capital inicial,
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mais rP, então isso é igual a P vezes 1+3r.
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Então após t anos, quanto nós deveríamos?
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Bem, esse é o nosso capital original vezes 1 mais,
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isso será t.r.
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Então você pode distribuir isso porque a cada ano nós pagamos Pr,
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e isso será por t anos.
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Então é por isso que faz sentido.
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Então, se eu te dissesse que estou pegando emprestado— vamos
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fazer algumas contas.
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Você poderia trabalhar desse jeito, e eu recomendo que você o faça.
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Você não deveria só decorar as formulas.
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Se eu pegasse emprestado $50 a 15% de juros simples por 15— ou
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vamos dizer, 20 anos— ao fim de 20 anos, eu
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deveria $50 vezes 1 + 20 vezes 0.15, certo?
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Então isso é igual $50 vezes 1 mais— quanto é 20 vezes 0.15?
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É 3, certo?
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Certo.
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Então isso é 50 vezes 4, o que é igual a $200 para
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pegar emprestado por 20 anos.
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Então $50 a 15% por 20 anos resulta em um
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pagamento de $200 no final.
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Então isso era juros simples, e essa
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é a fórmula para eles.
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Vamo ver se nós podemos fazer a mesma coisa com juros compostos.
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Deixe-me apagar isso tudo.
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Não era assim que eu queria apagar.
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Aqui está.
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OK, então com juros compostos, no ano 1, é a mesma coisa,
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realmente, como juros simples, e nós vimos isso
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no vídeo anterior.
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Eu devo P mais, e agora a taxa vezes P, e isso é igual
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a P vezes 1 + r.
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Muito bem.
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Agora no ano 2 é quando juros simples e compostos começam a divergir.
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Nos juros simples, nós pagaríamos mais um rP, e
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isso se torna 1+2r.
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Nos juros compostos, isso se torna o novo
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capital, certo?
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Então se este é o novo principal, nós vamos pagar
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1 + r vezes isso, certo?
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Nosso capital original era P.
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Após um ano, nós pagamos 1 + r vezes o capital original
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vezes 1+ r.
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Então nós vamos chegar no ano 2, e nós vamos pagar o que nós devíamos
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ao fim do ano 1, que é P vezes 1+r, e agora nós vamos
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crescer isso por r %.
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Então nós vamos multiplicar isso de novo por 1 + r.
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E isso é igual a P vezes (1+r) elevado ao quadrado.
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Então a maneira como você poderia pensar sobre isso, em juros simples,
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a cada ano nós adicionamos uma parcela Pr.
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Em juros simples, nós adicionamos Pr a cada ano.
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Então se isso era $50 e isso era 15%, a cada ano nós estamos somando
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$3— nós estamos somando— o que era isso?
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50%.
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Nós estamos adicionando $7.50 em juros, onde P é o capital,
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e r é a taxa.
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Em juros compostos, a cada ano nós estamos multiplicando
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o capital vezes 1 mais a taxa, certo?
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Então nós vamos para o ano 3, nós vamos multiplicar
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isso vezes 1+r.
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Então no ano 3 é P vezes (1+r) elevado à terceira.
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Então no ano t vai ser o capital vezes
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(1+r) elevado à t-ésima potência.
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E então vamos ver este mesmo exemplo.
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Nós devemos $200 neste exemplo com juros simples.
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Vamos ver quanto nós deveríamos em juros compostos.
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O capital é $50.
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1 mais— quanto é a taxa?
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0.15.
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E nós estamos pegando emprestado por 20 anos.
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Então isso é igual a 50 vezes 1.15 elevado à 20ª potência.
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Eu sei que você não consegue ler isso, mas deixe-me ver o que
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eu posso fazer quanto à 20ª potência.
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Deixe-me usar meu Excel e limpar isso.
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Na verdade, eu deveria simplesmente usar meu mouse em vez da caneta
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para limpar tudo.
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OK, vou escolher um ponto qualquer.
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Então eu só quero— mais 1.15 à 20ª potência, e você
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pode usar qualquer calculadora. 16,37, vamos dizer.
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Então isso é igual a 50 vezes 16,37.
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E quanto é 50 vezes isso?
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Mais 50 vezes isso: $818.
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Então você agora percebeu que se alguém está te fazendo um empréstimo e
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eles dizem, bem, eu te empresto— você precisa de um empréstimo por 20 anos?
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Eu vou te emprestar isso a 15%.
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É muito importante deixar claro se eles vão cobrar
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15% de juros simples ou
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juros compostos.
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Porque com juros compostos, o que você vai acabar pagando—
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quer dizer, olhe isso: para pegar $50 emprestados, você vai
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pagar $618 a mais do que se fossem juros simples.
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Infelizmente, no mundo real, a maior parte
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dos empréstimos são com juros compostos.
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E não é é composto, mas eles não contabilizam
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todo ano e eles não só contabilizam a cada
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6 meses. Na verdade eles contabilizam continuamente.
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Então você deveria assistir os próximos vídeos sobre
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juros compostos continuamente, e você vai
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começar a entender a mágica de e.
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Bem, vejo vocês no próximo vídeo.
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