Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
Problem connecting to Twitter. Please try again.
TYTUŁ: Podstawy Trygonometrii II
-
0:01 - 0:03Po prostu zróbmy całe mnóstwo przykładów,
-
0:03 - 0:07aby być pewnym, że rozumiemy dobrze
funkcje trygonometryczne. -
0:07 - 0:11Skonstruujmy nieco
trójkątów prostokątnych. -
0:11 - 0:14Skonstruujmy kilka
trójkątów prostokątnych -
0:14 - 0:15bo chcę, żeby było to jasne,
-
0:15 - 0:18że ten sposób działa jedynie
w trójkątach prostokątnych, -
0:18 - 0:23Jeśli próbujemy wyznaczyć funkcje
trygonometryczne w innych trójkątach, -
0:23 - 0:26to musimy skonstruować
trójkąty prostokątne, -
0:26 - 0:28Skupmy się więc na
trójkątach prostokątnych. -
0:28 - 0:31Powiedzmy, że mamy trójkąt,
-
0:31 - 0:34w którym ta długość wynosi siedem
-
0:34 - 0:38i powiedzmy, że długość tego boku
-
0:38 - 0:39wynosi cztery.
-
0:39 - 0:43Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że
-
0:43 - 0:46— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —
-
0:46 - 0:52wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,
-
0:52 - 0:55wiemy z twierdzenia Pitagorasa,
-
0:55 - 0:57że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy
-
0:57 - 1:02sumie kwadratów
-
1:02 - 1:05pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.
-
1:05 - 1:10Jest to równe 49
-
1:10 - 1:1249 + 16,
-
1:12 - 1:1949 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi
-
1:19 - 1:2165. A więc h podniesione do kwadratu
-
1:21 - 1:26napiszmy: h do kwadratu
-
1:26 - 1:29— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe
-
1:29 - 1:3465. Czy zrobiłem to poprawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6
-
1:34 - 1:38wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy
-
1:38 - 1:39Pierwiastek kwadratowy
-
1:39 - 1:43pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać
-
1:43 - 1:45to jest 13
-
1:45 - 1:47to to samo co 13 razy 5,
-
1:47 - 1:50obydwie nie są kwadratami
-
1:50 - 1:52oraz obydwie są liczbami pierwszymi, więc nie można uprościć zapisu bardziej.
-
1:52 - 1:55Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu
-
1:55 - 2:02Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta.
-
2:02 - 2:05Nazwijmy ten kąt theta.
-
2:05 - 2:07Zawsze kiedy to robicie
-
2:07 - 2:09możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —
-
2:09 - 2:12„soh cah toa”.
-
2:12 - 2:13soh...
-
2:13 - 2:16...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia
-
2:16 - 2:19mojego
-
2:19 - 2:21nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś
-
2:21 - 2:24jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatny
-
2:24 - 2:26skrót pamięciowy,
-
2:26 - 2:28więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy
-
2:28 - 2:31powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus.
-
2:31 - 2:34Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.
-
2:34 - 2:38Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”
-
2:38 - 2:41Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,
-
2:41 - 2:43część „cah” mówi nam,
-
2:43 - 2:46że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej (ang. adjacent) do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]
-
2:46 - 2:51Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta
-
2:51 - 2:56Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?
-
2:56 - 2:58Wiemy, że przeciwprostokątna
-
2:58 - 3:01wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony,
-
3:01 - 3:05więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który
-
3:05 - 3:07nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.
-
3:07 - 3:10A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,
-
3:10 - 3:14jest dokładnie obok kąta,
-
3:14 - 3:16jest jednym z boków tworzących kąt.
-
3:16 - 3:17Jest równa 4
-
3:17 - 3:21Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4
-
3:21 - 3:25podzielone przez
-
3:25 - 3:29Czasem potrzebne jest uproszczenie mianownika, co oznacza, że
-
3:29 - 3:33w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna,
-
3:33 - 3:35jak pierwiastek z 65.
-
3:35 - 3:39Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie
-
3:39 - 3:42usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik
-
3:42 - 3:43przez pierwiastek kwadratowy z 65.
-
3:43 - 3:45To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ
-
3:45 - 3:48mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc
-
3:48 - 3:49w istocie mnożymy przez 1.
-
3:49 - 3:53To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się niewymierności z mianownika.
-
3:53 - 3:54Licznik przyjmie postać
-
3:54 - 3:584 razy pierwiastek z 65,
-
3:58 - 4:03a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.
-
4:03 - 4:07Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.
-
4:07 - 4:10Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,
-
4:10 - 4:12a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi.
-
4:12 - 4:14Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,
-
4:14 - 4:15ale one wszystkie pochodzą z funkcji podstawowych,
-
4:15 - 4:20więc pomyślmy, co jest znakiem theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”.
-
4:20 - 4:25„Soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]
-
4:25 - 4:29Sinus jest równy
-
4:29 - 4:31stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
-
4:31 - 4:34Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?
-
4:34 - 4:38Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7,
-
4:38 - 4:41a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.
-
4:41 - 4:44Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,
-
4:44 - 4:48a następnie
-
4:48 - 4:51przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość
-
4:51 - 4:53Pierwiastek kwadratowy z sześćdziesiąt pięć
-
4:53 - 4:55Ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65
-
4:55 - 5:00podzielony przez pierwiastek z 65
-
5:00 - 5:04i w liczniku otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu
-
5:04 - 5:08ponownie 65.
-
5:08 - 5:10Teraz zajmijmy się tangensem!
-
5:10 - 5:13Zajmijmy się tangensem.
-
5:13 - 5:15Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens
-
5:15 - 5:17tangens kąta theta,
-
5:17 - 5:21wracamy ponownie do soh cah
-
5:21 - 5:23toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens.
-
5:23 - 5:25Mówi on nam,
-
5:25 - 5:27mówi nam, że tangens
-
5:27 - 5:30jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej
-
5:30 - 5:33do
-
5:33 - 5:36przyprostokątnej przeciwległej do przyległej, [ang. opposite, adjacent]
-
5:36 - 5:39więc dla tego kąta
-
5:39 - 5:41wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest naprzeciw boku
-
5:41 - 5:43o długości 7,
-
5:43 - 5:46więc to bok o długości 7
-
5:46 - 5:48Cóż, ten o długości 4 jest przyległy
-
5:48 - 5:51bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4.
-
5:51 - 5:54A więc jest to 7
-
5:54 - 5:56I zakończyliśmy.
-
5:56 - 5:59Wyliczyliśmy wszystkie wartości dla kąta theta, zabierzmy się za następny.
-
5:59 - 6:00Zabierzmy się za następny.
-
6:00 - 6:03Zrobię to bardziej konkretnie, bo teraz mówiłem o
-
6:03 - 6:06tangensie x, tangensie theta. Zróbmy to dla konkretnej wartości.
-
6:06 - 6:08Powiedzmy
-
6:08 - 6:11Powiedzmy, że narysuję kolejny trójkąt prostokątny
-
6:11 - 6:14Oto kolejny trójkąt prostokątny.
-
6:14 - 6:18Wszystko, z czym mamy do czynienia,
-
6:18 - 6:21Powiedzmy, że przeciwprostokątna
-
6:21 - 6:26ma długość 4.
-
6:26 - 6:32i powiedzmy, że ten bok tutaj ma długość równą dwa pierwiastki kwadratowe z trzech. Możemy
-
6:32 - 6:33zweryfikować, że tak jest,
-
6:33 - 6:36jeżeli podniesiemy tę stronę do kwadratu, zapiszę: 2 pierwiastki kwadratowe z
-
6:36 - 6:39trzech, podniesione do kwadratu
-
6:39 - 6:42dodać dwa do kwadratu jest równe czemu?
-
6:42 - 6:46To jest
-
6:46 - 6:504 razy 3 dodać 4
-
6:50 - 6:53i to będzie 12 dodać 4, co jest równe 16, a 16 to w istocie
-
6:53 - 6:584 do kwadratu, a więc to się równa 4 do kwadratu,
-
6:58 - 7:02równa się 4 do kwadratu i spełnia twierdzenie Pitagorasa.
-
7:02 - 7:06Jeżeli pamiętacie zadania z trójkątami z kątami 30,60,90 stopni,
-
7:06 - 7:08o których być może uczyliście się na geometrii,
-
7:08 - 7:11możecie rozpoznać, że to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni;
-
7:11 - 7:13tutaj jest nasz kąt prosty, powinienem
-
7:13 - 7:16przeciągnąć go, aby pokazać, że to trójkąt prostokątny.
-
7:16 - 7:20Ten kąt tutaj jest 30-stopniowy,
-
7:20 - 7:23a ten tutaj, ten kąt jest
-
7:23 - 7:26kątem 60-stopniowym
-
7:26 - 7:28i to jest trójkąt z kątami 30,60,90 stopni, ponieważ
-
7:28 - 7:32bok naprzeciw kąta o mierze 30 stopni jest połową przeciwprostokątnej,
-
7:32 - 7:37a bok naprzeciwko kąta o mierze 60 stopni jest równy pierwiastkowi z trzech pomnożonemu przez drugi bok
-
7:37 - 7:38nie będący przeciwprostokątną,
-
7:38 - 7:40więc nie będziemy się nim zajmować,
-
7:40 - 7:43to nie jest przegląd trójkątów z kątami 30,60,90 stopni.
-
7:43 - 7:47Obecnie znajdźmy funkcje trygonometryczne dla innych kątów.
-
7:47 - 7:51Więc jeśli zostaniecie poproszeni
-
7:51 - 7:55ile wynosi sinus 30 stopni
-
7:55 - 7:58i pamiętacie, że jeden z kątów tego trójkąta ma 30 stopni, ale dotyczy to
-
7:58 - 8:02każego 30-stopniowego kąta. Gdy mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym, będziemy
-
8:02 - 8:05mieć szersze definicje w przyszłości, ale jeśli mówimy o sinusie 30 stopni,
-
8:05 - 8:09to nie jest złotą regułą, tutaj jest 30 stopni, więc mogę użyć tego trójkąta prostokątnego
-
8:09 - 8:12i wystarczy pamiętać soh cah toa,
-
8:12 - 8:17więc przepiszę to
-
8:17 - 8:23Soh wskazuje, jak uzyskać sinus. Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
-
8:23 - 8:26Sinus 30 stopni jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej,
-
8:26 - 8:31która to jest bokiem o długości 2,
-
8:31 - 8:32do przeciwprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątna ma długość 4.
-
8:32 - 8:36Wynosi to dwie czwarte, czyli jedna druga.
-
8:36 - 8:41Jak widać, sinus 30 stopni zawsze jest równy
-
8:41 - 8:44Teraz, ile wynosi
-
8:44 - 8:47Ile wynosi cosinus
-
8:47 - 8:50Raz jeszcze wróćmy do soh cah toa.
-
8:50 - 8:53Cah wskazuje, jak uzyskać cosinus.
-
8:53 - 8:56Cosinus jest stosunkiem przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
-
8:56 - 8:59Rozpatrując kąt 30 stopni, to jest przyprostokątna przyległa, ten bok tutaj to
-
8:59 - 9:02przyprostokątna przyległa, przylega do kąta
-
9:02 - 9:05i nie jest to przeciwprostokątna.
-
9:05 - 9:09Stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej jest równy dwa
-
9:09 - 9:14Stosunek przyprostokątnej przyległej
-
9:14 - 9:17Jeżeli uprościmy wyrażenie, podzielimy licznik i mianownik przez dwa, będzie to pierwiastek kwadratowy z trzech
-
9:17 - 9:21podzielony przez 2.
-
9:21 - 9:23Na koniec obliczmy
-
9:23 - 9:28Tangens 30 stopni.
-
9:28 - 9:30Wracamy do soh cah toa.
-
9:30 - 9:32soh cah toa
-
9:32 - 9:35Toa mówi nam, jak uzyskać tangens. To stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
9:35 - 9:39Patrzymy na kąt 30 stopni, ponieważ nim się zajmujemy. Tangens 30 stopni
-
9:39 - 9:42tangens 30 stopni, przyprostokątna przeciwległa ma długość 2
-
9:42 - 9:46przyprostokątna przeciwległa ma długość 2, a przyległa ma długość dwa pierwiastki z trzech, leży ona w sąsiedztwie
-
9:46 - 9:48kąta
-
9:48 - 9:49oznacza to, że przylega do kąta.
-
9:49 - 9:52Więc dwa pierwiastki kwadratowe z trzech
-
9:52 - 9:54co jest równe
-
9:54 - 9:57dwójki się upraszczają, więc to 1 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z trzech.
-
9:57 - 10:01Możemy pomnożyć licznik i mianownik przez pierwiastek kwadratowy z trzech,
-
10:01 - 10:05więc otrzymujemy:
-
10:05 - 10:09co jest równe licznikowi wynoszącemu pierwiastek z trzech,
-
10:09 - 10:12a mianownik tutaj jest równy po prostu 3,
-
10:12 - 10:16a więc jest liczbą wymierną.
-
10:16 - 10:17W porządku.
-
10:17 - 10:21Teraz użyjmy tego samego trójkąta, aby zobaczyć, jakie są wartości funkcji trygonometrycznych dla 60 stopni,
-
10:21 - 10:22ponieważ już go sporządziliśmy.
-
10:22 - 10:28A więc ile wynosi
-
10:28 - 10:30ile wynosi sinus 30 stopni i myślę, że pojmujecie istotę rzeczy.
-
10:30 - 10:34Sinus jest stosunkiem przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, soh z soh cah toa. Dla kąta 60 stopni, który bok
-
10:34 - 10:37jest przyprostokątną przeciwległą?
-
10:37 - 10:39który leży naprzeciw
-
10:43 - 10:45i z kąta 60 stopni przyprostokątna przy... och, przepraszam, to stosunek
-
10:45 - 10:48przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, nie chciałem Was zdezorientować.
-
10:48 - 10:51A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej,
-
10:51 - 10:54który wynosi dwa pierwiastki z trzech podzielone na cztery. Cztery to długość przeciwprostokątnej.
-
10:54 - 11:00Jest to równe, po uproszczeniu, pierwiastek z trzech przez dwa,
-
11:00 - 11:06co jest wartością cosinusa 60 stopni. Cosinus 60 stopni.
-
11:06 - 11:10A więc pamiętajcie soh cah toa. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej.
-
11:10 - 11:14Przyprostokątna przyległa jest po drugiej stronie obok kąta 60 stopni, więc jest to dwa
-
11:14 - 11:18podzielone przez przeciwprostokątną o długości 4
-
11:18 - 11:21a więc jest to równe
-
11:21 - 11:24I w końcu
-
11:24 - 11:28ile wynosi tangens, ile wynosi tangens
-
11:28 - 11:32Cóż, tangens, soh cah toa, tangens to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
11:32 - 11:35Przyprostokątna przeciwległa do kąta 60 stopni
-
11:35 - 11:36ma długość dwa pierwiastki z trzech.
-
11:36 - 11:38Dwa pierwiastki z trzech,
-
11:38 - 11:40a przyprostokątna przyległa do kąta,
-
11:40 - 11:43przyległa do kąta
-
11:43 - 11:45przyprostokątna przyległa do kąta 60 stopni ma długość 2.
-
11:45 - 11:49A więc to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej.
-
11:49 - 11:53Dwa pierwiastki kwadratowe z 3 podzielone przez 2 jest równe
-
11:53 - 11:55Do czego zmierzałem — spójrzcie, jak funkcje są ze sobą powiązane.
-
11:55 - 11:58Sinus 30 stopni jest równy cosinusowi 60 stopni.
-
11:58 - 12:01Cosinus 30 stopni jest równy sinusowi 60 stopni.
-
12:01 - 12:04Te funkcje są przestawione [dla tych kątów]
-
12:04 - 12:06i myślę, że jeśli pomyślicie trochę o tym trójkącie,
-
12:06 - 12:07zacznie być jasne, dlaczego tak jest.
-
12:07 - 12:08Będziemy to rozszerzać i zrobimy
-
12:08 -więcej ćwiczeń praktycznych w następnych kilku filmach.
Grace Waleszczak edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
Grace Waleszczak edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
Lech Mankiewicz edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
Lech Mankiewicz edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
KK edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
KK edited Polish subtitles for Basic Trigonometry II | ||
KK added a translation |
Polish subtitles
IncompleteRevisions Compare revisions
-
Revision 7 EditedGrace Waleszczak
-
Revision 6 EditedGrace Waleszczak
-
Lech Mankiewicz
-
Lech Mankiewicz
-
KK
-
KK
-
KK